等比数列基础习题选附详细解答.docx

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等比数列基础习题选附详细解答

等比数列基础习题选（附详细解答）

一．选择题（共27小题）

1．（2008•浙江）已知{an}是等比数列，a2=2，a5=

，则公比q=（　　）

A．

B．

﹣2

C．

2

D．

2．（2006•湖北）在等比数列{an}中，a1=1，a10=3，则a2a3a4a5a6a7a8a9=（　　）

A．

81

B．

27

C．

D．

243

3．（2006•北京）如果﹣1，a，b，c，﹣9成等比数列，那么（　　）

A．

b=3，ac=9

B．

b=﹣3，ac=9

C．

b=3，ac=﹣9

D．

b=﹣3，ac=﹣9

4．已知数列1，a1，a2，4成等差数列，1，b1，b2，b3，4成等比数列，则

的值是（　　）

A．

B．

﹣

C．

或﹣

D．

5．正项等比数列{an}满足a2a4=1，S3=13，bn=log3an，则数列{bn}的前10项和是（　　）

A．

65

B．

﹣65

C．

25

D．

﹣25

6．等比数列{an}中，a6+a2=34，a6﹣a2=30，那么a4等于（　　）

A．

8

B．

16

C．

±8

D．

±16

7．已知数列{an}满足

，其中λ为实常数，则数列{an}（　　）

A．

不可能是等差数列，也不可能是等比数列

B．

不可能是等差数列，但可能是等比数列

C．

可能是等差数列，但不可能是等比数列

D．

可能是等差数列，也可能是等比数列

8．已知数列{an}的前n项和为Sn，若对于任意n∈N*，点Pn（n，Sn）都在直线y=3x+2上，则数列{an}（　　）

A．

是等差数列不是等比数列

B．

是等比数列不是等差数列

C．

是常数列

D．

既不是等差数列也不是等比数列

9．（2012•北京）已知{an}为等比数列，下面结论中正确的是（　　）

A．

a1+a3≥2a2

B．

C．

若a1=a3，则a1=a2

D．

若a3＞a1，则a4＞a2

10．（2011•辽宁）若等比数列an满足anan+1=16n，则公比为（　　）

A．

2

B．

4

C．

8

D．

16

11．（2010•江西）等比数列{an}中，|a1|=1，a5=﹣8a2，a5＞a2，则an=（　　）

A．

（﹣2）n﹣1

B．

﹣（﹣2n﹣1）

C．

（﹣2）n

D．

﹣（﹣2）n

12．已知等比数列{an}中，a6﹣2a3=2，a5﹣2a2=1，则等比数列{an}的公比是（　　）

A．

﹣1

B．

2

C．

3

D．

4

13．正项等比数列{an}中，a2a5=10，则lga3+lga4=（　　）

A．

﹣1

B．

1

C．

2

D．

0

14．在等比数列{bn}中，b3•b9=9，则b6的值为（　　）

A．

3

B．

±3

C．

﹣3

D．

9

15．（文）在等比数列{an}中，

，则tan（a1a4a9）=（　　）

A．

B．

C．

D．

16．若等比数列{an}满足a4+a8=﹣3，则a6（a2+2a6+a10）=（　　）

A．

9

B．

6

C．

3

D．

﹣3

17．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若

=3，则

=（　　）

A．

B．

C．

D．

1

18．在等比数列{an}中，an＞0，a2=1﹣a1，a4=9﹣a3，则a4+a5=（　　）

A．

16

B．

27

C．

36

D．

81

19．在等比数列{an}中a2=3，则a1a2a3=（　　）

A．

81

B．

27

C．

22

D．

9

20．等比数列{an}各项均为正数且a4a7+a5a6=16，log2a1+log2a2+…+log2a10=（　　）

A．

15

B．

10

C．

12

D．

4+log25

21．等比数列{an}中a4，a8是方程x2+3x+2=0的两根，则a5a6a7=（　　）

A．

8

B．

±2

C．

﹣2

D．

2

22．在等比数列{an}中，若a3a4a5a6a7=243，则

的值为（　　）

A．

9

B．

6

C．

3

D．

2

23．在3和9之间插入两个正数，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则这两个数的和是（　　）

A．

B．

C．

D．

24．已知等比数列1，a2，9，…，则该等比数列的公比为（　　）

A．

3或﹣3

B．

3或

C．

3

D．

25．（2011•江西）已知数列{an}的前n项和sn满足：

sn+sm=sn+m，且a1=1，那么a10=（　　）

A．

1

B．

9

C．

10

D．

55

26．在等比数列{an}中，前7项和S7=16，又a12+a22+…+a72=128，则a1﹣a2+a3﹣a4+a5﹣a6+a7=（　　）

A．

8

B．

C．

6

D．

27．等比数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，若4a1，2a2，a3成等差数列，则S4=（　　）

A．

7

B．

8

C．

16

D．

15

二．填空题（共3小题）

28．已知数列{an}中，a1=1，an=2an﹣1+3，则此数列的一个通项公式是　_________　．

29．数列

的前n项之和是　_________　．

30．等比数列{an}的首项a1=﹣1，前n项和为Sn，若

，则公比q等于　_________　．

参考答案与试题解析

一．选择题（共27小题）

1．（2008•浙江）已知{an}是等比数列，a2=2，a5=

，则公比q=（　　）

A．

B．

﹣2

C．

2

D．

考点：

等比数列．

专题：

计算题．

分析：

根据等比数列所给的两项，写出两者的关系，第五项等于第二项与公比的三次方的乘积，代入数字，求出公比的三次方，开方即可得到结果．

解答：

解：

∵{an}是等比数列，a2=2，a5=

，

设出等比数列的公比是q，

∴a5=a2•q3，

∴

=

=

，

∴q=

，

故选D

点评：

本题考查等比数列的基本量之间的关系，若已知等比数列的两项，则等比数列的所有量都可以求出，只要简单数字运算时不出错，问题可解．

2．（2006•湖北）在等比数列{an}中，a1=1，a10=3，则a2a3a4a5a6a7a8a9=（　　）

A．

81

B．

27

C．

D．

243

考点：

等比数列．

分析：

由等比数列的性质知（a2a9）=（a3a8）=（a4a7）=（a5a6）=（a1a10）．

解答：

解：

因为数列{an}是等比数列，且a1=1，a10=3，

所以a2a3a4a5a6a7a8a9=（a2a9）（a3a8）（a4a7）（a5a6）=（a1a10）4=34=81，

故选A

点评：

本题主要考查等比数列的性质．

3．（2006•北京）如果﹣1，a，b，c，﹣9成等比数列，那么（　　）

A．

b=3，ac=9

B．

b=﹣3，ac=9

C．

b=3，ac=﹣9

D．

b=﹣3，ac=﹣9

考点：

等比数列．

分析：

由等比数列的等比中项来求解．

解答：

解：

由等比数列的性质可得ac=（﹣1）×（﹣9）=9，

b×b=9且b与奇数项的符号相同，

∴b=﹣3，

故选B

点评：

本题主要考查等比数列的等比中项的应用．

4．已知数列1，a1，a2，4成等差数列，1，b1，b2，b3，4成等比数列，则

的值是（　　）

A．

B．

﹣

C．

或﹣

D．

考点：

等差数列的通项公式；等比数列的通项公式．

专题：

计算题．

分析：

由1，a1，a2，4成等差数列，利用等差数列的性质求出等差d的值，进而得到a2﹣a1的值，然后由1，b1，b2，b3，4成等比数列，求出b2的值，分别代入所求的式子中即可求出值．

解答：

解：

∵1，a1，a2，4成等差数列，

∴3d=4﹣1=3，即d=1，

∴a2﹣a1=d=1，

又1，b1，b2，b3，4成等比数列，

∴b22=b1b3=1×4=4，解得b2=±2，

又b12=b2＞0，∴b2=2，

则

=

．

故选A

点评：

本题以数列为载体，考查了等比数列的性质，以及等差数列的性质，熟练掌握等比、等差数列的性质是解本题的关键，等比数列问题中符号的判断是易错点

5．正项等比数列{an}满足a2a4=1，S3=13，bn=log3an，则数列{bn}的前10项和是（　　）

A．

65

B．

﹣65

C．

25

D．

﹣25

考点：

等差数列的前n项和；等比数列的通项公式．

专题：

计算题．

分析：

由题意可得

=a2a4=1，解得a3=1，由S3=13可得a1+a2=12，，则有a1q2=1，a1+a1q=12，解得q和a1的值，

由此得到an的解析式，从而得到bn的解析式，由等差数列的求和公式求出它的前10项和．

解答：

解：

∵正项等比数列{an}满足a2a4=1，S3=13，bn=log3an，

∴

=a2a4=1，解得a3=1．

由a1+a2+a3=13，可得a1+a2=12．

设公比为q，则有a1q2=1，a1+a1q=12，解得q=

，a1=9．

故an=9×

=33﹣n．

故bn=log3an=3﹣n，则数列{bn}是等差数列，它的前10项和是

=﹣25，

故选D．

点评：

本题主要考查等比数列的定义和性质，等比数列的通项公式，等差数列的前n项和公式的应用，求出an=33﹣n，是解题的关键，属于基础题．

6．等比数列{an}中，a6+a2=34，a6﹣a2=30，那么a4等于（　　）

A．

8

B．

16

C．

±8

D．

±16

考点：

等比数列的通项公式．

专题：

计算题．

分析：

要求a4，就要知道等比数列的通项公式，所以根据已知的两个等式左右两边相加得到a6，左右两边相减得到a2，根据等比数列的性质列出两个关于首项和公比的关系式，联立求出a和q，得到等比数列的通项公式，令n=4即可得到．

解答：

解：

设此等比数列的首项为a，公比为q，

由a6+a2=34，a6﹣a2=30两个等式相加得到2a6=64，解得a6=32；两个等式相减得到2a2=4，解得a2=2．

根据等比数列的通项公式可得a6=aq5=32①，a2=aq=2②，把②代入①得q4=16，所以q=2，代入②解得a=1，

所以等比数列的通项公式an=2n﹣1，则a4=23=8．

故选A

点评：

此题要求学生灵活运用等比数列的性质解决数学问题，会根据条件找出等比数列的通项公式．本题的关键是根据题中的已知条件得到数列的a2和a6．

7．已知数列{an}满足

，其中λ为实常数，则数列{an}（　　）

A．

不可能是等差数列，也不可能是等比数列

B．

不可能是等差数列，但可能是等比数列

C．

可能是等差数列，但不可能是等比数列

D．

可能是等差数列，也可能是等比数列

考点：

等差关系的确定；等比关系的确定．

专题：

等差数列与等比数列．

分析：

由于

=n2+n﹣λ，而n2+n﹣λ不是固定的常数，不满足等比数列的定义．若是等差数列，则由a1+a3=2a2，解得λ=3，此时，

，显然，不满足等差数列的定义，从而得出结论．

解答：

解：

由

可得

=n2+n﹣λ，由于n2+n﹣λ不是固定的常数，故数列不可能是等比数列．

若数列是等差数列，则应有a1+a3=2a2，解得λ=3．

此时，

，显然，此数列不是等差数列，

故选A．

点评：

本题主要考查等差关系的确定、等比关系的确定，属于中档题．

8．已知数列{an}的前n项和为Sn，若对于任意n∈N*，点Pn（n，Sn）都在直线y=3x+2上，则数列{an}（　　）

A．

是等差数列不是等比数列

B．

是等比数列不是等差数列

C．

是常数列

D．

既不是等差数列也不是等比数列

考点：

等比关系的确定；等差关系的确定．

专题：

计算题．

分析：

由点Pn（n，Sn）都在直线y=3x+2上，可得Sn=3n+2，再利用an=Sn﹣Sn﹣1求解．

解答：

解：

由题意，∵点Pn（n，Sn）都在直线y=3x+2上

∴Sn=3n+2

当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=3

当n=1时，a1=5

∴数列{an}既不是等差数列也不是等比数列

故选D

点评：

本题的考点是等比关系的确定，主要考查由前n项和求数列的通项问题，关键是利用前n项和与通项的关系．

9．（2012•北京）已知{an}为等比数列，下面结论中正确的是（　　）

A．

a1+a3≥2a2

B．

C．

若a1=a3，则a1=a2

D．

若a3＞a1，则a4＞a2

考点：

等比数列的性质．

专题：

探究型．

分析：

a1+a3=

，当且仅当a2，q同为正时，a1+a3≥2a2成立；

，所以

；若a1=a3，则a1=a1q2，从而可知a1=a2或a1=﹣a2；若a3＞a1，则a1q2＞a1，而a4﹣a2=a1q（q2﹣1），其正负由q的符号确定，故可得结论．

解答：

解：

设等比数列的公比为q，则a1+a3=

，当且仅当a2，q同为正时，a1+a3≥2a2成立，故A不正确；

，∴

，故B正确；

若a1=a3，则a1=a1q2，∴q2=1，∴q=±1，∴a1=a2或a1=﹣a2，故C不正确；

若a3＞a1，则a1q2＞a1，∴a4﹣a2=a1q（q2﹣1），其正负由q的符号确定，故D不正确

故选B．

点评：

本题主要考查了等比数列的性质．属基础题．

10．（2011•辽宁）若等比数列an满足anan+1=16n，则公比为（　　）

A．

2

B．

4

C．

8

D．

16

考点：

等比数列的性质．

专题：

计算题．

分析：

令n=1，得到第1项与第2项的积为16，记作①，令n=2，得到第2项与第3项的积为256，记作②，然后利用②÷①，利用等比数列的通项公式得到关于q的方程，求出方程的解即可得到q的值，然后把q的值代入经过检验得到满足题意的q的值即可．

解答：

解：

当n=1时，a1a2=16①；当n=2时，a2a3=256②，

②÷①得：

=16，即q2=16，解得q=4或q=﹣4，

当q=﹣4时，由①得：

a12×（﹣4）=16，即a12=﹣4，无解，所以q=﹣4舍去，

则公比q=4．

故选B

点评：

此题考查学生掌握等比数列的性质，灵活运用等比数列的通项公式化简求值，是一道基础题．学生在求出q的值后，要经过判断得到满足题意的q的值，即把q=﹣4舍去．

11．（2010•江西）等比数列{an}中，|a1|=1，a5=﹣8a2，a5＞a2，则an=（　　）

A．

（﹣2）n﹣1

B．

﹣（﹣2n﹣1）

C．

（﹣2）n

D．

﹣（﹣2）n

考点：

等比数列的性质．

专题：

计算题．

分析：

根据等比数列的性质，由a5=﹣8a2得到

等于q3，求出公比q的值，然后由a5＞a2，利用等比数列的通项公式得到a1大于0，化简已知|a1|=1，得到a1的值，根据首项和公比利用等比数列的通项公式得到an的值即可．

解答：

解：

由a5=﹣8a2，得到

=q3=﹣8，解得q=﹣2，

又a5＞a2，得到16a1＞﹣2a1，解得a1＞0，所以|a1|=a1=1

则an=a1qn﹣1=（﹣2）n﹣1

故选A

点评：

此题考查学生灵活运用等比数列的性质及前n项和的公式化简求值，是一道中档题．

12．已知等比数列{an}中，a6﹣2a3=2，a5﹣2a2=1，则等比数列{an}的公比是（　　）

A．

﹣1

B．

2

C．

3

D．

4

考点：

等比数列的性质．

专题：

计算题．

分析：

根据等比数列的通项公式化简已知的两等式，得到关于首项和公比的两个方程，分别记作①和②，把①提取q后，得到的方程记作③，把②代入③即可求出q的值．

解答：

解：

由a6﹣2a3=2，a5﹣2a2=1得：

，

由①得：

q（a1q4﹣2a1q）=2③，

把②代入③得：

q=2．

故选B

点评：

此题考查学生灵活运用等比数列的通项公式化简求值，掌握等比数列的性质，是一道基础题．

13．正项等比数列{an}中，a2a5=10，则lga3+lga4=（　　）

A．

﹣1

B．

1

C．

2

D．

0

考点：

等比数列的性质．

专题：

计算题．

分析：

等比数列的定义和性质，得到a3a4=10，故有lga3+lga4=lga3a4=lg10=1．

解答：

解：

∵正项等比数列{an}中，a2a5=10，∴a3a4=10，∴lga3+lga4=lga3a4=lg10=1，

故选B．

点评：

本题考查等比数列的定义和性质，得到a3a4=10，是解题的关键．

14．在等比数列{bn}中，b3•b9=9，则b6的值为（　　）

A．

3

B．

±3

C．

﹣3

D．

9

考点：

等比数列的性质．

专题：

计算题．

分析：

在等比数列{bn}中，由b3•b9=b62=9，能求出b6的值．

解答：

解：

∵在等比数列{bn}中，

b3•b9=b62=9，

∴b6=±3．

故选B．

点评：

本题考查等比数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．

15．（文）在等比数列{an}中，

，则tan（a1a4a9）=（　　）

A．

B．

C．

D．

考点：

等比数列的性质．

分析：

由

，根据等比数列{an}的通项公式得a1a4a9=

，再结合三角函数的性质可求出tan（a1a4a9）的值．

解答：

解：

∵

，

∴a1a4a9=

，

∴tan（a1a4a9）=

．

故选B．

点评：

本题考查等比数列的性质和应用，解题时要注意三角函数的等价转换．

16．若等比数列{an}满足a4+a8=﹣3，则a6（a2+2a6+a10）=（　　）

A．

9

B．

6

C．

3

D．

﹣3

考点：

等比数列的性质．

专题：

计算题．

分析：

根据等比数列的性质若m，n，p，q∈N*，且m+n=p+q，则有aman=apaq可得a6（a2+2a6+a10）=（a4+a8）2，进而得到答案．

解答：

解：

由题意可得：

在等比数列{an}中，若m，n，p，q∈N*，且m+n=p+q，则有aman=apaq．

因为a6（a2+2a6+a10）=a6a2+2a6a6+a10a6，

所以a6a2+2a6a6+a10a6=（a4+a8）2=9．

故选A．

点评：

解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列的通过性质，并且结合正确的运算，一般以选择题的形式出现．

17．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若

=3，则

=（　　）

A．

B．

C．

D．

1

考点：

等比数列的性质．

专题：

计算题．

分析：

首先根据等比数列的前n项和对

=3进行化简，求出q3，进而即可求出结果．

解答：

解：

∵

=3，

∴

整理得，1+q3=2，

∴q3=2

∴

=

故选B．

点评：

本题考查了等比数列的关系，注意在题中把q3当作未知数，会简化运算．

18．在等比数列{an}中，an＞0，a2=1﹣a1，a4=9﹣a3，则a4+a5=（　　）

A．

16

B．

27

C．

36

D．

81

考点：

等比数列的性质．

专题：

计算题．

分析：

首先根据等比数列的性质求出q=3和a1=的值，然后代入a4+a5=a1q3+a1q4=即可求出结果．

解答：

解：

∵a2=1﹣a1，a4=9﹣a3∴a1q+a1=1①a1q3+a1q2=9②

两式相除得，q=±3

∵an＞0

∴q=3a1=

∴a4+a5=a1q3+a1q4=27

故选B．

点评：

本题考查了等比数列的性质，熟练掌握性质是解题的关键，属于基础题．

19．在等比数列{an}中a2=3，则a1a2a3=（　　）

A．

81

B．

27

C．

22

D．

9

考点：

等比数列的性质．

专题：

计算题．

分析：

由等比数列的性质可得：

a1a2a3=a23，结合题意即可得到答案．

解答：

解：

由等比数列的性质可得：

a1a2a3=a23，

因为a2=3，所以a1a2a3=a23=27．

故选B．

点评：

本题考查了等比数列的性质，解题的关键a1an=a2an﹣1=…=akan﹣k，属于中档题．

20．等比数列{an}各项均为正数且a4a7+a5a6=16，log2a1+log2a2+…+log2a10=（　　）

A．

15

B．

10

C．

12

D．

4+log25

考点：

等比数列的性质．

专题：

计算题．