黄冈中学中考数学公式定理知识点考点汇总.docx
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黄冈中学中考数学公式定理知识点考点汇总
初中数学公式定理知识点考点汇总
统计初步与概率初步
考点一、平均数(3分)
1、平均数的概念
(1)平均数:
一般地,如果有n个数那么,叫做这n个数的平均数,读作“x拔”。
(2)加权平均数:
如果n个数中,出现次,出现次,…,出现次(这里),那么,根据平均数的定义,这n个数的平均数可以表示为,这样求得的平均数叫做加权平均数,其中叫做权。
2、平均数的计算方法
(1)定义法:
当所给数据比较分散时,一般选用定义公式:
(2)加权平均数法:
当所给数据重复出现时,一般选用加权平均数公式:
,其中。
(3)新数据法:
当所给数据都在某一常数a的上下波动时,一般选用简化公式:
其中,常数a通常取接近这组数据平均数的较“整”的数,,,…,。
是新数据的平均数(通常把叫做原数据,叫做新数据)。
考点二、统计学中的几个基本概念(4分)
1、总体:
所有考察对象的全体叫做总体。
2、个体:
总体中每一个考察对象叫做个体。
3、样本:
从总体中所抽取的一部分个体叫做总体的一个样本。
4、样本容量:
样本中个体的数目叫做样本容量。
5、样本平均数:
样本中所有个体的平均数叫做样本平均数。
6、总体平均数:
总体中所有个体的平均数叫做总体平均数,在统计中,通常用
样本平均数估计总体平均数。
考点三、众数、中位数(3~5分)
1、众数:
在一组数据中,出现次数最多的数据叫做这组数据的众数。
2、中位数:
将一组数据按大小依次排列,把处在最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数。
考点四、方差(3分)
1、方差的概念
在一组数据中,各数据与它们的平均数的差的平方的平均数,叫做这组数据的方差。
通常用“”表示,即
2、方差的计算
(1)基本公式:
(2)简化计算公式(Ⅰ):
也可写成
此公式的记忆方法是:
方差等于原数据平方的平均数减去平均数的平方。
(3)简化计算公式(Ⅱ):
当一组数据中的数据较大时,可以依照简化平均数的计算方法,将每个数据同时减去一个与它们的平均数接近的常数a,得到一组新数据,,…,,那么,
此公式的记忆方法是:
方差等于新数据平方的平均数减去新数据平均数的平方。
(4)新数据法:
原数据的方差与新数据,,…,的方差相等,也就是说,根据方差的基本公式,求得的方差就等于原数据的方差。
3、标准差
方差的算数平方根叫做这组数据的标准差,用“s”表示,即
考点五、频率分布(6分)
1、频率分布的意义
在许多问题中,只知道平均数和方差还不够,还需要知道样本中数据在各个小范围所占的比例的大小,这就需要研究如何对一组数据进行整理,以便得到它的频率分布。
2、研究频率分布的一般步骤及有关概念
(1)研究样本的频率分布的一般步骤是
①计算极差(最大值与最小值的差)
②决定组距与组数
③决定分点
④列频率分布表
⑤画频率分布直方图
(2)频率分布的有关概念
①极差:
最大值与最小值的差
②频数:
落在各个小组内的数据的个数
③频率:
每一小组的频数与数据总数(样本容量n)的比值叫做这一小组的频率。
考点六、确定事件和随机事件(3分)
1、确定事件
必然发生的事件:
在一定的条件下重复进行试验时,在每次试验中必然会发生的事件。
不可能发生的事件:
有的事件在每次试验中都不会发生,这样的事件叫做不可能的事件。
2、随机事件:
在一定条件下,可能发生也可能不放声的事件,称为随机事件。
考点七、随机事件发生的可能性(3分)
一般地,随机事件发生的可能性是有大小的,不同的随机事件发生的可能性的大小有可能不同。
对随机事件发生的可能性的大小,我们利用反复试验所获取一定的经验数据可以预测它们发生机会的大小。
要评判一些游戏规则对参与游戏者是否公平,就是看它们发生的可能性是否一样。
所谓判断事件可能性是否相同,就是要看各事件发生的可能性的大小是否一样,用数据来说明问题。
考点八、概率的意义与表示方法(5~6分)
1、概率的意义
一般地,在大量重复试验中,如果事件A发生的频率会稳定在某个常数p附近,那么这个常数p就叫做事件A的概率。
2、事件和概率的表示方法
一般地,事件用英文大写字母A,B,C,…,表示事件A的概率p,可记为P(A)=P
考点九、确定事件和随机事件的概率之间的关系(3分)
1、确定事件概率
(1)当A是必然发生的事件时,P(A)=1
(2)当A是不可能发生的事件时,P(A)=0
考点十、古典概型(3分)
1、古典概型的定义
某个试验若具有:
①在一次试验中,可能出现的结构有有限多个;②在一次试验中,各种结果发生的可能性相等。
我们把具有这两个特点的试验称为古典概型。
2、古典概型的概率的求法
一般地,如果在一次试验中,有n种可能的结果,并且它们发生的可能性都相等,事件A包含其中的m中结果,那么事件A发生的概率为P(A)=
考点十一、列表法求概率(10分)
1、列表法
用列出表格的方法来分析和求解某些事件的概率的方法叫做列表法。
2、列表法的应用场合
当一次试验要设计两个因素,并且可能出现的结果数目较多时,为不重不漏地列出所有可能的结果,通常采用列表法。
考点十二、树状图法求概率(10分)
1、树状图法
就是通过列树状图列出某事件的所有可能的结果,求出其概率的方法叫做树状图法。
2、运用树状图法求概率的条件
当一次试验要设计三个或更多的因素时,用列表法就不方便了,为了不重不漏地列出所有可能的结果,通常采用树状图法求概率。
考点十三、利用频率估计概率(8分)
1、利用频率估计概率
在同样条件下,做大量的重复试验,利用一个随机事件发生的频率逐渐稳定到某个常数,可以估计这个事件发生的概率。
2、在统计学中,常用较为简单的试验方法代替实际操作中复杂的试验来完成概率估计,这样的试验称为模拟实验。
3、随机数
在随机事件中,需要用大量重复试验产生一串随机的数据来开展统计工作。
把这些随机产生的数据称为随机数。
16、多边形内角和公式:
n边形的内角和等于(n-2)180º(n≥3,n是正整数),外角和等于360º
17、平行线分线段成比例定理:
(4)合比性质:
(5)等比性质:
黄金分割
把线段AB分成两条线段AC,BC(AC>BC),并且使AC是AB和BC的比例中项,叫做把线段AB黄金分割,点C叫做线段AB的黄金分割点,其中AC=AB0.618AB
(1)平行线分线段成比例定理:
三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例。
如图:
a∥b∥c,直线l1与l2分别与直线a、b、c相交与点A、B、C
D、E、F,则有
(2)推论:
平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线),所得的对应线段成比例。
如图:
△ABC中,DE∥BC,DE与AB、AC相交与点D、E,则有:
★18、直角三角形中的射影定理:
如图:
Rt△ABC中,∠ACB=90o,CD⊥AB于D,则有:
(1)
(2)(3)
19、圆的有关性质:
(1)垂径定理如果一条直线具备以下五个性质中的任意两个性质:
①经过圆心;②垂直弦;③平分弦;④平分弦所对的劣弧;⑤平分弦所对的优弧,那么这条直线就具有另外三个性质.注:
具备①,③时,弦不能是直径.
(2)两条平行弦所夹的弧相等.
(3)圆心角的度数等于它所对的弧的度数.
(4)一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
(5)圆周角等于它所对的弧的度数的一半.
(6)同弧或等弧所对的圆周角相等.
(7)在同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧相等.
(8)90º的圆周角所对的弦是直径,反之,直径所对的圆周角是90º,直径是最长的弦.
(9)圆内接四边形的对角互补.
20、三角形的内心与外心三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心.三角形的内心就是三内角角平分线的交点.三角形的外接圆的圆心叫做三角形的外心.三角形的外心就是三边中垂线的交点.
常见结论:
(1)Rt△ABC的三条边分别为:
a、b、c(c为斜边),则它的内切圆的半径;
(2)△ABC的周长为,面积为S,其内切圆的半径为r,则
★21、弦切角定理及其推论:
(1)弦切角:
顶点在圆上,并且一边和圆相交,另一边和圆相切的角叫弦切角。
如图:
∠PAC为弦切角。
(2)弦切角定理:
弦切角度数等于它所夹的弧的度数的一半。
如果AC是⊙O的弦,PA是⊙O的切线,A为切点,则
推论:
弦切角等于所夹弧所对的圆周角(作用证明角相等)
如果AC是⊙O的弦,PA是⊙O的切线,A为切点,则
★22、相交弦定理、割线定理、切割线定理:
相交弦定理:
圆内的两条弦相交,被交点分成的两条线段长的积相等。
如图①,即:
PA·PB=PC·PD
割线定理:
从圆外一点引圆的两条割线,这点到每条割线与圆交点的两条线段长的积相等。
如图②,即:
PA·PB=PC·PD
切割线定理:
从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
如图③,即:
PC2=PA·PB
①②③
24、面积公式:
①S正△=×(边长)2.
②S平行四边形=底×高.
③S菱形=底×高=×(对角线的积),
④S圆=πR2.
⑤l圆周长=2πR.
⑥弧长L=.⑦
⑧S圆柱侧=底面周长×高=2πrh,S全面积=S侧+S底=2πrh+2πr2
⑨S圆锥侧=×底面周长×母线=πrb,S全面积=S侧+S底=πrb+πr2
点的轨迹
集合:
圆:
圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合;
圆的外部:
可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合;
圆的内部:
可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合
轨迹:
1、到定点的距离等于定长的点的轨迹是:
以定点为圆心,定长为半径的圆;
2、到线段两端点距离相等的点的轨迹是:
线段的中垂线;
3、到角两边距离相等的点的轨迹是:
角的平分线;
4、到直线的距离相等的点的轨迹是:
平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线;
5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是:
平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线
三种位置关系
点与圆的位置关系
点在圆内d 点在圆上d=r点B在圆上 点在此圆外d>r点A在圆外 直线与圆的位置关系 •直线与圆相离d>r无交点 •直线与圆相切d=r有一个交点 •直线与圆相交d 圆与圆的位置关系 •外离(图1)无交点d>R+r •外切(图2)有一个交点d=R+r •相交(图3)有两个交点R-r •内切(图4)有一个交点d=R-r •内含(图5)无交点d 垂径定理 垂径定理垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧 推论1: (1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧; (2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧; (3)平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧 以上4个定理,简称知2推3定理: 此定理5个结论中,只要知道其中2个即可推出其它3个结论,即: ①AB是直径②AB⊥CD③CE=DE④弧BC=弧BD⑤弧AC=弧AD ①②③④⑤或①③②④⑤或…… 推论2: 圆的两条平行弦所夹的弧相等。 即: 在⊙O中,∵AB∥CD∴弧AC=弧BD 圆心角定理 圆心角定理: 同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弦相等,所对的弧相等,弦心距相等 此定理也称知1推3定理,即上述四个结论中,只要知道其中的1个相等,则可以推出其它的3个结论 即: ①∠AOB=∠DOE②AB=DE③OC=OF
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