等腰三角形典型例题练习含答案汇总.docx
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等腰三角形典型例题练习含答案汇总
等腰三角形典型例题练习
等腰三角形典型例题练习
•选择题(共2小题)
AD平分/BAC交BC于D,若BC=5cm,BD=3cm,则点D到AB的距离为(
2.如图,已知C是线段AB上的任意一点(端点除外),分别以AC、BC为边并且在AB的同一侧作等边△ACD和等边△BCE,连接AE交CD于M,连接BD交CE于N.给出以下三个结论:
1AE=BD
2CN=CM
3MN//AB
其中正确结论的个数是()
A.0B.1|C.2D.3
二.填空题(共1小题)
3.如图,在正三角形ABC中,D,E,F分别是BC,AC,AB上的点,DE丄AC,EF丄AB,FD丄BC,则△DEF的面积与△ABC的面积之比等于.
E、F分别为AB、AC上的点,且/EDF+/EAF=180°求证
5.在△ABC中,/ABC、/ACB的平分线相交于点0,过点0作DE//BC,分别交AB、AC于点D、E.请说明
DE=BD+EC.
6.>已知:
如图,D是厶ABC的BC边上的中点,DE丄AB,DF丄AC,垂足分别为E,F,且DE=DF.请判断△ABC是什么三角形?
并说明理由.
7.如图,△ABC是等边三角形,BD是AC边上的高,延长BC至E,使CE=CD.连接DE.
(1)ZE等于多少度?
(2)△DBE是什么三角形?
为什么?
&如图,在△ABC中,/ACB=90°CD是AB边上的高,/A=30°求证:
AB=4BD.C
9.如图,△ABC中,AB=AC,点D、E分别在AB、AC的延长线上,且BD=CE,DE与BC相交于点F.求证:
DF=EF.
10.已知等腰直角三角形ABC,BC是斜边./B的角平分线交AC于D,过C作CE与BD垂直且交BD延长线于E,
求证:
BD=2CE.
11.(20PP?
牡丹江)如图①,△ABC中.AB=AC,P为底边BC上一点,PE丄AB,PF丄AC,CH丄AB,垂足分别为E、F、H.易证PE+PF=CH.证明过程如下:
如图①,连接AP.
•/PE丄AB,PF丄AC,CH丄AB,
二S^abp=pAB?
PE,Saacp=AC?
PF,Saabc=』AB?
CH.
又•••Saabp+Saacp=Saabc,
•••!
ab?
pe+!
ac?
pf=!
ab?
ch.
2212
•/AB=AC,
•pe+pf=ch.
(1)如图②,P为BC延长线上的点时,其它条件不变,PE、PF、CH又有怎样的数量关系?
请写出你的猜想,
并加以证明:
(2)填空:
若/A=30°△ABC的面积为49,点P在直线BC上,且P到直线AC的距离为PF,当PF=3时,则
.点P到AB边的距离PE=
12•数学课上,李老师出示了如下的题目:
在等边三角形ABC中,点E在AB上,点D在CB的延长线上,且ED=EC,如图,试确定线段AE与DB的大小关系,并说明理由”.
小敏与同桌小聪讨论后,进行了如下解答:
(1)特殊情况,探索结论
DB(填\”,
当点E为AB的中点时,如图1,确定线段AE与DB的大小关系,请你直接写出结论:
AE
或=”).
(2)特例启发,解答题目
解:
题目中,AE与DB的大小关系是:
AEDB(填\”,N”或=”).理由如下:
如图2,过点E作
EF//BC,交AC于点F.(请你完成以下解答过程)
(3)
在等边三角形
ABC中,点E在直线AB上,点D在直线BC上,且ED=EC.
圉1图2
AE=2,求CD
拓展结论,设计新题
的长(请你直接写出结果)
13.已知:
如图,AF平分/BAC,BC丄AF于点E,点D在AF上,ED=EA,点P在CF上,连接PB交AF于点M.若/BAC=2/MPC,请你判断/F与/MCD的数量关系,并说明理由.
C
14.如图,已知△ABC是等边三角形,点D、E分别在BC、AC边上,且AE=CD,AD与BE相交于点F.
(1)线段AD与BE有什么关系?
试证明你的结论.
(2)求/BFD的度数.
16.已知:
如图,在△OAB中,/AOB=90°OA=OB,在△EOF中,/EOF=90°OE=OF,连接AE、BF.问线段AE与BF之间有什么关系?
请说明理由.
17.(20PP?
郴州)如图,在△ABC中,AB=AC,D是BC上任意一点,过D分别向AB,AC引垂线,垂足分别为
E,F,CG是AB边上的高.
(1)
(2)若D在底边的延长线上,
DE,DF,CG的长之间存在着怎样的等量关系?
并加以证明;
(1)中的结论还成立吗?
若不成立,又存在怎样的关系?
请说明理由.
18.如图甲所示,在△ABC中,AB=AC,在底边BC上有任意一点P,贝UP点到两腰的距离之和等于定长(腰上的高),即PD+PE=CF,若P点在BC的延长线上,那么请你猜想PD、PE和CF之间存在怎样的等式关系?
写出你的猜想并加以证明.
等腰三角形典型例题练习
参考答案与试题解析
一•选择题(共2小题)
1.如图,/C=90°AD平分/BAC交BC于D,若BC=5cm,BD=3cm,则点D到AB的距离为()
A.5cmB.3cmC.2cmD.不能确定
解答:
解:
t/C=90°AD平分/BAC交BC于D
D到AB的距离即为CD长CD=5-3=2故选C.
2.如图,已知C是线段AB上的任意一点(端点除外),分别以AC、BC为边并且在AB的同一侧作等边△ACD和等边△BCE,连接AE交CD于M,连接BD交CE于N.给出以下三个结论:
①AE=BD②CN=CM③MN//AB其中正确结论的个数是(
A.0
卡析:
B.1
D.3
弹答:
由厶ACD和厶BCE是等边三角形,根据SAS易证得△ACEDCB,即可得①正确;由AACEDCB,可得
/EAC=/NDC,又由/ACD=/MCN=60°利用ASA,可证得△ACMDCN,即可得②正确;又可证得△CMN是等边三角形,即可证得③正确.
解:
•••△ACD和厶BCE是等边三角形,二/ACD=/BCE=60°AC=DC,EC=BC,
/•ZACD+/DCE=/DCE+/ECB,即/ACE=/DCB,二△ACEDCB(SAS),
•••AE=BD,故①正确;
/ZEAC=ZNDC,tZACD=ZBCE=60°/ZDCE=60°/ZACD=ZMCN=60°
•/AC=DC,/△ACMDCN(ASA),•/CM=CN,故②正确;
又ZMCN=180。
-ZMCA-ZNCB=180°-60°-60°60°
/•△CMN是等边三角形,/•/NMC=ZACD=60°,/MN//AB,故③正确.故选D.
二•填空题(共1小题)
3.如图,在正三角形ABC中,D,E,F分别是BC,AC,AB上的点,DE丄AC,EF丄AB,FD丄BC,则△DEF的面积与△ABC的
分析:
解答:
首先根据题意求得:
ZDFE=ZFED=ZEDF=60°即可证得△DEF是正三角形,又由直角三角形中,30°所对的直角
边是斜边的一半,得到边的关系,即可求得DF:
AB=1:
;,又由相似三角形的面积比等于相似比的平方,即可求
得结果.
解:
•••△ABC是正三角形,/.ZB=ZC=ZA=60°
tDE丄AC,EF±AB,FD丄BC,/ZAFE=ZCED=ZBDF=90°
RFli
/ZBFD=ZCDE=ZAEF=30°/ZDFE=ZFED=ZEDF=60°竺丄,
BF2
/△DEF是正三角形,/BD:
DF=1:
①,BD:
AB=1:
3②,△DEFABC,
①-②,二=",/DF:
AB=1:
",/△DEF的面积与△ABC的面积之比等于1:
3.
故答案为:
1:
3.
D
三•解答题(共15小题)
4.在△ABC中,AD是/BAC的平分线,E、F分别为AB、AC上的点,且/EDF+/EAF=180°求证DE=DF•
分析:
解答:
过D作DM丄AB,于M,DN丄AC于N,根据角平分线性质求出DN=DM,根据四边形的内角和定理和平角定义求出ZAED=ZCFD,根据全等三角形的判定AAS推出△EMDFND即可.
证明:
过D作DM丄AB,于M,DN丄AC于N,
(角平分线性质),/DME=/DNF=90°
vZEAF+/EDF=180°:
丄MED+/AFD=360°-180°=180°
VZAFD+ZNFD=180°:
-ZMED=ZNFD,
在厶EMD和厶FND中
'ZMBD^ZDFN
■'ZDIE-ZDNF,:
△EMDFND,•:
DE=DF.
ldm=dn
0,过点0作DE//BC,分别交AB、AC于点D、E.请说明DE=BD+EC.
分析:
根据0B和0C分别平分ZABC和ZACB,和DE//BC,利用两直线平行,内错角相等和等量代换,求证出DB=D0,
0E=EC.然后即可得出答案.
解答:
解:
v在△ABC中,0B和0C分别平分ZABC和ZACB,
:
.ZDB0=Z0BC,ZEC0=ZOCB,
vDE//BC,:
ZDOB=ZOBC=ZDBO,ZEOC=ZOCB=ZECO,
•:
DB=DO,OE=EC,vDE=DO+OE,•:
DE=BD+EC.
6.>已知:
如图,D是厶ABC的BC边上的中点,DE丄AB,DF丄AC,垂足分别为E,F,且DE=DF.请判断△ABC是什么三角形?
并说明理由.
分析:
解答:
用(HL)证明△EBDFCD,从而得出/EBD=/FCD,即可证明△ABC是等腰三角形.△ABC是等腰三角形.
证明:
连接AD,丁DE丄AB,DF丄AC,^ZBED=/CFD=90°且DE=DF,
•/D是厶ABC的BC边上的中点,BD=DC,
/•Rt△EBD幻Rt△FCD(HL),EBD=/FCD,二△ABC是等腰三角形.
7.如图,△ABC是等边三角形,BD是AC边上的高,延长BC至E,使CE=CD.连接DE.
(1)ZE等于多少度?
(2)△DBE是什么三角形?
为什么?
A
CE
(1)由题意可推出/ACB=60°/E=ZCDE,然后根据三角形外角的性质可知:
/ACB=/E+ZCDE,即可推出/E的度数;
(2)根据等边三角形的性质可知,BD不但为AC边上的高,也是ZABC的角平分线,即得:
ZDBC=30°然后再结合
(1)中求得的结论,即可推出△DBE是等腰三角形.
解:
(1):
上ABC是等边三角形,•••/ACB=60°
•-CD=CE,「.ZE=ZCDE,丁ZACB=ZE+ZCDE,二ZeAZACB二丄X,
(2)•••△ABC是等边三角形,BD丄ACABC=60°二/D眈二丄ZABC二30”,
vZE=30°/-ZDBC=ZE,「.ADBE是等腰三角形.
8.如图,在△ABC中,ZACB=90°CD是AB边上的高,ZA=30°求证:
AB=4BD.
分析:
由厶ABC中,ZACB=90°ZA=30。
可以推出AB=2BC,同理可得BC=2BD,则结论即可证明.
解答:
解:
vZACB=90°ZA=30°•/AB=2BC,ZB=60°
又vCD丄AB,•/ZDCB=30°•/BC=2BD.•/AB=2BC=4BD.
9.如图,△ABC中,AB=AC,
A
点D、E分别在AB、AC的延长线上,且BD=CE,DE与BC相交于点F.求证:
DF=EF.
B=Z2,
过D点作DG//AE交BC于G点,由平行线的性质得Z仁Z2,Z4=Z3,再根据等腰三角形的性质可得Z则ZB=Z1,于是有DB=DG,根据全等三角形的判定易得△DFG^^EFC,即可得到结论.
证明:
过D点作DG/AE交BC于G点,如图,
/Z1=Z2,Z4=Z3,
vAB=AC,•/ZB=Z2,/ZB=Z1,•/DB=DG,而BD=CE,•/DG=CE,在厶DFG和厶EFC中
*ZDFG=ZEFC
[DS=CE
A
A
:
•△DFGEFC,DF=EF.
d
E
10.已知等腰直角三角形ABC,BC是斜边./B的角平分线交AC于D,过C作CE与BD垂直且交BD延长线于E,求证:
BD=2CE.
解答:
分析:
延长CE,BA交于一点F,由已知条件可证得△BFE全幻△BEC,所以FE=EC,即CF=2CE,再通过证明△ADBFAC可得FC=BD,所以BD=2CE.
证明:
如图,分别延长CE,BA交于一点F.
•/BE丄EC,:
/FEB=/CEB=90°•/BE平分/ABC,二/FBE=/CBE,
又tBE=BE,二△BFEBCE(ASA).FE=CE.:
CF=2CE.
•/AB=AC,/BAC=90°/ABD+/ADB=90°/ADB=/EDC,:
/ABD+/EDC=90°
又DEC=90°/EDC+/ECD=90°FCA=/DBC=/ABD.
:
•△ADBAFC.•••FC=DB,二BD=2EC.
11.(20PP?
牡丹江)如图①,△ABC中.AB=AC,P为底边BC上一点,PE丄AB,PF丄AC,CH丄AB,垂足分别为E、F、H.易证PE+PF=CH.证明过程如下:
如图①,连接AP.
tPE丄AB,PF丄AC,CH丄AB,二S^abp=—AB?
PE,AB?
CH.
222
又TS^abp+Saacp=SaABC,二2ab?
Pe2aC?
PF」AB?
CH.
222
•/AB=AC,PE+PF=CH.
(1)如图②,P为BC延长线上的点时,其它条件不变,PE、PF、CH又有怎样的数量关系?
请写出你的猜想,并加以证明:
(2)填空:
若/A=30°△ABC的面积为49,点P在直线BC上,且P到直线AC的距离为PF,当PF=3时,_则AB边上的高CH=
分析:
(1)连接AP.先根据三角形的面积公式分别表示出S^abp,S^acp,S^abc,再由S^abp=Saacp+S△ABC即可得岀
pe=pf+ph;
(2)先根据直角三角形的性质得出AC=2CH,再由△ABC的面积为49,求出CH=7,由于CH>PF,则可分两种情况进行讨论:
①P为底边BC上一点,运用结论PE+PF=CH;②P为BC延长线上的点时,运用结论PE=PF+CH.
解答:
解:
(1)如图②,PE=PF+CH.证明如下:
tPE丄AB,PF丄AC,CH丄AB,二SAabp^lAB?
PE,Saacp=丄AC?
PF,Saabc=AB?
CH,
222
•/SAabp=SAacp+SAABC,二■AB?
PE=■AC?
PF+AB?
CH,又tAB=AC,二PE=PF+CH;
二二二
(2)丁在厶ACH中,/A=30°/•AC=2CH.
tSAabC=:
AB?
CH,AB=AC,「•_X2CH?
CH=49,二CH=7.
22
分两种情况:
1P为底边BC上一点,如图①.
tPE+PF=CH,二PE=CH-PF=7-3=4;
2P为BC延长线上的点时,如图②.
tPE=PF+CH,二PE=3+7=10.故答案为7;4或10.
图①图②
12•数学课上,李老师出示了如下的题目:
在等边三角形ABC中,点E在AB上,点D在CB的延长线上,且ED=EC,如图,试确定线段AE与DB的大小关系,并说明理由”.小敏与同桌小聪讨论后,进行了如下解答:
(1)特殊情况,探索结论
当点E为AB的中点时,如图1,确定线段AE与DB的大小关系,请你直接写出结论:
AE=DB(填>”,N”或=”).
(2)特例启发,解答题目
解:
题目中,AE与DB的大小关系是:
AE=DB(填>”,N”或=”).理由如下:
如图2,过点E作EF//BC,交AC于点F.(请
你完成以下解答过程)
(3)拓展结论,设计新题
分析:
(1)根据等边三角形性质和等腰三角形的性质求出/D=/ECB=30°求出/DEB=30°求出BD=BE即可;
(2)过E作EF/BC交AC于F,求出等边三角形AEF,证△DEB和厶ECF全等,求出BD=EF即可;
(3)当D在CB的延长线上,E在AB的延长线式时,由
(2)求出CD=3,当E在BA的延长线上,D在BC的延长线上时,求出CD=1.
解答:
解:
(1)故答案为:
=.
(2)过E作EF/BC交AC于F,
t等边三角形ABC,二/ABC=/ACB=/A=60°AB=AC=BC,
/•ZAEF=/ABC=60°/AFE=/ACB=60°即/AEF=/AFE=/A=60°
AEF是等边三角形,•/AE=EF=AF,
tZABC=ZACB=ZAFE=60°/ZDBE=ZEFC=120°ZD+ZBED=ZFCE+ZECD=60°
tDE=EC,•/ZD=ZECD,•/ZBED=ZECF,在厶DEB和厶ECF中
ZDEB=ZECF
“ZDBE^ZUFC,/△DEBECF,•/BD=EF=AE,即AE=BD,故答案为:
=.
lDE=CE
(3)解:
CD=1或3,
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