33提高几何图形培优课程讲义例题练习含答案.docx
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33提高几何图形培优课程讲义例题练习含答案
几何图形(提高)知识讲解
【学习目标】
1.理解几何图形的概念,并能对具体图形进行识别或判断;
2.掌握立体图形从不同方向看得到的平面图形及立体图形的平面展开图,在平面图形和立体图形相互转换的过程中,初步培养空间想象能力;
3.理解点线面体之间的关系,掌握怎样由平面图形旋转得到几何体,能够借助平面图形剖析常见几何体的形成过程.
【要点梳理】
要点一、几何图形
1.定义:
把从实物中抽象出的各种图形统称为几何图形.
要点诠释:
几何图形是从实物中抽象得到的,只注重物体的形状、大小、位置,而不注重它的其它属性,如重量,颜色等.
2.分类:
几何图形包括立体图形和平面图形
(1)立体图形:
图形的各部分不都在同一平面内,这样的图形就是立体图形,如长方体,圆柱,圆锥,球等.
(2)平面图形:
有些几何图形(如线段、角、三角形、圆等)的各部分都在同一平面内,它们是平面图形.
【高清课堂:
多姿多彩的图形397362空间图形的分类】
要点诠释:
(1)常见的立体图形有两种分类方法:
(2)常见的平面图形有圆和多边形,其中多边形是由线段所围成的封闭图形,生活中常见的多边形有三角形、四边形、五边形、六边形等.
(3)立体图形和平面图形是两类不同的几何图形,它们既有区别又有联系.
要点二、从不同方向看
从不同的方向看立体图形,往往会得到不同形状的平面图形.一般是从以下三个方向:
(1)从正面看;
(2)从左面看;(3)从上面看.从这三个方向看到的图形分别称为正视图(也称主视图)、左视图、俯视图.
要点三、简单立体图形的展开图
有些立体图形是由一些平面图形围成,将它们的表面适当剪开,可以展开成平面图形,这样的平面图形称为相应立体图形的展开图.
要点诠释:
(1)不是所有的立体图形都可以展成平面图形.例如,球便不能展成平面图形.
(2)不同的立体图形可展成不同的平面图形;同一个立体图形,沿不同的棱剪开,也可得到不同的平面图.
要点四、点、线、面、体
长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等都是几何体,几何体也简称体;包围着体的是面,面有平的面和曲的面两种;面和面相交的地方形成线,线也分为直线和曲线两种;线和线相交的地方形成点.从上面的描述中我们可以看出点、线、面、体之间的关系.此外,从运动的观点看:
点动成线,线动成面,面动成体.
【典型例题】
类型一、几何图形
1.将图中的几何体进行分类,并说明理由.
【思路点拨】首先要确定分类标准,可以按组成几何体的面是平面或曲面来划分,也可以按柱、锥、球来划分.
【答案与解析】
解:
若按形状划分:
(1)
(2)(6)(7)是一类,组成它的各面全是平面;(3)(4)(5)是一类,组成它的面至少有一个是曲面.
若按构成划分:
(1)
(2)(4)(7)是一类,是柱体;(5)(6)是一类,即锥体;(3)是球体.
【总结升华】先根据立体图形的底面的个数,确定它是柱体、锥体还是球体,再根据其侧面是否为多边形来判断它是圆柱(锥)还是棱柱(锥).
类型二、从不同方向看
2.(春•潮南区月考)如图所示的是某个几何体的三视图.
(1)说出这个立体图形的名称;
(2)根据图中的有关数据,求这个几何体的表面积.
【思路点拨】
(1)从三视图的主视图看这是一个矩形,而左视图是一个扁平的矩形,俯视图为一个三角形,故可知道这是一个直三棱柱;
(2)根据直三棱柱的表面积公式计算即可.
【答案与解析】
解:
(1)这个立体图形是直三棱柱;
(2)表面积为:
×3×4×2+15×3+15×4+15×5=192.
【总结升华】本题主要考查由三视图确定几何体和求几何体的表面积等相关知识,考查学生的空间想象能力.
举一反三:
【变式】如图所示的几何体中,主视图与左视图不相同的几何体是().
【答案】D
提示:
圆锥的主视图与左视图为相同的三角形;圆柱的主视图与左视图为相同的矩形;球的主视图与左视图为相同的圆,正三棱柱的主视图和左视图为不相同的两个矩形,故选D.
3.由一些大小相同的小正方体搭成的几何体的俯视图如右图所示,其正方形中的数字表示该位置上的小正方体的个数,那么该几何体的主视图是( )
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】俯视图中的每个数字是该位置小立方体的个数,分析其中的数字,得主视图有3列,从左到右分别是1,2,3个正方形.
【总结升华】本题考查了对几何体三种视图的空间想象能力,注意找到该几何体的主视图中每列小正方体最多的个数.
举一反三:
【高清课堂:
多姿多彩的图形397362大显身手】
【变式1】用小立方块搭一个几何体,使得它的主视图和俯视图如图所示,这样的几何体只有一种吗?
它最少需要多少个小立方块?
最多需要多少个小立方块?
【答案】几何体的形状不唯一,
最少需要小方块的个数:
,
最多需要小方块的个数:
.
【变式2】下图是从正面、左面、上面看由若干个小积木搭成的几何体得到的图,那么这个几何体中小积木共有多少个?
【答案】这个几何体中小积木共有6个.
类型三、展开图
4.右下图是一个正方体的表面展开图,则这个正方体是()
【答案】D
【解析】最直接的方法是做一个如图所示的正方体的表面展开图,然后再折叠后进行对照即可.也可用排除法,观察正方体的表面展开图,可发现分成4块的面中的4个小正方形中有3块的颜色是阴影,这就可排除A,再想象折叠的图形,可知正方体被分成4块的面的对面应是阴影,这就可排除B、C,所以选D.
【总结升华】培养空间想想能力的方法有两种,一是通过动手操作来解决;二是通过想象进行确定.正方体沿着棱展开,把各种展开图分类,可以总结为如下11种情况.
举一反三:
【变式】宜黄素有“华南虎之乡”的美誉.将“华南虎之乡美”六个字填写在一个正方体的六个面上,其平面展开图如图所示,那么在该正方体中,和“虎”相对的字是________.
【答案】“美”.
类型四、点、线、面、体
5.如图,一个正五棱柱的底面边长为2cm,高为4cm.
(1)这个棱柱共有多少个面?
计算它的侧面积;
(2)这个棱柱共有多少个顶点?
有多少条棱?
(3)试用含有n的代数式表示n棱柱的顶点数、面数与棱的条数.
【思路点拨】
(1)根据图形可得侧面的个数,再加上上下底面即可;
(2)顶点共有10个,棱有5×3条;
(3)根据五棱柱顶点数、面数与棱的条数进行总结即可.
【答案与解析】
解:
(1)侧面有5个,底面有2个,共有5+2=7个面;
侧面积:
2×5×4=40(cm2).
(2)顶点共10个,棱共有15条;
(3)n棱柱的顶点数2n;面数n+2;棱的条数3n.
【总结升华】此题主要考查了认识立体图形,关键是掌握常见的立体图形的形状.
6.将如右图所示的两个平面图形绕轴旋转一周,对其所得的立体图形,下列说法正确的是( )
A.主视图相同B.左视图相同C.俯视图相同D.三种视图都不相同
【答案】D
【解析】首先考虑三角形和长方形旋转后所得几何体的形状,然后再根据两种几何体的三视图做出判断.
【总结升华】“面动成体”,要充分发挥空间想象能力判断立体图形的形状.
举一反三:
【变式】(春•海安县校级期中)将如图所示放置的一个直角三角形ABC,(∠C=90°),绕斜边AB旋转一周,所得到的几何体的正视图是下面四个图中的( )
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【巩固练习】
一、选择题
1.小亮在观察如图所示的热水瓶时,从左面看得到的图形是().
2.如图所示:
桌面上放着1个长方体和1个圆柱体,按如图所示的方式摆放在一起,从左面看到的图是图中的().
3.将一个直角三角形绕它的最长边(斜边)旋转一周得到的几何体是如图中的().
4.如图是由几个相同的小正方体搭成的几何体的三视图,则搭成这个几何体的小正方体的个数是()
A.5B.6C.7D.8
5.(•资阳)如图是一个正方体纸盒的外表面展开图,则这个正方体是( )
A.
B.
C.
D.
6.(•无锡)如图的正方体盒子的外表面上画有3条粗黑线,将这个正方体盒子的表面展开(外表面朝上),展开图可能是( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题
7.在圆、正方形、圆锥、长方体、线段、球、三棱柱、直角三角形中,是立体图形的有 个.
8.一个正方体的每个面分别标有数字1,2,3,4,5,6,根据图中该正方体A,B,C三种状态所显示的数字,可推出“?
”处的数字是________.
9.如图是由小正方体堆积组成,图形看不见的地方也同样有小正方体,每个小正方体的体积为1个立方单位,则这堆正方体的体积是________个立方单位.
10.(•黄冈校级自主招生)如图是由几块相同的小正方体搭成的立体图形的三视图,则这个立体图形中小正方体共有 块.
11.给出下列各结论:
①圆柱由3个面围成,这3个面都是平的;
②圆锥由2个面围成,这2个面中:
1个是平的,1个是不平的;
③球仅由1个面围成,这1个面是平的;
④正方体由6个面围成,这6个面都是平的.
其中正确的为________(写出序号即可).
12.
(1)一张纸对折后,纸上会留下一道折痕,用数学知识可解释为________,与之原理相同的例子还有________(尽量多举出几种来);
(2)黑板擦在黑板上擦出一片干净的区域,用数学知识可解释为________,与之原理相同的例子还有________(尽量多举出几种来);
(3)数学课本绕它的一边旋转,形成了一个圆柱体,用数学知识可解释为________,与之原理相同的例子还有________(尽量多举出几种来).
三、解答题
13.如图所示,一长方体的长、宽、高分别是10cm、8cm、6cm,有一只蚂蚁从A点出发沿棱爬行,每条棱不允许重复,则蚂蚁回到A点时,最多爬行多少厘米?
并把蚂蚁所爬行的路线用字母按顺序表示出来.
14.
(1)一个梯形ABCD,如图所示,画出绕AB所在直线旋转一周所形成的几何体的三视图(即从正面看,从上面看,从左面看).
(2)梯形绕BC所在直线旋转一周形成什么图形?
(3)梯形绕DC所在直线旋转一周形成什么图形?
15.如图,是一个正六棱柱,它的底面边长是3cm,高是6cm.
(1)这个棱柱的侧面积是多少?
(2)这个棱柱共有多少条棱?
所有的棱长的和是多少?
(3)这个棱柱共有多少个顶点?
(4)通过观察,试用含n的式子表示n棱柱的面数与棱的条数.
【答案与解析】
一、选择题
1.【答案】B
【解析】从左面看到的平面图形,仍是热水瓶的轮廓,可排除C、D.而从左面看时热水瓶的柄恰在正中,所以排除A,故选B.
2.【答案】C
3.【答案】D
【解析】选项A中圆柱是以长方形绕其一边所在直线旋转得到的,选项B中圆锥是以直角三角形绕其直角边所在直线旋转得到的,选项C中几何体是以直角梯形绕其下底所在的直线旋转得到的,选项D中几何体是两个圆锥倒放在一起的,以直角三角形绕其斜边所在直线旋转得到的,故选D.
4.【答案】B
【解析】如右图,其中正方形中的数字表示该位置上的小正方体的个数.
5.【答案】C
【解析】解:
∵由图可知,实心圆点与空心圆点一定在紧相邻的三个侧面上,
∴C符合题意.
故选C.
6.【答案】D.
二、填空题
7.【答案】4.
8.【答案】6
【解析】与l相邻的四个面分别为4、5、2、3,则1的对面为6,再由B可知3的对面为4,由A可知5的对面为2,可推出“?
”处的数字为6.
9.【答案】33
【解析】由下向上各层的立方单位为:
9、8、6、5、3、1、1,则总共正方体的个数为33个.所以这一堆正方体的体积为33个立方单位.
10.【答案】9
【解析】解:
综合主视图,俯视图,左视图,底层有2+2+1=5个正方体,第二层有3个正方体,第三层有1个正方体,所以搭成这个几何体所用的小立方块的个数是5+3+1=9个.
故答案为:
9.
11.【答案】②④
【解析】认识立体图形,观察是重要的环节,解题时如果凭想象得出答案较困难,那么可以动手制作图形,进行观察.
12.【答案】
(1)面与面相交得到线,相邻的墙面相交所成的线;长方体的六个面相交所成的线;圆柱的侧面与底面相交所成的曲线等.
(2)线动成面,汽车的雨刷在挡风玻璃上刷出一片干净的区域;刷漆时刷子刷出的漆面.
(3)面动成体,半圆绕它的直径旋转形成一个球面.
三、解答题
13.【解析】
解:
10×4+8×2+6×2=68(cm),所以最多爬行68cm.
路线:
A→B→C→D→H→G→F→E→A.
14.【解析】
解:
(1)如图所示.
(2)梯形ABCD绕BC所在直线旋转一周形成是的圆台.
(3)梯形ABCD绕DC所在直线旋转一周形成的是圆柱和一段圆柱挖去同底的一个圆锥的复合体.
15.【解析】
解:
(1)正六棱柱的侧面积3×6×6=108(cm2);
(2)这个棱柱共有6+6+6=18条棱;
所有的棱长的和是12×3+6×6=36+36=72(cm);
(3)这个棱柱共有12个顶点;
(4)n棱柱的面数是(n+2)面,
n棱柱棱的条数是3n条.
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