第十讲多边形内角和与外角和辅导专题含答案.docx
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第十讲多边形内角和与外角和辅导专题含答案
第十讲多边形及其内角和与外角和
知识要点梳理
知识点一:
多边形及有关概念
1、多边形的定义:
在平面内,由一些线段首尾顺次相接组成的平面图形叫做多边形.
总结:
对于一个n边形,(n≥3)它有个顶点,个内角。
2、多边形的分类:
(1)多边形可分为凸多边形和凹多边形,画出多边形的任何一条边所在的直线,如果整个多边形都在这条直线的同一侧,则此多边形为凸多边形,反之为凹多边形(见图1).本章所讲的多边形都是指凸多边形
凸多边形凹多边形
(2)多边形通常还以边数命名,多边形有n条边就叫做边形.
知识点二:
正多边形
叫做正多边形。
注意:
各边相等的多边形不是正多边形如菱形,各内角也分别相等的多边形不是正多边形如矩形。
知识点三:
多边形的对角线
多边形的对角线:
连接多边形的两个顶点的线段,叫做多边形的对角线.
(1)从n边形一个顶点出发可以引条对角线,将n边形分成个三角形,n边形的内角和等于。
(2)n边形共有条对角线,如六边形共有条对角线。
例1:
若从一个多边形的一个顶点出发,最多可以引10条对角线,则它是()
A.十三边形B.十二边形C.十一边形D.十边形
知识点四:
多边形的内角和公式
1.公式:
n边形的内角和公式为:
(n≥3)
n边形内角和与边数n关,每增加1条边,内角和增加。
2.正
边形的每个内角的度数为。
多边形的外角和公式
公式:
多边形的外角和等于°.
注意:
n边形的外角和等于360°,它与边数的多少关。
例1:
四边形ABCD中,如果∠A+∠C=180°,则∠B+∠D的度数是。
例2.一个多边形的内角和等于1080°,这个多边形的边数是。
例3.正八边形的每个内角为,度,每一个外角为度。
例4.一个正多边形,它的每一个外角都是45°,则该正多边形是。
例5.若一个正多边形的每个内角为150°,则这个正多边形的边数是。
知识点五:
镶嵌的概念和特征
1、定义:
用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖,通常把这类问题叫做用多边形覆盖平面(或平面镶嵌)。
2、实现镶嵌的条件:
;相邻的多边形有公共边。
3、常见的一些正多边形的镶嵌问题:
(1)用正多边形实现镶嵌的条件:
边长相等;顶点公用;在一个顶点处各正多边形的内角和为360°。
(2)只用一种正多边形镶嵌地面
用相同的正多边形地砖铺地面,只有的地砖可以用。
注意:
任意形状、大小完全相同的也可以铺满地面。
任意形状、大小完全相同但不规则的地砖也可以铺成无空隙的地板,因为四边形的内角和都等于360°。
(3)用两种或两种以上的正多边形镶嵌地面
例如,用正三角形与正方形、正三角形与正六边形、正三角形与正十二边形、正四边形与正八边形,正五边形与正十边形都可以作平面镶嵌。
又如,用一个正三角形、两个正方形、一个正六边形结合在一起恰好能够铺满地面,
用个正三角形、个正方形、个正十二边形也能够铺满地面。
用个正方形、个正六形、个正十二边形也能够铺满地面。
规律方法指导
1.内角和与边数成正比:
边数增加,内角和增加;边数减少,内角和减少.每增加一条边,内角的和就增加180°(反过来也成立),且多边形的内角和必须是180°的整数倍.
2.多边形外角和恒等于360°,与边数的多少无关.
3.多边形最多有三个内角为锐角,最少没有锐角(如矩形);多边形的外角中最多有三个钝角,最少没有钝角.
4.在运用多边形的内角和公式与外角的性质求值时,常与方程思想相结合,运用方程思想是解决本节问题的常用方法.
5.在解决多边形的内角和问题时,通常转化为与三角形相关的角来解决.
三角形是一种基本图形,是研究复杂图形的基础,同时注意转化思想在数学中的应用.
基础夯实
1、
(1)六边形的内角和是,外角和是.
(2)一个多边形的内角和与外角和都是360°,这个多边形是边形.
(3)一个十边形所有内角都相等,它的每一个外角等于度,共有条对角线。
(4)多边形边数增加一条,则它的内角和增加度,外角和.
(5)一个多边形的每一个外角都是72°,那么这个多边形的内角和为.
2、一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少
,多边形的边数是____________.
3、正n边形的一个外角等于它的一个内角的
,则n=________.
4、在正方形、等腰三角形、正六边形、正七边形、正八边形中,能铺满地面的多边形是________________________.
5、用正三角形和正六边形镶嵌,在每个顶点处有_______个正三角形和_____个正六边形,或在每个顶点处有______个正三角形和________个正六边形.
6、用正多边形镶嵌,设在一个顶点周围有m个正方形、n个正八边形,则m=_____,n=______.
7、如图,小亮从A点出发前10m,向右转15°,再前进10m,又向右转15°,…,这样一直走下去,他第一次回到出发点A时,一共走了_________m.
8、一个多边形,它的外角最多有________个是钝角.
9、一个多边形截去一个角后是四边形,则原多边形可能是________边形.
10、一个多边形每一个外角都等于与它相邻的内角,这种多边形是________边形,
11、一个n边形除了一个内角之外,其余各内角之和是1780度,求这个多边形的边数n和这个内角的度数?
典型例题:
例1、如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,P为线段AD上的一个动点,PE⊥AD交直线BC于点E.
(1)若∠B=25°,∠ACB=85°,求∠E的度数;
(2)当P点在线段AD上运动时,猜想∠E与∠B、∠ACB的数量关系,写出结论无需证明.
例2、如图1,有一块直角三角板XYZ放置在△ABC上,恰好三角板XYZ的两条直角边XY、XZ分别经过点B、C.△ABC中,∠A=30°,则∠ABC+∠ACB=_______,∠XBC+∠XCB=_______.
(2)如图2,改变直角三角板XYZ的位置,使三角板XYZ的两条直角边XY、XZ仍然分别经过B、C,那么∠ABX+∠ACX的大小是否变化?
若变化,请举例说明;若不变化,请求出∠ABX+∠ACX的大小.
培优检测
一、填空题
1、三角形中,三个内角的比为1∶3∶6,它的三个内角度数分别是________.
2、三角形a、b两边的长分别是7cm和9cm,则周长c的取值范围是________.
3、等腰三角形两边分别是3和6,则周长为________________.
4、正n边形的一个外角等于它相邻的一个内角的
,则n=________.
5、正n边形的一个内角等于150°,则从这个多边形的一个顶点出发可引__
___条对角线.
6、直角三角形两锐角平分线相交所成的角的度数是________.
7、n边形的内角和加上一个外角的总和为1500°,则n=________.则这个外角的度数____________.
8、如图,∠ABD,∠ACD的角平分线交于点P,若∠A=50°,∠D=10°,则∠P的度数为_______________.
8题图
9、如图上,BP平分∠ABC交CD于F,DP平分∠ADC交AB于E,AB与CG相交于G,如果∠A=42°,∠C=38°,那么∠P的度数为_____________.
二、选择题
1、如图3,AD是高,AE是角平分线,∠B=30°,∠C=70°,则∠DAE=()。
A.20°
B.30°C.10°D.15°
2、下列说法①等边三角形是等腰三角形;②多边形的外角最多有三个钝角;③多边形的外角最少有三个钝角;④多边形的内角最少有二个锐角,正确的个
数有()个。
A.1B.2C.3D.4
3、现有正三角形、正十边形与第三种正多边形能铺平整的地面,则第三种正多边形是()。
A.正十二边形B.正十三边形C.正十四边形D.正十五边形
三、解答题
1、如图,在△ABC中,∠ABC=∠ACB,∠A=40°,P是△ABC内一点,且∠1=∠2.
求∠BPC
(拔高)
已知△ABC,D为△ABC所在平面上一点,BP平分∠ABD,CP平分∠ACD.
(1)若D点是△ABC中BC边上一点,如图1所示,判断∠P、∠A之间存在怎样的等量关系?
并证明你的结论.
(2)若D点是△ABC中AB边上一点,如图2所示,判断∠BDC、∠BPC、∠A之间存在怎样的等量关系?
并证明你的结论.
(3)若D点是△ABC外任一点,如图3所示,判断∠D、∠P、∠A之间存在怎样的等量关系?
并证明你的结论.
(4)若D点是△ABC内一点,如图4所示,判断∠D、∠P、∠A之间存在怎样的等量关系?
(直接写出结论,不需要证明)
第十讲多边形及其内角和与外角和答案
知识要点梳理
知识点一:
多边形及有关概念
1、多边形的定义:
在平面内,由一些线段首尾顺次相接组成的平面图形叫做多边形.
总结:
对于一个n边形,(n≥3)它有n个顶点,n个内角。
2、多边形的分类:
(1)多边形可分为凸多边形和凹多边形,画出多边形的任何一条边所在的直线,如果整个多边形都在这条直线的同一侧,则此多边形为凸多边形,反之为凹多边形(见图1).本章所讲的多边形都是指凸多边形
凸多边形凹多边形
(2)多边形通常还以边数命名,多边形有n条边就叫做n边形.
知识点二:
正多边形
各边相等且各内角也分别相等的多边形叫做正多边形。
注意:
各边相等的多边形不是正多边形如菱形;各内角也分别相等的多边形不是正多边形如矩形。
知识点三:
多边形的对角线
多边形的对角线:
连接多边形不相邻的的两个顶点的线段,叫做多边形的对角线.
(1)从n边形一个顶点出发可以引(n-3)条对角线,将n边形分成(n-2)个三角形,n边形的内角和等于(n-2)
180°。
(2)n边形共有
条对角线,如六边形共有9条对角线。
例1:
若从一个多边形的一个顶点出发,最多可以引10条对角线,则它是(A)
A.十三边形B.十二边形C.十一边形D.十边形
知识点四:
多边形的内角和公式
1.公式:
n边形的内角和公式为:
(n-2)
180°(n≥3)
n边形内角和与边数n有关,每增加1条边,内角和增加180°。
2.正
边形的每个内角的度数为180°-
或(n-2)
180°
。
多边形的外角和公式
公式:
多边形的外角和等于360°.
注意:
n边形的外角和等于360°,它与边数的多少无关。
例1:
四边形ABCD中,如果∠A+∠C=180°,则∠B+∠D的度数是180°。
例2.一个多边形的内角和等于1080°,这个多边形的边数是8。
例3.正八边形的每个内角为135度,每一个外角为45度。
例4.一个正多边形,它的每一个外角都是45°,则该正多边形是正八边形。
例5.若一个正多边形的每个内角为150°,则这个正多边形的边数是12。
知识点五:
镶嵌的概念和特征
1、定义:
用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖,通常把这类问题叫做用多边形覆盖平面(或平面镶嵌)。
2、实现镶嵌的条件:
在一个顶点处各正多边形的内角和为360°;相邻的多边形有公共边。
3、常见的一些正多边形的镶嵌问题:
(1)用正多边形实现镶嵌的条件:
边长相等;顶点公用;在一个顶点处各正多边形的内角和为360°。
(2)只用一种正多边形镶嵌地面
用相同的正多边形地砖铺地面,只有正三角形,正方形,正六边形的地砖可以用。
注意:
任意形状、大小完全相同的三角形也可以铺满地面。
任意形状、大小完全相同但不规则的四边形地砖也可以铺成无空隙的地板,因为四边形的内角和都等于360°。
(3)用两种或两种以上的正多边形镶嵌地面
例如,用正三角形与正方形、正三角形与正六边形、正三角形与正十二边形、正四边形与正八边形,正五边形与正十边形都可以作平面镶嵌,注意:
正五边形与正十边形不能铺满地面。
又如,用一个正三角形、两个正方形、一个正六边形结合在一起恰好能够铺满地面,
用2个正三角形、1个正方形、1个正十二边形也能够铺满地面。
用1个正方形、1个正六形、1个正十二边形也能够铺满地面。
规律方法指导
1.内角和与边数成正比:
边数增加,内角和增加;边数减少,内角和减少.每增加一条边,内角的和就增加180°(反过来也成立),且多边形的内角和必须是180°的整数倍.
2.多边形外角和恒等于360°,与边数的多少无关.
3.多边形最多有三个内角为锐角,最少没有锐角(如矩形);多边形的外角中最多有三个钝角,最少没有钝角.
4.在运用多边形的内角和公式与外角的性质求值时,常与方程思想相结合,运用方程思想是解决本节问题的常用方法.
5.在解决多边形的内角和问题时,通常转化为与三角形相关的角来解决.
三角形是一种基本图形,是研究复杂图形的基础,同时注意转化思想在数学中的应用.
基础夯实
1、
(1)六边形的内角和是720°,外角和是360°.
(2)一个多边形的内角和与外角和都是360°,这个多边形是四边形.
(3)一个十边形所有内角都相等,它的每一个外角等于36度,共有35条对角线。
(4)多边形边数增加一条,则它的内角和增加180°度,外角和不变.
(5)一个多边形的每一个外角都是72°,那么这个多边形的内角和为540°.
2、一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少
,多边形的边数是__7__________.
3、正n边形的一个外角等于它的一个内角的
,则n=___8_____.
4、在正方形、等腰三角形、正六边形、正七边形、正八边形中,能铺满地面的多边形是____正方形、等腰三角形、正六边形.
5、用正三角形和正六边形镶嵌,在每个顶点处有__2_____个正三角形和___2个正六边形,或在每个顶点处有____4__个正三角形和___1____个正六边形.
6、用正多边形镶嵌,设在一个顶点周围有m个正方形、n个正八边形,则m=__1___,n=____2__.
7、如图,小亮从A点出发前10m,向右转15°,再前进10m,又向右转15°,…,这样一直走下去,他第一次回到出发点A时,一共走了____240_____m.
8、一个多边形,它的外角最多有____3____个是钝角.
9、一个多边形截去一个角后是四边形,则原多边形可能是__三,四或五_边形.
10、一个多边形每一个外角都等于与它相邻的内角,这种多边形是___四_____边形,
11、一个n边形除了一个内角之外,其余各内角之和是1780度,求这个多边形的边数n和这个内角的度数?
答案:
解:
设除去的内角为α,则(n-2)•180°=1780°+α,
∵1780°÷180°=9…160°,
∴n-2=9+1=10,
解得n=12,
α=20°.因此,这个多边形的边数n的值是12.
典型例题:
例1、如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,P为线段AD上的一个动点,PE⊥AD交直线BC于点E.
(1)若∠B=25°,∠ACB=85°,求∠E的度数;
(2)当P点在线段AD上运动时,猜想∠E与∠B、∠ACB的数量关系,写出结论无需证明.
解:
(1)∵∠B=35°,∠ACB=85°,
∴∠BAC=60°,
∵AD平分∠BAC,
∴∠DAC=30°,
∴∠ADC=65°,
∴∠E=25°;
(2).
设∠B=n°,∠ACB=m°,
∵AD平分∠BAC,
∴∠1=∠2=∠BAC,
∵∠B+∠ACB+∠BAC=180°,
∵∠B=n°,∠ACB=m°,
∴∠CAB=(180﹣n﹣m)°,
∴∠BAD=(180﹣n﹣m)°,
∴∠3=∠B+∠1=n°+(180﹣n﹣m)°=90°+n°﹣m°,
∵PE⊥AD,
∴∠DPE=90°,
∴∠E=90°﹣(90°+n°﹣m°)=(m﹣n)°=(∠ACB﹣∠B).
例2、如图1,有一块直角三角板XYZ放置在△ABC上,恰好三角板XYZ的两条直角边XY、XZ分别经过点B、C.△ABC中,∠A=30°,则∠ABC+∠ACB=_______,∠XBC+∠XCB=_______.
(2)如图2,改变直角三角板XYZ的位置,使三角板XYZ的两条直角边XY、XZ仍然分别经过B、C,那么∠ABX+∠ACX的大小是否变化?
若变化,请举例说明;若不变化,请求出∠ABX+∠ACX的大小.
答案:
(1)∵∠A=30°,
∴∠ABC+∠ACB=150°,
∵∠X=90°,
∴∠XBC+∠XCB=90°,
∴∠ABC+∠ACB=150°;∠XBC+∠XCB=90°.
(2)不变化.
∵∠A=30°,
∴∠ABC+∠ACB=150°,
∵∠X=90°,
∴∠XBC+∠XCB=90°,
∴∠ABX+∠ACX=(∠ABC-∠XBC)+(∠ACB-∠XCB)
=(∠ABC+∠ACB)-(∠XBC+∠XCB)=150°-90°=60°.
培优检测
一、填空题
1、三角形中,三个内角的比为1∶3∶6,它的三个内角度数分别是18°,54°,108°__.
2、三角形a、b两边的长分别是7cm和9cm,则周长c的取值范围
________.
3、等腰三角形两边分别是3和6,则周长为___15_____________.
4、正n边形的一个外角等于它相邻的一个内角的
,则n=___8_____.
5、正n边形的一个内角等于150°,则从这个多边形的一个顶点出发可引__9
___条对角线.
6、直角三角形两锐角平分线相交所成的角的度数是_135°或45°_______.
7、n边形的内角和加上一个外角的总和为1500°,则n=___10_____.则这个外角的度数_60°___________.
8、如图,∠ABD,∠ACD的角平分线交于点P,若∠A=50°,∠D=10°,则∠P的度数为__20°_____________.
8题图
9、如图上,BP平分∠ABC交CD于F,DP平分∠ADC交AB于E,AB与CG相交于G,如果∠A=42°,∠C=38°,那么∠P的度数为___40°__________.
二、选择题
1、如图3,AD是高,AE是△ABC的角平分线,∠B=30°,∠C=70°,则∠DAE=(A)。
A.20°
B.30°C.10°D.15°
2、下列说法①等边三角形是等腰三角形;②多边形的外角最多有三个钝角;③多边形的外角最少有三个钝角;④多边形的内角最少有二个锐角,正确的个
数有(B)个。
A.1B.2C.3D.4
3、现有正三角形、正十边形与第三种正多边形能铺平整的地面,则第三种正多边形是(D)。
A.正十二边形B.正十三边形C.正十四边形D.正十五边形
三、解答题
1、如图,在△ABC中,∠ABC=∠ACB,∠A=40°,P是△ABC内一点,且∠1=∠2.
求∠BPC
答案为:
110°.
∵∠ABC=∠ACB,∠A=40°,
∴∠ACB=
(180°-40°)=70°,
∵∠1=∠2,
∴∠2+∠3=∠1+∠3=∠ACB=70°,
在△BPC中,∠BPC=180°-(∠2+∠3)=180°-70°=110°.
(拔高)
已知△ABC,D为△ABC所在平面上一点,BP平分∠ABD,CP平分∠ACD.
(1)若D点是△ABC中BC边上一点,如图1所示,判断∠P、∠A之间存在怎样的等量关系?
并证明你的结论.
(2)若D点是△ABC中AB边上一点,如图2所示,判断∠BDC、∠BPC、∠A之间存在怎样的等量关系?
并证明你的结论.
(3)若D点是△ABC外任一点,如图3所示,判断∠D、∠P、∠A之间存在怎样的等量关系?
并证明你的结论.
(4)若D点是△ABC内一点,如图4所示,判断∠D、∠P、∠A之间存在怎样的等量关系?
(直接写出结论,不需要证明)
【解答】解:
(1)∠P=90°+
∠A.
证明:
∵BP平分∠ABD,CP平分∠ACD,
∴∠PBC=
∠ABC,∠PCB=
∠ACB,
∴∠P=180°﹣(∠PBC+∠PCB)=180°﹣
(∠ABC+∠ACB)=180°﹣
(180°﹣∠A)=90°+
∠A.
(2)∠A+∠BDC=2∠DPC.
∵CP平分∠ACD,
∴∠ACP=∠DCP,
∵∠DPC是△ACP的外角,∠BDC是△ACD的外角,
∴∠ACP=∠DPC﹣∠A,
∠DCP=∠BDC﹣∠DPC,
∴∠DPC﹣∠A=∠BDC﹣∠DPC,
∴∠A+∠BDC=2∠DPC;
(3)∠D+∠A=2∠P.
∵BP平分∠ABD,CP平分∠ACD,
∴∠DBP=∠ABP,∠ACP=∠DCP,
∵∠D+∠DBP=∠P+∠DCP,∠A+∠ACP=∠P+∠ABP,
∴两式相加,可得:
∠D+∠A=2∠P;
(4)2∠BPC=∠BAC+∠BDC.
解法一:
如图4,作射线PD,射线AP,
∵∠BDE是△BDP的外角,∠CDE是△CDP的外角,
∴∠BDC=∠PBD+∠BPC+∠DCP,①
同理可得,∠BPC=∠ABP+∠BAC+∠ACP,②
又∵BP平分∠ABD,CP平分∠ACD,
∴∠PBD=∠ABP,∠PCD=∠ACP,
∴由②﹣①,可得
∠BPC﹣∠BDC=∠BAC﹣∠BPC,
∴2∠BPC=∠BAC+∠BDC.
解法二:
∵BP平分∠ABD,CP平分∠ACD,
∴∠PBD=∠ABP,∠PCD=∠ACP,
四边形BPDC中,∠P+
∠ABD+
∠ACD+360°﹣∠D=360°,
∴
∠ABD+
∠ACD=∠D﹣∠P,
在四边形ABPC中,∠A+
∠ABD+
∠ACD+360°﹣∠P=360°,
∴∠A+∠D﹣∠P﹣∠P=0,
∴2∠P=∠D+∠A.
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