等比数列知识点总结与典型例题全面版.docx
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等比数列知识点总结与典型例题全面版
等比数列知识点总结与典型例题
1、等比数列的定义:
-n_2,且nN*,q称为公比
anJ
2、通项公式:
a^a1qn±-aiq^ABn印q=0,AB=0,首项:
ai;公比:
q
q
n_mn_manan
推厂:
an=amquq=——amVam
3、等比中项:
(1)如果a,A,b成等比数列,那么A叫做a与b的等差中项,即:
A2=ab或
A=.ab
注意:
同号的两个数才有等比中项,并且它们的等比中项有两个(
(2)数列也匚是等比数列二an2二an」an1
4、等比数列的前n项和Sn公式:
(1)当q=1时,Sn=na1
(2)当q=1时,
a1—qnsn匚
1-q
q~anq
1-q
勺=A-ABn=A'Bn-A'(A,B,A',B'为常数)
1-q1-q
5、等比数列的判定方法:
n,都有a.1—qan或也,=q(q为常数,
an
等比数列
(2)等比中项:
an2=anQn/an局厂0)=©}为等比数列
(3)通项公式:
an=ABnAB=0二{an}为等比数列
6、等比数列的证明方法:
a*
依据定义:
若一丄二qq=On_2,且nN或and^qa^{an}为等比数列an_1
7、等比数列的性质:
(2)对任何m,n・N*,在等比数列®}中,有a^amq^^。
(3)若m•n二st(m,n,s,t•N*),则anam=asat。
特别的,当m•n=2k时,
2
得anam=ak注:
玄!
色=a?
色」=838*_2…
等差和等比数列比较:
等差数列
等比数列
定义
an卑一an=d
a^n.n.
——=q(q式0)an
递推公
式
an=an」+d;an=am』+md
an
=an」q;an=amq
通项公
式
an=a^+(n-1)d
an
=aiq(a「qH0)
人_日心圮姝(n,k^N*,n»k>0)
2
中项
*
G=±Jan上an*(an上an*A。
)(n,k^N,n»k»0)
Sn=—(a1+an)
2
Tiai(q=1)
前n项和
Sn=*
a』—qn)a1—anq(q、2)
丄n(n-1)
Sn—na1+d
2
.一"(q^2)
1-q1-q
重要
am*an=ap*aq
am'an—ap,aq
性质
(m,n,p,qEN*,m+n=p+q)
(m,n,
*
p,q^N,m+n=p+q)
经典例题透析
类型一:
等比数列的通项公式
例1.等比数列{an}中,ai日9=64,a3a^20,求.
思路点拨:
由等比数列的通项公式,通过已知条件可列出关于印和q的二元方程组,解出印和q,可得an;或注意到下标1^37,可以利用性质可求出a3、ay,再求an.
解析:
■8
法一:
设此数列公比为q,则a13印嘗=64⑴
卫3十87=64+a1q=20
(2)
由⑵得:
ae(1q4)=20⑶
由
(1)得:
(ae4)2=64,.・£24=8……(4)
205
⑶亠⑷得q282'
2
法二:
--a3、
a2
-a3a11=a7,…a^1或an=64.
a3
总结升华:
①列方程(组)求解是等比数列的基本方法,同时利用性质可以减少计算量;
故较
②解题过程中具体求解时,要设法降次消元,常常整体代入以达降次目的,多变形要用除法(除式不为零)•
举一反三:
【变式1】{an}为等比数列,ai=3,a9=768,求a6。
【答案】土96
法一:
设公比为q,则768=aiq8,q8=256,二q=±2,6=±96;法二:
a52=aia9二a5=±48q=±2,-a6=±96。
【变式2】{an}为等比数列,an>0,且aia89=16,求a44a45a46的值。
【答案】64;
2
-aia89=a45=16,又an>0,—a45=4
【变式3】已知等比数列佝},若aia2a^7,=8,求a.。
--aia2a3
3c.
—a^—8,…a2
=2
【答案】an=2n」或令=23』;
q+a3=5
从而,解之得q=i,a^4或ai=4,a^i
L_aia3~4
1
当印刊时,q=2;当ai=4时,q二一
2
故a*=2n」或a*=23』。
法二:
由等比数列的定义知a^aiq,a^aiq2
2
代入已知得a「aiqa:
q勺
©aiq-a-iq=8
=ai(iqq2)=7,—「ajiqq2)=7,(i)a;q3二8qq二2⑵
2
将ai代入
(1)得2q2-5q=0,
q
1
解得q=2或q=㊁
ra=iai=4
由
(2)得1一或i,以下同方法lq=2q=—
I2
类型二:
等比数列的前n项和公式例2.设等比数列{an}的前n项和为Sn,若S3+S6=2S9,求数列的公比q.
解析:
若q=1,则有S3=3ai,S6=6ai,S9=9ai.
因ai0,得S3+S6工2S,显然q=1与题设矛盾,故q工1.
369
由S3S^2S9得,ad口J空g,
1—q1—q1—q
整理得q3(2q6-q3-1)=0,
由q工0,得2q6-q3-1=0,从而(2q3+1)(q3-1)=0,
31返
因q3工1,故q--一,所以q-。
22
举一反三:
1i
【变式1】求等比数列1,一,一,川的前6项和
39
4
--S6
[i_Sg
13丿」243
1
1
3
2
【变式2】已知:
{an}为等比数列,aia2a3=27,S3=13,求S5.
121
【答案】121或上」
9
a©=128/口a
解万程组k+a”=66,得k
=64或叫
=2
印=2
an=64
【变式3】在等比数列{an}中,印鸟=66,826」=128,&=126,求n和q。
1
【答案】或2,X6;
.a:
8门_i二a〔3n,••a〔an二128
①将二4代入s-ae
由an二a1qn,,解得n=6;
②将二4代入,得q=2,
由an-a1q,解得n=60
类型三:
等比数列的性质
例3.等比数列{a.}中,若a506=9,求log3a1log3a2...Togsag.
解析:
•••{an}是等比数列,•印印0=a289=a3a^a487=85a^9
55
^•log3a1Iog3a2log3a^=log3(3a:
33川a^)=log3(a5a6)=log39=10
举一反三:
【变式1
】正项等比数列{an}中,若a1-100=100;则
lga1+lga2+
-+lga00=
【答案】100;
'•1gai+lga2+lga3++lgaoo=lg(a1-a-3100》
而ai-iao=a2•9©=a3•9®==a•5a
•••原式=lg(a1-iao)50=50lg(a1-ao)=50xlg100=100。
【变式2】在8和27之间插入三个数,使这五个数成等比数列,则插入的三个
32
数的乘积为。
【答案】216;法一:
设这个等比数列为{an},其公比为q,
—2748448129
石,丢巧计石q,•冷,q—
=63=216
a3a4pqa^q2a^q^a:
q6二8'•9'
234z哂哂1耳34
27
8
法二:
设这个等比数列为{an},公比为q,则a^-,a§
3
加入的三项分别为a2,a3,a4,
23
•a2a304二a3日3二a3=216。
类型四:
等比数列前n项和公式的性质
等比数列中前k项和,第2个k项和,第3个k项和,……,第n个k项和仍
然成等比数列。
解析:
法一:
令b1=Sn=48,b2=S2n-Sn=60-48=12,b3=S3n-S2n
观察bi=ai+a2++a,
b2=an+1+an+2+
+2n=qn(ai+a2+
+a).
b3=a2n+i+a2n+2++a=q2n(ai+a2++a)
易知bi,b2,b3成等比数列,二,b|48
•°S3n=b3+S2n=3+60=63.
法二:
••$2厂2&,•q",
0^=48①
由已知得J1一q2
ai(1—q)=6。
②
-—q
法三:
•••{an}为等比数列,•S,S2n-Sn,S3n-Szn也成等比数列,
•(S2n
2
_Sn)Sn(S3n-S2n),
-,S3n
=60=63。
S48
举一反三:
【变式1】等比数列{an}中,公比q=2,S4=1,则S8=
【答案】17;
S8=S4+a5+a6+a7+a8=S4+aiq4+a2q4+a3q4+a4q4=S4+q4(ai+a2+a3+a4)=S4+q4S4=S4(1+q4)=1x(1+2)=17
【变式2】已知等比数列{a.}的前n项和为Sn,且S1o=1O,S20=40,求:
S30=?
【答案】130;
法一:
S10,S20-S10,S30-S20构成等比数列,二(S2o-S1o)=S10•3&S20)
即302=10(S30-40),.§30=130.
法二:
'-2S10MS20,.q=1,
a1(1-q10)
=10»込己詡0,
1-q
一项为54,求n.
••*01^=80........
(1)
1-q
S2n
2n\
吕=6560……⑵,
•°81ai=54q(4)
5422
--3iqq代入⑴得q(1-81)=80(1-q),
8133
•'q=3,.5=4.
【变式4】等比数列{aj中,若ai+a2=324,a3+a4=36,则a5+a6=
【答案】4;
令bi=ai+a2=ai(1+q),b2=a3+a4=aiq2(1+q),b3=a5+a6=aiq4(1+q),
b2362
易知:
bi,b2,b3成等比数列,•b3=丄=——=4,即a5+a6=4.
b324
【变式5】等比数列{an}中,若ai+a2+a3=7,a4+a5+a6=56,求az+a8+a9的值。
【答案】448;
'•{an}是等比数列,•(a4+a5+a6)=(ai+a2+a3)q3,:
q3=8,
•'a7+a8+a9=(a4+a5+a6)q3=56x8=448.
类型五:
等差等比数列的综合应用
例5.已知三个数成等比数列,若前两项不变,第三项减去32,则成等差数列.
若再将此等差数列的第二项减去4,则又成等比数列•求原来的三个数.
思路点拨:
恰当地设元是顺利解方程组的前提•考虑到有三个数,应尽量设较少
的未知数,并将其设为整式形式•
解析:
法一:
设成等差数列的三数为a-d,a,a+d.
则a-d,a,a+d+32成等比数列,a-d,a-4,a+d成等比数列.
厂2
a=(a—d)(a+d+32)
(1)
.丿
2
Ja-4)=(a-d)(a+d)⑵
2
由⑵得a=d16(3)
8
51
②*①得iq=—,即q=—③
44
•°an=a1qn-1=54,/a1qn=54q,
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