圆定理总结包括托勒密定理塞瓦定理西姆松定理梅涅劳斯定理圆幂定理和四点共圆1.docx
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圆定理总结包括托勒密定理塞瓦定理西姆松定理梅涅劳斯定理圆幂定理和四点共圆1
托勒密定理
定理图
定理的内容托勒密(Ptolemy)定理指出,
线的乘积。
原文:
圆的内接四边形中,面积与另一组对边所包矩形的面积之和。
圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角
两对角线所包矩形的面积等于一组对边所包矩形的
从这个定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一
系列的三角恒等式,托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质.
定理的提出
般几何教科书中的托勒密定理”实出自依巴谷(HiPParchUS)之手,托勒密只
是从他的书中摘出。
证明
一、(以下是推论的证明,托勒密定理可视作特殊情况。
)
在任意四边形ABCD中,作△ABE使/BAE=/CAD/ABE=/ACD因为△ABEsAACD
所以BE/CD=AB/AC,即BE-AC=ABCD
(1)
而/BAC=/DAE,,/ACB=/ADE
所以△ABCsAaED相似.
BC/ED=AC/AD即ED-AC=BCAD
(2)
(1)+
(2),得
AC(BE+ED)=ABCD+ADBC又因为BE+ED^BD
(仅在四边形ABCD是某圆的内接四边形时,等号成立,即所以命题得证
托勒密定理”)
复数证明
用a、b、c、d分别表示四边形顶点A、B、C、D的复数,
则AB、CD、AD、B
C、AC、BD的长度分别是:
(a-b)、(c-d)、(a-d)、(b-c)、(a-c)
复数恒等式:
(a-b)(c-d)+(a-d)(b-c)=(a-c)(b-d),两边取模,运用三角不等式得。
等号成立的条件是(a-b)(c-d)与(a-d)(b-c)的辐角相等,这与,
B、C、D四点共圆等价。
四点不限于同一平面。
平面上,托勒密不等式是三角不
等式的反演形式。
、(b-d)。
首先注意到
二、设ABCD是圆内接四边形。
在弦BC上,圆周角/BAC=/BDC,而在A
B上,/ADB=/ACB。
在AC上取一点K,使得/ABK=/CBD;因为/ABK
+/CBK=/ABC=/CBD+/ABD,所以/CBK=/ABD。
因此△ABK与
△DBC相似,同理也有△ABD-△KBC。
因此AK/AB=CD/BD,且
推论
1.任意凸四边形ABCD,必有AC-BDCAB-CD+ADBC,当且仅当ABCD四点共
圆时取等号。
2.托勒密定理的逆定理同样成立:
一个凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角
线的乘积,则这个凸四边形内接于一圆、
推广
取等号当
托勒密不等式:
四边形的任两组对边乘积不小于另外一组对边的乘积,且仅当共圆或共线。
(a-b)(c-d)+(a-d)(b-c)=(a-c)(b-d)得不等式AC-BDC|(a-b)(c-d)|+|(b-c)(a-d)|=AB注意:
简单的证明:
复数恒等式:
CD+BCAD
,两边取模,
A、B、C、D四点
1.等号成立的条件是(a-b)(c-d)与(a-d)(b-c)的辐角相等,这与
共圆等价。
2.四点不限于同一平面。
欧拉定理:
在一条线段上AD上,顺次标有B、C两点,贝UAD-BC+ABCD=ACB
塞瓦定理
简介
塞瓦(GiovanniCeva,1648〜1734)意大利水利工程师,数学家。
塞瓦定理载于塞瓦于1678年发表的《直线论》一书,也有书中说塞瓦定理是塞瓦重新发现。
具体内容
塞瓦定理
在^ABC内任取一点0,
D、E、F,贝U(BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=1
直线A0、B0、CO分别交对边于
证法简介
(I)本题可利用梅涅劳斯定理证明:
•••△ADC被直线BOE所截,
(BC/CD)*(DO/OA)*(AF/FB)=1
•••(CB/BD)*(DO/OA)*(AE/EC)=1而由△ABD被直线COF所截,•••
②乜:
即得:
(BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=1
(n)也可以利用面积关系证明
•/BD/DC=S△ABD/S△ACD=S△BOD/S△COD=(S△ABD-S△BOD)/(S△ACD-
S△COD)=S△AOB/S△AOC③
同理CE/EA=S△BOC/S△AOB④AF/FB=S△AOC/S△BOC
3X④X⑤得BD/DC*CE/EA*AF/FB=1
利用塞瓦定理证明三角形三条高线必交于一点
塞瓦定理推论
由塞瓦定理的角元形式,正弦定理及圆弦长与所对圆周角关系易证。
4.还能利用塞瓦定理证三角形三条高交于一点
设三边AB、BC、AC的垂足分别为D、E、F,根据塞瓦定理逆定理,因为
(AD:
DB)*(BE:
EC)*(CF:
FA)=[(CD*ctgA)
,所以三条高
/[(CD*ctgB)]*[(AE*ctgB)/(AE*ctgC)]*[(BF*ctgC)/[(AE*ctgB)]=1,所以三条高CD、
AE、BF交于一点。
梅涅劳斯定理
梅涅劳斯(Menelaus)定理(简称梅氏定理)是由古希腊数学家梅涅劳斯首先证明的。
它指出:
如果一条直线与^ABC的三边AB、BC、CA或其延长线交于F、D、E点,那么(A
F/FB)XBD/DC)X(CE/EA)=1。
或:
设X、丫、Z分别在△ABC的BC、CA、AB所在直线上,贝UX、Y、Z共线的充要条件是(AZ/ZB)*(BX/XC)*(CY/YA)=
cs
证明一:
过点A作AG//BC交DF的延长线于G,
则AF/FB=AG/BD,BD/DC=BD/DC,CE/EA=DC/AG。
三式相乘得:
(AF/FB)X(BD/DC)X(CE/EA)=(AG/BD)X(BD/DC)X(DC/AG)=1
证明二:
过点C作CP//DF交AB于P,贝UBD/DC=FB/PF,CE/EA=PF/AF所以有AF/FBXBD/DCXCE/EA=AF/FB 它的逆定理也成立: 若有三点 F、D、E分别在△ABC的边AB、BC、CA或其 延长线上,且满足(AF/FB)X(BD/DC)X(CE/EA)=1,贝UF、D、E三点共线。 利用这个 逆定理,可以判断三点共线。 梅涅劳斯(Menelaus)定理 证明三: 所以AD: DB=AA': BB',BE: EC=BB': CC',CF: FA=CC': AA'所以(AF/FB)X(BD/DC)X(CE/EA)=1 证明四: 连接BF。 (AD: DB)(BE: EC)-(CF: FA) =(S△ADF: S△BDF)-(S△BEF: S△CEF) •(S△BCF: S△BAF) =(S△ADF: S△BDF)-(S△BDF: S△CDF) •(S△CDF: S△ADF) =1 此外,用定比分点定义该定理可使其容易理解和记忆: 在^ABC的三边BC、CA、AB或其延长线上分别取 L、M、N三点, 又分比是入 =BL/LC、卩=CM/MA、v=AN/NB。 于是 第一角元形式的梅涅劳斯定理 L、M、N三点共线的充要条件是 如图: 若E,F,D三点共线,则 (sin/ACF/sin/FCB)(sin/BAD/sin/DAC)(sin/CBA/sin/ABE)=1 即图中的蓝角正弦值之积等于红角正弦值之积 该形式的梅涅劳斯定理也很实用 第二角元形式的梅涅劳斯定理 记忆 ABC为三个顶点, DEF为三个分点 (AF/FB)X(BD/DC)X(CE/EA)=1 1/下1) (顶到分/分到顶)=1 *(整/右)*(下2/上2)=1 (顶到分/分到顶)*(顶到分/分到顶)空间感好的人可以这么记: (上 实际应用 为了说明问题,并给大家一个深刻印象,我们假定图中的 是六个旅游景点,各景点之间有公路相连。 我们乘直升机飞到这些景点的上空,然后选择其中的任意一个景点降落。 我们换乘汽车沿公路去每一个景点游玩,最后回到出发点,直升机就停在那里等待我们回去。 我们不必考虑怎样走路程最短,只要求必须停留观赏的景点,不能算是“游历”。 例如直升机降落在 A、B、C、D、E、F 游历”了所有的景点。 只“路过”而不 A点,我们从A点出发,“游历”了其它五个字母所代表的景点 后,最终还要回到出发点另外还有一个要求,到其它直线上的景点。 从A点出发的旅游方案共有四种,下面逐一说明: 方案①一一从A经过B(不停留)到F(停留),再返回B(停留),再到D(停留),之后经过B(不停留)到C(停留),再到E(停留),最后从E经过C(不停留)回到出发点A。 按照这个方案,可以写出关系式: 外一些公式。 梅涅劳斯定理”中的三项。 值得注意的是,有些公式中包含了四项因式,而不是 当直升机降落在B点时,就会有四项因式。 而在C点和F点,既会有三项的公式,也会有四项的公式。 公式为四项时,有的景点会游览了两次。 不知道梅涅劳斯当年是否也是这样想的, 只是列出了一两个典型的公式给我们看看。 还可以从逆时针来看,从第一个顶点到逆时针的第一个交点比上到下一个顶点的距离,以此类推,可得到三个比例,它们的乘积为 现在是否可以说,我们对梅涅劳斯定理有了更深刻的了解呢。 那些复杂的相除相乘的关系式,不会再写错或是记不住吧。 西姆松定理 西姆松定理是一个几何定理。 表述为: 过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边 的垂线,则三垂足共线。 (此线常称为西姆松线)。 西姆松定理的逆定理为: 若一点在三角 形三边所在直线上的射影共线,则该点在此三角形的外接圆上。 西姆松定理说明 相关的结果有: (1)称三角形的垂心为H。 西姆松线和PH的交点为线段PH的中点,且这点在 九点圆上。 (2)两点的西姆松线的交角等于该两点的圆周角。 (3)若两个三角形的外接圆相同,这外接圆上的一点交角,跟P的位置无关。 (4)从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的充要条件是该点落在三角形的外接圆上。 P对应两者的西姆松线的 证明 证明一: △ABC外接圆上有点P,且PE丄AC于E,PF丄AB于F,PD丄BC 于D,分别连 易证P、 DE、DF. B、F、D及P、D、C、E和A、B、P、C分别共圆,于是/FDP=/A CP①, ② (•••都是/ABP的补角)且/PDE=/PCE 而/ACP+/PCE=180 •••/FDP+/PDE=180 D、E共线.反之,当F、D、E共线时,由④7②7③7①可见A、B、 P、C共圆. 证明二: 如图,若L、M、N三点共线,连结BP,CP,则因PL垂直于BC,P M、P、L、C分别四点共圆,有 /PBN=/PLN=/PLM /PCM. 四点共圆。 四点共圆,则/ PBN /PCM。 因PL垂直于BC,PM垂直于 AC,PN垂直于AB, /PBN=/PLN =/PCM= L、 /PLM. P、L、C四点共圆,有 共圆==>/3=/4 故L、M、N三点共线。 相关性质的证明 连AH延长线交圆于G, 连PG交西姆松线与R,BC 如图连其他相关线段 AH丄BC,PF丄BC==>AG//PF==> A.G.C.P共圆==>/2=/3 PE丄AC,PF丄BC==>P.E.F.C ==>/1=/4 PF丄BC ==>PR=RQ BH丄AC,AH丄BC==>/5=/6 A.B.G.C共圆==>/6=/7 ==>/5=/7 AG丄BC==>BC垂直平分GH ==>/8=/2=/4 /8+/9=90,/10+/4=90==>/9=/10 ==>HQ//DF ==>PM=MH 三角形ABC和三角形XYZ位似,那么它们的外接圆也位似。 两个圆的圆心都在 OH上,并且两圆半径比为1: 2 所以G是三角形ABC外接圆和三角形XYZ外接圆(九点圆)的"反"位似中心(相似 点在位似中心的两边),H是”正"位似中心(相似点在位似中心的同一边)..• 所以H到三角形ABC的外接圆上的连线中点必在三角形DEF的外接圆上.... 圆幕定理 t”- '点吃至=>I.・»AL-・rr. mftrnrfcfm JI ]l> £IWLFl+E*百卜町 -rr 圆幂定理是对相交弦定理、纳的结果。 圆幂定理 切割线定理及割线定理(切割线定理推论)以及它们推论统一归 定义 圆幕=POA2-RA2I 所以圆内的点的幕为负数,圆外的点的幕为正数,圆上的点的幕为零。 相交弦定理: 圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的积相等。 切割线定理: 从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。 =PC-PD。 重合,即切线),L2与圆交于C、D(可重合),则有 进一步升华(推论) 过任意在圆O外的一点P引一条直线L1与一条过圆心的直线L2,L1与圆交于 A、B(可重合,即切线),L2与圆交于C、D。 贝UPA・PB=PC・PD。 若圆半径为r, 则PC・PD=(PO-r)•(PO+r)=卩0人2-「人2=|卩0人2-「人2|(要加绝对值,原因见下)为定值。 这个值称为点P到圆O的幂。 (事实上所有的过P点与圆相交的直线都满足这个值) 若点P在圆内,类似可得定值为「人2-P0A2=|P0人2-「人2| 而过 圆幂”的 故平面上任意一点对于圆的幂为这个点到圆心的距离与圆的半径的平方差,这一点引任意直线交圆于A、B,那么PA・PB等于圆幕的绝对值。 (这就是 由来) 证明 圆幂定理(相交弦定理、切割线定理及其推论 (割线定理)统一归纳为圆幂定理) 问题1 被交点分成的两条线段长的乘积相等。 证明: 连结AC,BD,由圆周角定理的推论,得/A=/D,/C=/B。 相交弦定理: 圆内的两条相交弦 •••△PACpdb,•••PA: PD=PC: PB,PA・PB=PCPD 问题2 割线定理: 从圆外一点 P引两条割线与圆分别交于A.B.C.D则有PA・PB=PCP D,当PA=PB,即直线AB 证明: (令A在P、B 以角CAB+角CDB=180度,又角CAB+角PAC=180度,所以角PAC=角CDB,又角APC公共,所以三角形APC与三角形 重合,即PA切线时得到切线定理P22=PC・PD 之间,C在P、D之间)因为ABCD为圆内接四边形,所 DPB相似,所以PA/PD=PC/PB,所以PA* PB=PC*PD 切割线定理: 从圆外一点引圆的切线和割线, 条线段长的比例中项 切线长是这点到割线与圆交点的两 几何语言: •••PT切OO于点T,PBA •••P卩2=PAPB(切割线定理) 推论从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等 几何语言: •••PBA、PDC是OO的割线 是OO的割线 •••PD・PC=PAPB(切割线定理推论) 问题3 证: 以P为原点,设圆的方程为 (x-xO)A2+(y-yO)A2=a① 过P的直线为 x=k1t y=k2t 则A、B的横坐标是方程 (k1t-xO)A2+(k2t-yO)A2=rA2 即 (kiA2+k2A2)t^2-2(k1xO+k2yO)t+xO^2+yO^2-r^2=0 的两个根t1、t2。 由韦达定理 t1t2=(xOA2+yOA2-A2)/(k1A2+k2A2) 于是 PA•PB=/((k1t1)A2+(k2t1)A2)V((k1t2)A2+(k2t2)A2) =(V(k1A2+k2A2))A2|t1||t2| =k1A2+k2A2|(xOA2+yOA2-rA2)/(k1A2+k2A2)| =|(xOA2+yOA2-rA2)| 为定值,证毕。 圆①也可以写成 xA2+yA2-2xOx-2yOy+xOA2+yOA2-a=0 其中a为圆的半径的平方。 所说的定值也就是减去半径的平方。 当P在圆外时,这就是自这定值称为点P到这圆的幂。 原点)与圆心O的距离的平方 P向圆所引切线(长)的平方。 在上面证明的过程中,我们以P为原点,如果给定点O,未必是原点,要求出以设直线AB的方程为 这样可以使问题简化。 P关于圆①的幕(即 OP人2-「人2),我们可 是的倾斜角,表示直线上的点与的距离.将②③代入①得 ,是它的两个根,所以由韦达定理 ④ 是定值 ④是关于①的幕(当是原点时,这个值就是).它也可以写成 ④, 即与圆心距离的平方减去半径的平方. 当P在圆内时,幂值是负值;P在圆上时,幂为0;P在圆外时,幂为正值,这时幂就是自P向圆所引切线长的平方。 以上是圆幕定理的证明,下面看一看它的应用. 问题4 自圆外一点向圆引割线交圆于 交于,如图8.求证 证: 设圆的方程为 两点,又作切线 成调和数列,即 为切点,与相 点的坐标为 的参数方程为 其中是的倾斜角,表示直线上的点与的距离. ⑥⑦代入⑤得 、是它的两个根,由韦达定理 ⑧ 另一方面,直线是圆的切点弦,禾U用前边的结论, ⑦⑧代入得 的方程为 因此,这个方程的根满足 ⑨ 综合⑧⑨,结论成立。 可以证明,当在圆内时,上述推导及结论仍然成立。 说明: 问题4的解决借用了问题3的方法,同时我们也看到了问题 4与问题1、 问题2的内在联系。 圆幕定理 圆幂定理是对相交弦定理、纳的结果。 定义 1-1 1« _■ 4■? L■f■ipir U*tf-w兀 .''叫wiitth "l-TL'Ti亠ft 圆幂定理 切割线定理及割线定理(切割线定理推论)以及它们推论统一归 圆幕=P0A2-RA2I 所以圆内的点的幕为负数,圆外的点的幕为正数,圆上的点的幕为零。 相交弦定理: 圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的积相等。 切割线定理: 从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。 进一步升华(推论) 由来) 证明 问题1 问题2 推论从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等 几何语言: •••PBA、PDC是OO的割线 •••PD・PC=PAPB(切割线定理推论) 问题3 过点P任作直线交定圆于两点 A、B,证明PA-PB为定值(圆幕定理)。 证: 以P为原点,设圆的方程为 (x-xO)A2+(y-yO)A2=a① 过P的直线为 x=k1t y=k2t 则A、B的横坐标是方程 (k1t-xO)A2+(k2t-yO)A2=rA2 即 (k1A2+k2A2)tA2-2(k1xO+k2yO)t+xOA2+yOA2-rA2=0 的两个根t1、t2。 由韦达定理 t1t2=(xOA2+yOA2-A2)/(k1A2+k2A2) 于是 PA-PB=/((k1t1)A2+(k2t1)A2)V((k1t2)A2+(k2t2)A2) =(V(k1A2+k2A2))A2|t1||t2| =kiA2+k2A2|(xOA2+yOA2-rA2"(k1A2+k2A2)| =|(xOA2+yOA2-rA2)| 为定值,证毕。 圆①也可以写成 在上面证明的过程中,我们以P为原点, 如果给定点O,未必是原点,要求出P关于圆①的幕(即OPA2-rA2),我们可 以设直线AB的方程为 是的倾斜角,表示直线上的点与的距离.将②③代入①得 是它的两个根,所以由韦达定理 4是定值 ④是关于①的幕(当是原点时,这个值就是)•它也可以写成 ④, 即与圆心距离的平方减去半径的平方. 当P在圆内时,幂值是负值;P在圆上时,幂为0;P在圆外时,时幂就是自P向圆所引切线长的平方。 以上是圆幂定理的证明,下面看一看它的应用. 问题4 的参数方程为 自圆外一点向圆引割线交圆于、两点,又作切线 交于,如图8.求证、、成调和数列,即 证: 设圆的方程为 ⑤ 点的坐标为 ⑥ ⑦ 其中是的倾斜角,表示直线上的点与的距离. ⑥⑦代入⑤得 即 的方程为 、是它的两个根,由韦达定理 5另一方面,直线是圆的切点弦,利用前边的结论, ⑦⑧代入得因此,这个方程的根满足 ⑨ 综合⑧⑨,结论成立。 可以证明,当在圆内时,上述推导及结论仍然成立。 说明: 问题4的解决借用了问题3的方法,同时我们也看到了问题问题2的内在联系。 幂为正值,这 为切点,与相 4与问题1、 四点共圆 如果同一平面内的四个点在同一个圆上,则称这四个点共圆,一般简称为四点共圆”。 四点 共圆有三个性质: (1)同弧所对的圆周角相等 (2)圆内接四边形的对角互补(3)圆 内接四边形的外角等于内对角以上性质可以根据圆周角等于它所对弧的度数的一半进行证 明。 四点共圆 证明四点共圆的基本方法 证明四点共圆有下述一些基本方法: 方法1 从被证共圆的四点中先选出三点作一圆,然后证另一点也在这个圆上,若能证明这一点,即可肯定这四点共圆. 方法2 把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形,且两三角形都在这底边的同侧,若能证明其顶角相等,从而即可肯定这四点共圆.(若能证明其两顶角为直角,即 可肯定这四个点共圆,且斜边上两点连线为该圆直径。 ) 方法3 把被证共圆的四点连成四边形,若能证明其对角互补或能证明其一个外角等于其 邻补角的内对角时,即可肯定这四点共圆. 若能证明它们各自被交点分成的两 把被证共圆的四点两两连成相交的两条线段, 线段之积相等,即可肯定这四点共圆;或把被证共圆的四点两两连结并延长相交的两线段,若能证明自交点至一线段两个端点所成
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