学年上海市南模中学高二下学期期末考试数学试题解析版.docx
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学年上海市南模中学高二下学期期末考试数学试题解析版
南模中学高二期末数学试卷
.填空题
1.i是虚数单位,若复数k满足=G则艺二
【答案】:
.
5
【解析】
分析:
利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出.
详解:
■/(3-4i)z=5,
•••(3+4i)(3-4i)z=5(3+4i),
•••25z=5(3+4i),
点睛:
本题考查了复数的运算法则、虚部的定义,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.
2.正方体阿切-点』&6中,异面直线片花和"厲所成角的大小为
【解析】
分析:
连接佔,三角形CA.C,是直角三角形,根据正方形的性质得到线面垂直进而得到线线垂直
详解:
连接沖iS,三角形匚八|【]是直角三角形,根据正方形的性质得到G丄卅i"i,而n
「十•i于点甌,故•寸垂直于面f,进而得到「4和-"■-.
7T
故两者夹角为~.
7T
故答案为:
.
点睛:
这个题目考查的是异面直线的夹角的求法;常见方法有:
将异面直线平移到同一平面内,转化为平面角的问题;或者证明线面垂直进而得到面面垂直,这种方法适用于异面直线垂直的情况
3•正四面体S-.4BC的所有棱长都为2,则它的体积为.
【答案】二^.
3
【解析】
试题分析:
过匸作J-_J/,则三是—二:
的中心,连接上二,
则一—…一,…:
丄■丄,
曲2233
考点:
多面体的体积
4.7个人站成一排,其中甲一定站在最左边,乙和丙必须相邻,一共有种不同排法
【答案】240.
【解析】
分析:
本题是一个排列组合及简单计数问题,甲要站在最左边,剩下6个位置,6个人排列,乙和丙必须相
邻,把乙和丙看成一个元素,同另外4个人排列,乙和丙之间也有一个排列,相乘得到结果.
详解:
由题意知本题是一个排列组合及简单计数问题,
甲要站在最左边,剩下6个位置,6个人排列,
•••乙和丙必须相邻,
•••把乙和丙看成一个元素,同另外4个人排列,乙和丙之间也有一个排列,
根据乘法原理知共有A55A22=240种结果,
故答案为:
240
点睛:
站队问题是排列组合中的典型问题,解题时要先排限制条件多的元素,把限制条件比较多的元素排列后,再排没有限制条件的元素,最后要用计数原理得到结果,本题的甲不影响排列.
5•某天有10名工人生产同一零部件,生产的件数分别是:
15、17、14、10、15、17、17、16、14、12,
设其平均数为a,中位数为b,众数为c,则a、b、c从小到大的关系依次是
【答案】;「:
:
】-.•
【解析】
分析:
将数据由小到大排列好,根据众数,中位数,平均数的概念得到相应的数据即可
10+12+30+16+51
详解:
根据提干得到中位数为b=15,众数为c=17,平均数为=143=a.
故答案为:
■•
点睛:
这个题目考查了中位数,众数,平均数的概念和计算,较为基础,众数即出现次数最多的数据,中位
数即最中间的数据,平均数即将所有数据加到一起,除以数据个数
6•正三棱锥底面边长为1,侧面与底面所成二面角为45°则它的全面积为
【答案】'些兰.
4
【解析】
故答案为:
+&
4
故全面积为:
点睛:
这个题目考查了正三棱锥的表面积的求法,其中涉及到体高,斜高和底面的高的三分之一构成的常
见的模型;正三棱锥还有一特殊性即对棱垂直,这一性质在处理相关小题时经常用到
7•正四棱柱的底面边长为2,若卜闯与底面ABCD所成角为60°则心心和底面ABCD的距
离是
【答案
【解析】
分析:
确定AiCi到底面ABCD的距离为正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的高,即可求得结论.
详解:
•••正四棱柱ABCD-AiBiCiDi,
•••平面ABCD//平面AiBiCiDi,
tAiCi?
平面AiBiCiDi,
•-AiCi//平面ABCD
•-AiCi到底面ABCD距离为正四棱柱ABCD-AiBiCiDi的高
•••正四棱柱ABCD-AiBiCiDi的底面边长为2,ACi与底面ABCD成60。
角,
【答案】•.
【解析】分析:
详解:
正方体外接球球心为0,半径为.J十:
亠!
■/■,假设2和线段EF相较于HG两点,连接0G,取GH的中点为D连接0D,贝U0DG为直角三角形,0D=:
、0G二甲,根据勾股定理得到DG=故GH^.故答案:
•
点睛:
涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时,一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面,
点睛:
这个题目考查的是二项式中的特定项的系数问题,在做二项式的问题时,看清楚题目是求二项式系数还是系数,还要注意在求系数和时,是不是缺少首项;解决这类问题常用的方法有赋值法,求导后赋值,积分后赋值等.
10.在复数范围内解方程+■刃1=才订(i为虚数单位),艺=
1芒【答案】匕土为
【解析】分析:
首先对等式的右边进行复数的除法运算,得到最简形式,设出要求的复数的结果,把设出的结果代
入等式,根据复数相等的充要条件写出关于x的方程,解方程即可.
详解:
原方程化简为|z|2+(i?
+z)i=1-/,
设z=x+yi(x、y€R),
代入上述方程得x2+y2+2xi=1-i,
•••x2+y2=1且2x=-1,
解得x=-且y=±.,
•原方程解是z「+色
2-2
故答案为:
-才土导.
点睛:
本题主要考查复数的除法和乘方运算,考查复数相等的充要条件,是一个基础题,解题时没有规
律和技巧可寻,只要认真完成,则一定会得分.
组各1个小球,有C42=6种分组方法,②、将分好的3组全排列,对应放入3个不同的盒子,有A33=6种情况,
则此时有6X6=36种不同的放法.
Im36A
则没有一个空盒子的概率为p.
故答案为:
善.
【点睛】本题考查概率的求法,考查古典概型的基础知识,考查了排列组合中的分组分配问题,即不同元素分到不同组内时,通常先分组后分配.是基础题.
12•在xOy平面上,将双曲线的一支^=1(-0)及其渐近线厂!
和直线八。
、^围成的封闭图形记为D,如图中阴影部分,记D绕y轴旋转一周所得的几何体为,过I作的水平截面,计
分析:
由已知中过(0,y)(owyw)作Q的水平截面,计算截面面积,利用祖暅原理得出
a)点,
过(0,y)(0Wyw)作Q的水平截面,
利用祖暅原理得Q的体积相当于底面面积为
记D绕y轴旋转一周所得的几何体为Q
9n高为4的圆柱的体积,
•••Q的体积V=9冗X4=36n
故答案为:
36n
点睛:
本题考查的知识点是类比推理,其中利用祖暅原理将不规则几何体的体积转化为底面面积为9n高为
4的圆柱的体积,是解答的关键•祖暅原理也可以成为中国的积分,将图形的横截面的面积在体高上积分,
得到几何体的体积
二.选择题
13.已知I、m、n是空间三条直线,则下列命题正确的是()
A.若I//m,I//n,贝Vm//n
B.若I丄m,I丄n,贝Vm//n
C.若点A、B不在直线I上,且到I的距离相等,则直线AB//I
D.若三条直线I、m、n两两相交,则直线I、m、n共面
【答案】A
【解析】
分析:
由公理4可判断A,利用空间直线之间的位置关系可判断B,C,D的正误,从而得到答案.
详解:
由公理4可知A正确;
若I丄m,I丄n,贝Um//n或m与n相交或异面,故B错误;
若点A、B不在直线I上,且到I的距离相等,则直线AB//I或AB与I异面,故C错误;
若三条直线I,m,n两两相交,且不共点,则直线I,m,n共面,故D错误.
故选:
A.
点睛:
本题考查命题的真假判断与应用,着重考查空间中直线与直线之间的位置关系,掌握空间直线的位置关系是判断的基础,对于这种题目的判断一般是利用课本中的定理和性质进行排除,判断。
还可以画出样图进行判断,禾U用常见的立体图形,将点线面放入特殊图形,进行直观判断。
14.一个圆柱形的罐子半径是4米,高是9米,将其平放,并在其中注入深2米的水,截面如图所示,水的
体积是()平方米
A.24^B.-3碍
c.莎轧‘‘y料
【答案】D
【解析】
分析:
由已知可得水对应的几何体是一个以截面中阴影部分为底,以9为高的柱体,求出底面面积,代入
柱体体积公式,可得答案.
详解:
由已知中罐子半径是4米,水深2米,
故截面中阴影部分的面积S=-平方米,
3巾3'
又由圆柱形的罐子的高h=9米,
故水的体积V=Sh=48卜,:
兀/立方米,
故选:
D.
点睛:
本题考查的知识点是柱体的体积公式,扇形面积公式,弓形面积公式,难度中档.
15.为了研究某药品的疗效,选取若干名志愿者进行临床试验,所有志愿者的舒张压数据(单位:
kPa)的分
组区间为[12,13),[13,14),[14,15),[15,16),[16,17],将其按从左到右的顺序分别编号为第一组,第二组,
第五组,右图是根据试验数据制成的频率分布直方图,已知第一组与第二组共有20人,第三组中没有疗效
的有6人,则第三组中有疗效的人数为()
d
1興车r迢廷
024
卜■■*
fh1£
LIVS
]
ZL
J14I
\16r
A.6B.8C.12D.18
【答案】C
【解析】
试题分析:
由直方图可得分布在区间第一组与第二组共有20人,分布在区间第一组与第二组的频率分别为
0.24,0.16,所以第一组有12人,第二组8人,第三组的频率为0.36,所以第三组的人数:
18人,第三组中没有疗效的有6人,第三组中有疗效的有12人.
考点:
频率分布直方图
【此处有视频,请去附件查看】
16.若:
:
1-心)7=吋+山声+0^2+…+口才,则%|+|听|+|旳1+…+|肛|=()
A.-1B.1C.0D.37
【答案】D
【解析】
分析:
根据题意求各项系数和,直接赋值法令x=-1代入即可得到31
详解:
已知Q“社八…七込亍,根据二项式展开式的通项得到第r+1项是
7;.+1=C;(^2r/,故当r为奇数时,该项系数为负,故原式令x=-1代入即可得到f.
故答案为:
D.
点睛:
这个题目考查了二项式中系数和的问题,二项式主要考查两种题型,一是考查系数和问题;二是考
查特定项系数问题;在做二项式的问题时,看清楚题目是求二项式系数还是系数,还要注意在求系数和时,
是不是缺少首项;解决这类问题常用的方法有赋值法,求导后赋值,积分后赋值等
则按性别分层抽样组成课外活动小组的概率
17•从8名女生和4名男生中选出6名学生组成课外活动小组,
【答案】A
【解析】
为种;所以按性别分层抽样组成课外活动小组的概率为
^12
故选A
18•已知复数z满足卜-:
-匕-(i是虚数单位),若在复平面内复数z对
应的点为Z,则点Z的轨迹为()
A.双曲线的一支B.双曲线C.一条射线D.两条射线
【答案】C
【解析】
分析:
利用两个复数的差的绝对值表示两个复数对应点之间的距离,来分析已知等式的意义.
详解:
T复数z满足;.;:
h■仁二(i是虚数单位),在复平面内复数z对应的点为Z,
则点Z到点(1,2)的距离减去到点(-2,-1)的距离之差等于3,
而点(1,2)与点(-2,-1)之间的距离为3,
故点Z的轨迹是以点(1,2)为端点的经过点(-2,-1)的一条射线.
故选C.
点睛:
本题考查两个复数的差的绝对值的意义,两个复数的差的绝对值表示两个复数对应点之间的距离.
2
19.求的二项展开式中的第5项的二项式系数和系数
【解析】
分析:
根据二项式系数的展开式得到结果
点睛:
这个题目考查的是二项式中的特定项的系数问题,在做二项式的问题时,看清楚题目是求二项式系数还是系数,还要注意在求系数和时,是不是缺少首项;解决这类问题常用的方法有赋值法,求导后赋值,积分后赋值等。
20.已知关于x的方程x2+4x+p=0(PER)的两个根是勺、勺.
(1)若心为虚数且I勺1=5,求实数p的值;
(2)若1^-^1=4求实数p的值.
【答案】⑴卜一;問.
⑵或"—:
.
【解析】分析:
(1)根据韦达定理得到p=x,x2=^IJT1=|xlp=25,进而求得结果;
(2)分两种情况也王D和A<0,
再结合韦达定理得到结果
详解:
(1)壮①前,.:
,匸_.匕儿;
(2)勺+勺=一斗,勺乜=卩,若^>(],即"兰心贝芈叫-勺|=JlfS-切=2,"=3;
若A<0,即p>4,贝V|心-七|=”祈二IB=2,.•.戸=5;综上,卜=3或=5.
点睛:
这个题目考查的是韦达定理在二次方程中的应用,无论是有两个实根,还是既有实根也有虚根的情况,韦达定理均试用
21.沙漏是古代的一种计时装置,它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成,开始时细沙全
部在上部容器中,细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏的一个沙时,如图,某沙
漏由上下两个圆锥组成,圆锥的底面直径和高均为8cm,细沙全部在上部时,其高度为圆锥高度的|(细管
长度忽略不计)•
(1)如果该沙漏每秒钟漏下0.02cm3的沙,则该沙漏的一个沙时为多少秒?
(精确到1秒)
(2)细沙全部漏入下部后,恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆,求此锥形沙堆的高度•(精确到0.1cm)
【答案】⑴一沙时为1986秒.
⑵沙堆高度约为2.4cm.
【解析】
2162fi
试题分析:
开始时,沙漏上部分圆锥中的细沙的咼为==^3,底面半径为「==m,求出体积,
进一步求出实际。
(2)细沙漏入下部后,圆锥形沙堆的底面半径4设高为H,通过体积相等,求出高H
试题解析:
(1)开始时,沙漏上部分圆锥中的细沙的高为
=,底面半径为r=-K4=-2分
3333
■:
:
(秒)
所以,沙全部漏入下部约需1986秒。
7分
(2)细沙漏入下部后,圆锥形沙堆的底面半径4,
设高为罔
7=-tx4123x//=疗12分
3H1
I64
H=—=2.37^24
27
锥形沙堆的高度约为2.4cm.14分.
考点:
圆锥的体积公式及函数在实际中的应用.
22.在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA丄平面ABCD
【答案】
⑴证明见解析.
(2)'一
5Eg
27
【解析】分析:
(I)要证平面ABM丄平面PCD,只需证明平面PCD内的直线PD,垂直平面PAD内的两条相交直
线BM、AB即可;(H)先根据体积相等求出D到平面ACM的距离为h,即可求直线PC与平面ABM所成的角;(川)先根据条件分析出所求距离等于点P到平面ACM距离的彳,设点P到平面ACM距离为h,
再利用第二问的结论即可得到答案.
详解:
(1)AC是所作球面的直径,AM丄MC,PA丄平面ABCD,贝UFA丄CD,又CD丄AD,
•••CD丄平面PAD,贝VCD丄AM,•••AM丄平面PCD,二平面ABM丄平面PCD;
(2)m^,•:
江」.冷「,’,设D到平面ACM的距离为h,
由VDACM=^M-ACD,求得山二〒,•抽&二而=石,円=匚心吟;
(3)d=6|,=而.,•P沖=〒,•=5:
9,所求距离f.
1/I/uhJ'Ji/
点睛:
这个题目考查了空间中的直线和平面的位置关系,求线面角,一是可以利用等体积计算出直线的端点到面的距离,除以线段长度就是线面角的正弦值;还可以建系,用空间向量的方法求直线的方向向量和面的法向量,再求线面角即可.
23.小威初三参加某高中学校的数学自主招生考试,这次考试由十道选择题组成,得分要求是:
做对一道题
得1分,做错一道题扣去1分,不做得0分,总得分7分就算及格,小威的目标是至少得7分获得及格,在
这次考试中,小威确定他做的前六题全对,记6分,而他做余下的四道题中,每道题做对的概率均为
p:
.O弋pW1〕,考试中,小威思量:
从余下的四道题中再做一题并且及格的概率|Pi=P;从余下的四道题中恰
做两道并且及格的概率-:
:
/,他发现,只做一道更容易及格.
(1)设小威从余下的四道题中恰做三道并且及格的概率为卜;|,从余下的四道题中全做并且及格的概率为
珂求厲及每;
(2)由于p的大小影响,请你帮小威讨论:
小威从余下的四道题中恰做几道并且及格的概率最大?
【答案】⑴|眄*匕-即),巴*%-即).
⑵0 【解析】分析: (1)根据题意得到也=戸+: 讦(1-刃,卩4=护+4戸(1-币; (2)根据题意得到选择概率较大的即可,分耳>巴且片>人,斤A片且卩件,『4>耳且卩斗〉鸟三种情况. 详解: (1-: 八-广、S••; (2[①P]>P3且‘1>'1,二0疋护*召;②厲>卩1且卩3>耳,刁比戸€1; ££ ③卩4>耳且『斗>厲,无解;综上,OVpV*时,恰做一道及格概率最大;p£时,耳二1时, 恰做三道及格概率最大• 点睛: 这个题目考查的是概率的计算以及多项式比较大小的应用,分类讨论的思想.。 16
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