人教版八年级上数学章节同步课时作业课时05 三角形全等的判定解析版.docx
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人教版八年级上数学章节同步课时作业课时05三角形全等的判定解析版
课时05三角形全等的判定
一、本节课的知识点
全等三角形的判定定理:
(1)边边边(SSS):
三边对应相等的两个三角形全等.
(2)边角边(SAS):
两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.
(3)角边角(ASA):
两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等.
(4)角角边(AAS):
两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等.
(5)斜边、直角边(HL):
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.(只适用于两个直角三角形)
二、对理解本节课知识点的例题及其解析
【例题1】如图,△ABC中,∠BAC=90度,AB=AC,BD是∠ABC的平分线,BD的延长线垂直于过C点的直线于E,直线CE交BA的延长线于F.求证:
BD=2CE.
【答案】见解析
【解析】证明:
延长BA、CE,两线相交于点F
∵BE⊥CE
∴∠BEF=∠BEC=90°在△BEF和△BEC中∠FBE=∠CBE,BE=BE,∠BEF=∠BEC∴△BEF≌△BEC(ASA)∴EF=EC∴CF=2CE
∵∠ABD+∠ADB=90°,∠ACF+∠CDE=90°
又∵∠ADB=∠CDE∴∠ABD=∠ACF在△ABD和△ACF中∠ABD=∠ACF,AB=AC,∠BAD=∠CAF=90°∴△ABD≌△ACF(ASA)∴BD=CF∴BD=2CE
【例题2】(2018•安顺)如图,点D,E分别在线段AB,AC上,CD与BE相交于O点,已知AB=AC,现添加以下的哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD( )
A.∠B=∠CB.AD=AEC.BD=CED.BE=CD
【答案】D.
【解析】欲使△ABE≌△ACD,已知AB=AC,可根据全等三角形判定定理AAS、SAS、ASA添加条件,逐一证明即可.
∵AB=AC,∠A为公共角,
A.如添加∠B=∠C,利用ASA即可证明△ABE≌△ACD;
B.如添AD=AE,利用SAS即可证明△ABE≌△ACD;
C.如添BD=CE,等量关系可得AD=AE,利用SAS即可证明△ABE≌△ACD;
D.如添BE=CD,因为SSA,不能证明△ABE≌△ACD,所以此选项不能作为添加的条件.
三、本节课的同步课时作业
1.如图,点
在
上,
.
求证:
.
【答案】见解析
【解析】先将
转化为AF=BE,再利用
证明两个三角形全等
证明:
因为AE=BF,所以,AE+EF=BF+EF,即AF=BE,
在△ADF和△BCE中,
所以,
2.如图,已知
,垂足分别为
.求证
.
【答案】见解析
【解析】根据全等三角形的判定与性质,可得∠B=∠D,根据平行线的判定,可得答案.
∵AE⊥BD,CF⊥BD,∴∠AEB=∠CFD=90°,
∵BF=DE,∴BF+EF=DE+EF,∴BE=DF.
在Rt△AFB和Rt△CFD中,
,
∴Rt△AFB≌Rt△CFD(HL),
∴∠B=∠D,∴AB∥CD.
3.已知:
如图,AB=CD,DE⊥AC,BF⊥AC,E,F是垂足,
.
求证:
.
【答案】见解析
【解析】证明:
∵DE⊥AC,BF⊥AC,
∴∠DEC=∠AFB=90°,
在Rt△DEC和Rt△BFA中,
DE=BF,AB=CD,
∴Rt△DEC≌Rt△BFA,
∴∠C=∠A,
∴AB∥CD.
4.如图:
BE⊥AC,CF⊥AB,BM=AC,CN=AB。
求证:
(1)AM=AN;
(2)AM⊥AN。
【答案】见解析
【解析】证明:
(1)∵BE⊥AC,CF⊥AB
∴∠ABM+∠BAC=90°,∠ACN+∠BAC=90°
∴∠ABM=∠ACN
∵BM=AC,CN=AB
∴△ABM≌△NAC
∴AM=AN
(2)∵△ABM≌△NAC
∴∠BAM=∠N
∵∠N+∠BAN=90°
∴∠BAM+∠BAN=90°即∠MAN=90°
∴AM⊥AN
5.如图:
AE、BC交于点M,F点在AM上,BE∥CF,BE=CF。
求证:
AM是△ABC的中线。
【答案】见解析
【解析】证明:
∵BE‖CF
∴∠E=∠CFM,∠EBM=∠FCM
∵BE=CF
∴△BEM≌△CFM
∴BM=CM
∴AM是△ABC的中线.
6.下列各图中a、b、c为三角形的边长,则甲、乙、丙三个三角形和左侧△ABC全等的是( )
A.甲和乙B.乙和丙C.甲和丙D.只有丙
【答案】B.
【解析】根据三角形全等的判定方法得出乙和丙与△ABC全等,甲与△ABC不全等.
乙和△ABC全等;理由如下:
在△ABC和图乙的三角形中,满足三角形全等的判定方法:
SAS,
所以乙和△ABC全等;
在△ABC和图丙的三角形中,满足三角形全等的判定方法:
AAS,
所以丙和△ABC全等;
不能判定甲与△ABC全等。
7.如图,AB⊥CD,且AB=CD.E、F是AD上两点,CE⊥AD,BF⊥AD.若CE=a,BF=b,EF=c,则AD的长为( )
A.a+cB.b+cC.a﹣b+cD.a+b﹣c
【答案】D.
【解析】只要证明△ABF≌△CDE,可得AF=CE=a,BF=DE=b,推出AD=AF+DF=a+(b﹣c)=a+b﹣c;
∵AB⊥CD,CE⊥AD,BF⊥AD,
∴∠AFB=∠CED=90°,∠A+∠D=90°,∠C+∠D=90°,
∴∠A=∠C,∵AB=CD,
∴△ABF≌△CDE,
∴AF=CE=a,BF=DE=b,
∵EF=c,
∴AD=AF+DF=a+(b﹣c)=a+b﹣c
8.如图,∠ACB=90°,AC=BC.AD⊥CE,BE⊥CE,垂足分别是点D、E,AD=3,BE=1,则DE的长是( )
A.
B.2C.2
D.
【答案】B.
【解析】根据条件可以得出∠E=∠ADC=90°,进而得出△CEB≌△ADC,就可以得出BE=DC,就可以求出DE的值.
∵BE⊥CE,AD⊥CE,
∴∠E=∠ADC=90°,
∴∠EBC+∠BCE=90°.
∵∠BCE+∠ACD=90°,
∴∠EBC=∠DCA.
在△CEB和△ADC中,
,
∴△CEB≌△ADC(AAS),
∴BE=DC=1,CE=AD=3.
∴DE=EC﹣CD=3﹣1=2
9.如图,已知∠ABC=∠DCB,添加以下条件,不能判定△ABC≌△DCB的是( )
A.∠A=∠DB.∠ACB=∠DBCC.AC=DBD.AB=DC
【答案】C.
【解析】全等三角形的判定方法有SAS,ASA,AAS,SSS,根据定理逐个判断即可.
A.∠A=∠D,∠ABC=∠DCB,BC=BC,符合AAS,即能推出△ABC≌△DCB,故本选项错误;
B.∠ABC=∠DCB,BC=CB,∠ACB=∠DBC,符合ASA,即能推出△ABC≌△DCB,故本选项错误;
C.∠ABC=∠DCB,AC=BD,BC=BC,不符合全等三角形的判定定理,即不能推出△ABC≌△DCB,故本选项正确;
D.AB=DC,∠ABC=∠DCB,BC=BC,符合SAS,即能推出△ABC≌△DCB,故本选项错误。
10.如图,△ABC的两条高AD,BE相交于点F,请添加一个条件,使得△ADC≌△BEC(不添加其他字母及辅助线),你添加的条件是 .
【答案】AC=BC.
【解析】添加AC=BC,根据三角形高的定义可得∠ADC=∠BEC=90°,再证明∠EBC=∠DAC,然后再添加AC=BC可利用AAS判定△ADC≌△BEC.
添加AC=BC,
∵△ABC的两条高AD,BE,
∴∠ADC=∠BEC=90°,
∴∠DAC+∠C=90°,∠EBC+∠C=90°,
∴∠EBC=∠DAC,
在△ADC和△BEC中
,
∴△ADC≌△BEC(AAS)
11.如图,在△ABC和△DEF中,点B,F,C,E在同一直线上,BF=CE,AB∥DE,请添加一个条件,使△ABC≌△DEF,这个添加的条件可以是 (只需写一个,不添加辅助线).
【答案】AB=ED.
【解析】根据等式的性质可得BC=EF,根据平行线的性质可得∠B=∠E,再添加AB=ED可利用SAS判定△ABC≌△DEF.
添加AB=ED,
∵BF=CE,
∴BF+FC=CE+FC,
即BC=EF,
∵AB∥DE,
∴∠B=∠E,
在△ABC和△DEF中
,
∴△ABC≌△DEF(SAS)
12.如图,AE和BD相交于点C,∠A=∠E,AC=EC.求证:
△ABC≌△EDC.
【答案】见解析
【解析】依据两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等进行判断.
证明:
∵在△ABC和△EDC中,
,
∴△ABC≌△EDC(ASA).
13.如图,已知AC平分∠BAD,AB=AD.求证:
△ABC≌△ADC.
【答案】见解析
【解析】根据角平分线的定义得到∠BAC=∠DAC,利用SAS定理判断即可.
证明:
∵AC平分∠BAD,
∴∠BAC=∠DAC,
在△ABC和△ADC中,
,
∴△ABC≌△ADC.
14.如图,EF=BC,DF=AC,DA=EB.求证:
∠F=∠C.
【答案】见解析
【解析】欲证明∠F=∠C,只要证明△ABC≌△DEF(SSS)即可;
证明:
∵DA=BE,
∴DE=AB,
在△ABC和△DEF中,
,
∴△ABC≌△DEF(SSS),
∴∠C=∠F.
15.如图,已知线段AC,BD相交于点E,AE=DE,BE=CE.
(1)求证:
△ABE≌△DCE;
(2)当AB=5时,求CD的长.
【答案】见解析
【解析】根据AE=DE,BE=CE,∠AEB和∠DEC是对顶角,利用SAS证明△AEB≌△DEC即可.根据全等三角形的性质即可解决问题.
(1)证明:
在△AEB和△DEC中,
,
∴△AEB≌△DEC(SAS).
(2)解:
∵△AEB≌△DEC,
∴AB=CD,
∵AB=5,
∴CD=5.
16.如图,∠A=∠D=90°,AC=DB,AC、DB相交于点O.求证:
OB=OC.
【答案】见解析
【解析】因为∠A=∠D=90°,AC=BD,BC=BC,知Rt△BAC≌Rt△CDB(HL),所以AB=CD,证明△ABO与△CDO全等,所以有OB=OC.
证明:
在Rt△ABC和Rt△DCB中
,
∴Rt△ABC≌Rt△DCB(HL),
∴∠OBC=∠OCB,
∴BO=CO.
17.如图,已知AB=AD,AC=AE,∠BAE=∠DAC.
求证:
∠C=∠E.
【答案】见解析
【解析】由∠BAE=∠DAC可得到∠BAC=∠DAE,再根据“SAS”可判断△BAC≌△DAE,根据全等的性质即可得到∠C=∠E.
∵∠BAE=∠DAC,
∴∠BAE﹣∠CAE=∠DAC﹣∠CAE,即∠BAC=∠DAE,
在△ABC和△ADE中,
∵
,
∴△ABC≌△ADE(SAS),
∴∠C=∠E.
18.如图,点E、F在BC上,BE=CF,AB=DC,∠B=∠C,AF与DE交于点G,求证:
GE=GF.
【答案】见解析
【解析】求出BF=CE,根据SAS推出△ABF≌△DCE,得对应角相等,由等腰三角形的判定可得结论.
证明:
∵BE=CF,
∴BE+EF=CF+EF,
∴BF=CE,
在△ABF和△DCE中
∴△ABF≌△DCE(SAS),
∴∠GEF=∠GFE,
∴EG=FG.
19.已知:
∠AOB.
求作:
∠A'O'B',使∠A'O′B'=∠AOB
(1)如图1,以点O为圆心,任意长为半径画弧,分别交OA,OB于点C、D;
(2)如图2,画一条射线O′A′,以点O′为圆心,OC长为半径间弧,交O′A′于点C′;
(3)以点C′为圆心,CD长为半径画弧,与第2步中所而的弧交于点D′;
(4)过点D′画射线O′B',则∠A'O'B'=∠AOB.
根据以上作图步骤,请你证明∠A'O'B′=∠AOB.
【答案】见解析
【解析】由基本作图得到OD=OC=O′D′=O′C′,CD=C′D′,则根据“SSS“可证明△OCD≌△O′C′D′,然后利用全等三角形的性质可得到∠A'O'B′=∠AOB.
证明:
由作法得OD=OC=O′D′=O′C′,CD=C′D′,
在△OCD和△O′C′D′中
,
∴△OCD≌△O′C′D′,
∴∠COD=∠C′O′D′,
即∠A'O'B′=∠AOB.
20.如图,AB与CD相交于点E,AE=CE,DE=BE.求证:
∠A=∠C.
【答案】见解析
【解析】根据AE=EC,DE=BE,∠AED和∠CEB是对顶角,利用SAS证明△ADE≌△CBE即可.
证明:
在△AED和△CEB中,
,
∴△AED≌△CEB(SAS),
∴∠A=∠C(全等三角形对应角相等).
21.已知:
如图,点A、D、C、B在同一条直线上,AD=BC,AE=BF,CE=DF,求证:
AE∥BF.
【答案】见解析
【解析】可证明△ACE≌△BDF,得出∠A=∠B,即可得出AE∥BF;
证明:
∵AD=BC,∴AC=BD,
在△ACE和△BDF中,
,
∴△ACE≌△BDF(SSS)
∴∠A=∠B,
∴AE∥BF
22.如图,AB∥CD,AB=CD,CE=BF.请写出DF与AE的数量关系,并证明你的结论.
【答案】见解析
【解析】结论:
DF=AE.只要证明△CDF≌△BAE即可;
结论:
DF=AE.
理由:
∵AB∥CD,
∴∠C=∠B,
∵CE=BF,
∴CF=BE,∵CD=AB,
∴△CDF≌△BAE,
∴DF=AE.
23.如图,点A,F,C,D在一条直线上,AB∥DE,AB=DE,AF=DC.求证:
BC∥EF.
【答案】见解析
【解析】由全等三角形的性质SAS判定△ABC≌△DEF,则对应角∠ACB=∠DFE,故证得结论.
证明:
∵AB∥DE,
∴∠A=∠D,
∵AF=DC,
∴AC=DF.
∴在△ABC与△DEF中,
,
∴△ABC≌△DEF(SAS),
∴∠ACB=∠DFE,
∴BC∥EF.
24.已知:
如图,点A.F,E.C在同一直线上,AB∥DC,AB=CD,∠B=∠D.
(1)求证:
△ABE≌△CDF;
(2)若点E,G分别为线段FC,FD的中点,连接EG,且EG=5,求AB的长.
【答案】见解析
【解析】
(1)根据平行线的性质得出∠A=∠C,进而利用全等三角形的判定证明即可;
(2)利用全等三角形的性质和中点的性质解答即可.
证明:
(1)∵AB∥DC,
∴∠A=∠C,
在△ABE与△CDF中
,
∴△ABE≌△CDF(ASA);
(2)∵点E,G分别为线段FC,FD的中点,∴ED=
CD,
∵EG=5,∴CD=10,
∵△ABE≌△CDF,∴AB=CD=10.
25.如图,点A、D、C、F在同一条直线上,AD=CF,AB=DE,BC=EF.
(1)求证:
△ABC≌DEF;
(2)若∠A=55°,∠B=88°,求∠F的度数.
【答案】见解析
【解析】求出AC=DF,根据SSS推出△ABC≌△DEF.由
(1)中全等三角形的性质得到:
∠A=∠EDF,进而得出结论即可.
证明:
(1)∵AC=AD+DC,DF=DC+CF,且AD=CF
∴AC=DF
在△ABC和△DEF中,
∴△ABC≌△DEF(SSS)
(2)由
(1)可知,∠F=∠ACB
∵∠A=55°,∠B=88°
∴∠ACB=180°﹣(∠A+∠B)=180°﹣(55°+88°)=37°
∴∠F=∠ACB=37°
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