论文.docx
- 文档编号:24786984
- 上传时间:2023-06-01
- 格式:DOCX
- 页数:10
- 大小:113.70KB
论文.docx
《论文.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《论文.docx(10页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
论文
2012-2013第二学期经济预测与决策期末论文
马尔可夫预测原理推导及市场占有率预测
作者戈永强
系别统计与数学学院
专业10信息与计算科学
年级10级
学号102093125
指导教师斯琴
马尔可夫预测原理推导及市场占有率的预测
摘要:
马尔可夫决策是应用马尔可夫链以及转移概率距阵的原理对随机事件未来的变化趋势所进行的预测决策。
在经济活动中常常遇到的如市场占有率,期望利润等问题,起变化状态不稳定。
当考虑到状态概率转移情况时,此类风险型决策一般采用马尔可夫决策。
本文介绍马尔可夫决策中的几个重要概念以及如何就市场占有率等问题,使用状态转移矩阵进行预测决策的步骤与方法。
关键词马尔可夫预测转移概率市场占有率
一、引言
马尔可夫分析起源于俄国数学家安德烈·马尔可夫对成链的试验序列的研究。
马尔可夫预测法是现代预测法中的一种,它具有较高的科学性、准确性和适应性,在现代预测法中占有重要地位。
在国外,它不仅广泛应用于自然科学领域,还应用在经济预测领域。
在我国它主要应用在于水文、气象、地震等自然科学技术领域。
近年来在产品市场占有率预测和经济决策中也有应用。
马尔可夫分析法已成为市场预测的有效工具。
二、马尔可夫预测法的基本原理
马尔可夫预测法的基本原理主要有两个内容,即方法的基本思想和体现基本思想的预测模型。
关于这种方法的基本思想,马尔可夫通过实验认为:
世界上无论是社会领域还是自然领域,有一类事物的变化只于事物的近期状态有关,与事物的过去状态无关。
事物的这种性质称为无后效性。
例如事物
,从初始状态
起,其变动状态可记为
。
事物经过
次变动以后,第
次变动的结果,仅仅与近期
次的结果有关,与
次以后的各次变动无关;又如,事物的第
次结果,仅仅与第
次的变动结果有关,与
以后的各次变动无关,即事物的某次变动只能影响它的下一次,再往后就没有影响了。
这就叫状转移的无后效性。
如果
个连续变动的事物,在变动过程中,其中任一次变动结果都具有无后效性,那么,这
个连续变动的集合,就叫做马尔可夫链,这类事物演变的过程称为马尔可夫过程。
1.马尔可夫链的主要特点及其预测模型
遵循马尔可夫基本思想变动的事物,应具有两个主要特点:
第一,表明事物在过程中的变动是随机的,因此,马尔可夫过程是一个随机过程。
第二,事物的每次变动结果都具有状态转移的无后效性。
对于马尔可夫链进行分析可知,变动过程中的事物由一种状态随机地变成另一种状态,必然要经历一个中间变化过程。
这个中间变化过程的表现形式称为转移状态。
根据后无效性原则,知道事物的状态应与事物的转移状态相关,即事物的前状态、后状态,转移状态三者相关。
为此,设事物的前状态为
,后状态为
,转移状态为
,则三者的关系为
根据以上的关系式,可以得到两个结果,
(1)如果转移状态已知,可以根据上期信息资料,预测事物本期的变动结果。
(2)根据本期和转移状态,可以预测下期情况或者下几期的情况。
上式中的
为
。
一次带入上式,有一系列关系:
………………
……………………
根据以上原理,将以上关系式由上到下顺序叠代,得到一般预测式为
以上仅仅是马尔可夫一般预测式的得基本推导过程,这个推导过程体现了马尔可夫创立马尔可夫预测法的基本思想。
确定马尔可夫一般预测式,还要进一步根据一般预测式,建立数学模型。
因为马尔可夫过程是一个随机过程,为具体描述系统从某个状态到另一个状态转移可能性大小,采用概率来描述。
这里要建立数学模型,先要引进三个数学上的基本概念:
(1)概率向量:
向量有行向量和列向量,这里是指行向量而言。
所谓概率向量,对于任意行向量来说,如果向量中的每个元素非负且和等于1时,则行向量为概率向量。
之所以要引入概率向量,是因为马尔可夫链中的变量具有方向性(正向),同时又因为向量的变动依据马尔可夫链的特点看,是随机的,要以概率表示,所以马尔可夫链中的变量要用概率向量表现。
若用
表示概率向量,则概率向量的一般表达式为
约束条件:
………………………………………………
(1)
(2)概率矩阵:
所谓概率矩阵就是由概率向量组成的方阵。
判断一个矩阵是不是概率矩阵,要看它是否符合以下三个条件:
即矩阵中所有元素要大于0或等于0;矩阵中各行元素和要为1;矩阵的行列数相等。
符合三个条件的便是概率矩阵。
设矩阵A为
由于A符合三个条件,所以A是概率矩阵。
(3)转移概率矩阵:
把概率矩阵用于马尔可夫链中相关的转移状态上,这时称这种矩阵为转移概率矩阵。
其意义在于表现马尔可夫过程由一种状态转变成为另一种状态的转移过程。
若转移状态P用转移概率矩阵表示,则P即为转移概率矩阵,一般用下式表示
……………………………………………………
(2)
将
(1)、
(2)式带入马尔可夫预测的一般预测式中,的到马尔可夫预测的数学模型如下
以上数学模型是根据马尔可夫预测基本原理所推导。
预测主要是根据这个模型进行的。
2.转移概率矩阵的统计估计
应用马尔可夫链的理论进行预测,主要是状态转移概率矩阵的估算,预测下一步状态转移的可能趋向。
估算出系统状态的转移概率矩阵,一般有两种方法。
一是主观概率法,这种方法一般是在缺乏历史统计资料或资料不完全的情况下使用;第二种是统计估算法,介绍如下:
设某种商品按一定准则将销售分为畅、滞两种状态的5年20个季度的销售情况统计如下表
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
滞
滞
畅
畅
滞
畅
畅
滞
畅
畅
滞
滞
畅
畅
滞
畅
畅
滞
畅
畅
为便于统计连续畅销、由畅销转入滞销、由滞销转入畅销的次数,特列出转移次数表如下
下季度市场状态
本季度市场状态
畅
滞
合计
畅
6
5
11
滞
6
2
8
由上表可知,畅销共11次,其中,畅销连续出现6次,畅销转入滞销5次;滞销共8次,其中,滞销转入畅销6次,连续滞销2次。
也可以用上表直接得某商品畅销、滞销状态的转移概率表
下季度市场状态
本季度市场状态
畅
滞
畅
6/11
5/11
滞
3/4
1/4
即某商品畅销、滞销状态的转移概率矩阵为
三、市场占有率的预测
现代市场信息复杂多变,一个企业在激烈的市场竞争环境下要生存和发展就必须对其产品进行市场预测,从而减少企业参与市场竞争的盲目性,提高科学性。
然而,市场对某产品的需求受多种因素的影响,其特性是它在市场流通领域中所处的状态。
这些状态的出现是一个随机现象,具有随机性。
为此,利用随机过程理论的马尔可夫(Markov)模型来分析产品在市场上的状态分布,进行市场预测,从而科学地组织生产,减少盲目性,以提高企业的市场竞争力和其产品的市场占有率。
1.预测步骤
市场占有率预测的一般步骤:
调查目前的市场占有情况,得到市场占有率
;调查用户购买产品的变动情况,计算转移概率矩阵
;建立数学模型,预测下一时期或以后若干时期的市场占有率或稳定后的市场占有率。
2.案例分析
例如:
预测A、B、C三个厂家生产的某种抗病毒药在未来的市场占有情况,其具体步骤如下:
第一步进行市场调查.主要调查以下两件事:
(1)目前的市场占有情况.若购买该药的总共1000家对象(购买力相当的医院、药店等)中,买A、B、C三药厂的各有400家、300家、300家,那么A、B、C三药厂目前的市场占有份额分别为:
40%、30%、30%.称(0.4,0.3,0.3)为目前市场的占有分布或称初始分布.
(2)查清使用对象的流动情况.流动情况的调查可通过发放信息调查表来了解顾客以往的资料或将来的购买意向,也可从下一时期的订货单得出.若从定货单得表。
顾客订货情况表
下季度订货情况
合计
来
自
A
B
C
A
160
120
120
400
B
180
90
30
300
C
180
30
90
300
合计
520
240
240
1000
第二步建立数学模型.
假定在未来的时期内,顾客相同间隔时间的流动情况不因时期的不同而发生变化,以1、2、3分别表示顾客买A、B、C三厂家的药这三个状态,以季度为模型的步长(即转移一步所需的时间),那么根据表,我们可以得模型的转移概率矩阵:
矩阵中的第一行(0.4,0.3,0.3)表示目前是A厂的顾客下季度有40%仍买A厂的药,转为买B厂和C厂的各有30%.同样,第二行、第三行分别表示目前是B厂和C厂的顾客下季度的流向.
由P我们可以计算任意的k步转移矩阵,如三步转移矩阵:
从这个矩阵的各行可知三个季度以后各厂家顾客的流动情况.如从第二行(0.504,0.252,0.244)知,B厂的顾客三个季度后有50.4%转向买A厂的药,25.2%仍买B厂的,24.4%转向买C厂的药.
第三步进行预测.
设
表示预测对象k季度以后的市场占有率,初始分布则为
,市场占有率的预测模型为
现在,由第一步,我们有
,由此,我们可预测任意时期A、B、C三厂家的市场占有率.三个季度以后的预测值为:
大致上,A厂占有一半的市场,B厂、C厂各占四分之一.依次类推下去可以求得以后任一个季度的市场占有率,最终达到一个稳定的市场占有率。
当市场出现平衡状态时,从公式可得方程如下:
由此得
经整理,并加上条件
,得
上方程组是三个变量四个方程的方程组,在前三个方程中只有二个是独立的,任意删去一个,从剩下的三个方程中,可求出唯一解:
,
,
这就是A、B、C三家的最终市场占有率.
结束语:
本文通过理论叙述和简单的应用实例说明,帮助读者理解马尔可夫模型在产品市场占有率预测中的应用。
本文介绍的方法简单实用,且有很大的可信度。
可以推广到股票市场的股价预测和其它相似的领域的预测。
参考文献:
1胡祖光《市场调研预测》,浙江大学出版社,1999
2冯文权《经济预测的原理与方法》,武汉大学出版社,1998
3陈信康《市场营销学概论》,上海复旦大学出版社,1993
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 论文