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培养中学生数学能力的必要性及途径
培养中学生数学能力的必要性及途径
:
摘要:
随着数学这门工具学科在日常生活中的应用日趋广泛,发展和提高数学能力已成为现代数学教学的一个重要特点。
根据现代教学改革的目标,并结合中学生数学学习的特点,说明培养中学生数学能力是非常必要的。
同时提出我们可以从课堂教学中例题的选择、多种教学模式的合理运用、可视化教学的应用以及学生学习习惯的培养等方面来培养学生的数学能力。
关键词:
数学能力数学思维必要性途径方法
1、引言
著名的数学家乔治.波利亚认为:
“任何学问都包括知识和能力两个方面,能力比起知识来要重要的多,因此学校的目的应该是发展学生本身的内涵能力,而不是仅仅传授知识。
”这充分说明在学习的过程中,培养能力是非常必要的。
数学这门工具学科亦是如此。
关于什么是数学能力?
不同的人有不同的理解。
根据目前的研究成果,可以认为是在学习数学知识,掌握数学方法,运用数学技能解决数学问题的本事的大小,称为数学能力,它是数学素质的重要表现。
具体有以下几种说法。
第一、我国传统的提法,数学能力包括:
基本运算能力、逻辑思维能力、空间想象能力、应用数学知识解决实际问题的能力及建立数学模型的能力。
第二、美国数学课程标准认为:
数学教育的目标是具有以下五点数学素质:
(1)懂得数学价值;
(2)对自己的数学能力有信心;
(3)有解决数学问题的能力;
(4)学会数学交流;
(5)掌握数学思想方法。
第三、就教育目标来说,可以分为:
数学知识、公民意识、社会需要、语言交流四个方面,这是着重从人生活的实际出发而提出来的。
综上所述,不论哪种理解,都阐述了同样的道理,即应用数学知识解决实际问题的能力。
2、培养数学能力的必要性
那么在数学学习和数学教学中,为什么要培养数学能力呢?
即培养数学能力的必要性是什么。
我国现代教育的目标是加强社会主义精神文明建设,培养文明人。
而数学教学做为现代教育必不可少的一部分,也必然是为这一目标服务,为学生整体素质的培养服务,为学生的身心发展服务,因而数学教学的核心是培养中学生的数学能力。
著名的数学家乔治.波利亚认为:
“任何学问都是包括知识和能力两方面,能力比起知识来要重要的多,因此学校教育的目的应该是发展学生本身的内涵能力,而不仅仅是传授知识。
”这充分说明知识的学习与能力的培养是同步进行的。
应此对于广大教师来说,在数学教学的过程当中不但要教会学生应有的数学知识,同时也应该注重学生数学能力的培养。
这样才能够避免很多同学在学习数学的过程中,对于老师课堂上所讲的内容能够听懂,平时的大考小考到也可以应对自如,可是一旦在生活中遇到一些类似的实际问题时就无从下手了。
而学习中的这种现状最终不是导致了偏科就是厌学。
成为我们数学教育中的一大阻碍。
因此只有在教学中重视数学能力的培养,因地制宜的实施教学活动,才能达到培养全面发展的现代公民这一目的。
因此,不论是从我国教育的目标还是教学过程的一般规律而言,培养中学生的数学能力都有着重要的意义。
3、培养中学生数学能力的基本途径
教学活动是一种双边活动,在该活动的开展过程中,教师作为活动的组织者对活动目的和环节的设置有着至关重要的指导作用。
同时学生作为教育的主体,和教学活动的主要承担者,对教育目标的实现也起着主导作用。
培养中学生的数学能力作为数学教育的主要目标,其实现与否与教师和学生有着直接必然的联系。
下面我将从教师的教学和学生的学习两个方面来论述如何培养中学生数学能力。
3.1从教师的教学方面来讲
3.1.1精选例题培养数学观察能力
观察是一种特殊的知觉,其特殊性在于观察是有目的、有计划、有选择的知觉活动。
数学活动中的观察就是有目的有选择的,对所给的数学材料概括和知觉的过程。
这一知觉过程既受数学材料本身的刺激影响更受主体已有数学认知结构的影响。
具有不同数学认知结构的主体对于同一数学材料观察的结果是不同的,这种差异的表现即为数学观察能力。
现实中有许多的数学结论都是通过数学观察发现,然后才得以证明。
例如:
例如:
用棋子摆成下面的三个图案:
(图一)(图二)(图三)
那么,第四个三角形要用个棋子;
第n个三角形要用个棋子。
分析:
在探索第n个三角形要用几个棋子时,教师可以引导学生从以下几个角度去观察和猜想。
(1)从三角形序号数与棋子数关系的角度进行观察,发现棋子数正好是序号数的3倍,得出第四个三角形需要用12颗棋子,第n个三角形需要用3n个棋子。
(2)从三角形各边上棋子数与三角形序号数的关系进行观察,可以发现三角形各边上的棋子数比序号数多1,那么三角形三边上棋子数之和减去重复计算的可以得到,第n个三角形需要个棋子。
(3)从图形中减去大三角形各个顶点上的棋子后,剩余棋子的数与序号的关系目来看,有剩余棋子的数目为:
。
则第n个三角形所需要的棋子数为:
。
(4)观察图形可以发现,每个棋子都在大三角形的三边上,则各个边上棋子之和为所需棋子的总数,第一条边上为:
n+1;第二条边上为:
n;第三条边上为:
n-1(不重复计算)。
即三边上棋子数目之和为:
3n.
本题还可以通过其他的视角去观察,以上仅是几种常规的考虑方法。
教师在教学的过程中,可通过此类型的题目,培养学生的观察能力,同时也可以注重学生发散思维能力的培养。
3.1.2培养解决实际问题的能力
《数学新课标》指出:
“强调从学生已有的生活经验出发,让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程。
”数学教学中要培养学生应用数学的意识和能力,而在应用数学解决实际问题的过程当中数学建模是关键。
所谓数学模型就是用数学语言和方法对各种实际对象做出抽象或模仿而形成的一种数学结构。
数学中的各种基本概念,都是以各自相应的现实原型为背景而抽象出来的各种数学公式、方程式、定理、理论体系等都是一些具体的数学模型。
例如:
概率的最初产生、一笔画题的提出与解决、勾股定理的发现等等的数学中的重要结论都是以一定的现实原型为背景。
在实际生活中我们通常是通过以下的步骤将实际问题抽象为数学模型的:
由此,我们可以看到,培养中学生运用数学建模解决实际问题的能力,关键在于把实际问题抽象为数学问题。
应此教师在教学的过程当中应尽可能的结合现实生活进行讲解,尤其是对一些数学概念的讲解。
3.1.3利用可视化教学,培养学生数学能力
高度的抽象性和严密的逻辑性是数学的显著特征。
这两个显著特征也是造成学生疏远数学的主要原因,同时它也决定了数学教学不仅应注意传授知识,更应注意培养学生的思维能力。
以往人们往往把眼光集中在数学概念、公式等数学知识和计算能力方面,其实这是不够的或者是片面的。
随着现代信息技术的不断发展,在数学教学的过程中教师可以利用现代化的教学手段,使抽象的数学变得形象直观起来,同时也可以达到培养学生应用数学软件的能力。
例如:
教师对极限概念的解释,在中学教学中这一概念不涉及严密的定义,教师可以通过直观的图象显示,用“无限接近”来帮助学生理解极限的概念。
以下是极限的几种不同表述的对比:
①.数列极限的定性描述:
如果当数列{an}的项数n无限增大时,数列的项an无限趋近于常数A,那么就说数列{an}以A为极限。
记作
②.数列极限的定量描述:
设{an}是一个无穷数列,A是一个常数。
如果对于预先给定的任意小的正数ε,总存在正整数N,使得n>N时,有|an-A|<ε恒成立,那么就说:
n时,数列{an}以A为极限,记作:
。
③.几何描述:
点A的2ε邻域(A-ε,A+ε)内,含有{an}的无穷多个项aN+1,aN+2,……,而区间外,至多有{an}的有限项a1,a2,……aN。
如上图所示:
几何描述显然使知识的理解掌握更为直观,可以帮助学生更加清晰的理解。
同时也有利于教学任务的顺利完成。
计算机可视化教学是传统教学不可比拟的。
究其原因,并非计算机本身具有这种教学才能,而是在计算机的支持下,可以进行比原来更有效的教学设计。
以前我们常说的空间想象能力是一种凭借经验来虚拟现实的能力。
现在,对客观事物形体的抽象;对平面图形有选择的抽取组合重构;对平面图形立体感知与处理,都可以借助计算机的帮助来完成。
在培养学生的想象能力、抽象能力和逻辑思维推理能力的时候,屏幕上的“形象”和“具体”帮助学生对教学本质中的“想象”和“抽象”的理解,帮助学生独立解决一些典型的数学问题,可以从繁琐的计算中解脱出来,把原来花在计算上的大量的时间,用于对数学概念的理解和知识的掌握,加快数学能力的训练。
计算机可视化教学的意义,不仅在于使学生在使用软件的过程中掌握必要的数学知识;引导学生主动参与教学的过程;提高学生学习数学的兴趣与积极性;培养学生的数学应用能力;还让学生体会到数学思维的不可缺少性。
数学软件不可能代替数学的思维方式,没有必要的数学理论基础,没有严密的数学思维,功能再强大的软件也是无法处理简单的数学问题,进而可以使学生认识到数学理论的重要性。
3.2从学生方面来讲
学生作为教学活动的主体,在完成教育教学任务的过程中有着不可替代的作用。
在提高自身数学能力的过程中,中学生则可以通过培养良好的学习习惯来达到此目的。
著名的教育家乌申斯基曾说:
“良好的习惯是一种道德资本。
”他把习惯比喻为“按次序安放自己的东西和安排自己的时间。
”从这句话中我们不难看出习惯的养成对一个人的成长有着非常大的作用。
正如我们常说的那样:
行为决定习惯,习惯决定性格,性格决定命运。
一个拥有良好习惯的人也必将在人生道路上实现自己的理想。
数学学习亦是如此,要想具备良好的数学能力同样需要这些好的数学学习习惯的支撑,那么中学生在数学学习的过程中都应该具备哪些好的学习习惯呢?
3.2.1章节整体复习习惯。
在中学时期的学习过程中,随着年龄的增长,所接受的数学知识的难度和广度也在不断的发生着变化。
如何才能更好的适应这些变化呢,这就要求我们在学习的过程中明白已有知识的脉络,对本块知识有一个系统、具体、深刻的印象。
例如:
在复习“函数的概念”时,老师引导学生对这一知识形成一个具体的轮廓,同学们则可以经过自己的努力做出如下类似的总结:
教师在复习的时候往往会结合考试大纲对本章知识进行有侧重的串讲,并配备适量有针对性的习题,使学生对已掌握的理论知识有进一步的复习巩固。
但是学生在学习的过程当中,可能没有大量的时间和精力去揣摩和总结考试大纲对本节知识的要求,在此就要求学生在学习过程中对老师讲解的重难点进行总结。
比如在函数概念这一节教学中老师通常会讲到以下几点:
①.映射中的象与原象的概念;
②.分段函数的问题:
定义域、值域以及相关的方程或不等式的解的问题;
③.复合函数的解析式、图象以及相关的最值等问题;
④.分类讨论、数形结合等数学思想方法的应用。
在教学初期老师可以帮助学生对章节进行整体复习总结,这样的学习习惯,有助于知识的系统性,和概括性。
不至于产生杂乱冗繁的感觉,从而也减轻了学生数学学习的心理负担,有利于培养学习兴趣,使学生由最初的被动的总结,变为最终主动的概括。
3.2.2解题思想和基本题型的总结
数学学科自身的特点决定了在数学教学过程中,基本题型重于基本概念。
这也就是学生通常所说的,课堂上老师所讲的基本定理、定义都能听懂,课堂中的练习也会做,但是晚上回来后,家庭作业却是怎么也不会做。
怎么样来解决数学学习中的这一困惑呢?
这就要求我们从解题思想和基本题型两方面着手。
首先,就是要对数学学习过程中的解题思想进行总结。
数学学习的过程离不开数学习题。
不同的题目中它蕴含了不同的解题思想。
在学习过程中,对数学解题思想进行总结之前,我们首先要明白的是中学数学中常用的数学思想方法都有哪些。
高中试题主要从以下几个方面对数学思想方法进行考查:
①常用数学方法:
配方法、消去法、换元法、待定系数法、数学归纳法、坐标法、参数法等;
②数学逻辑方法:
分析法、综合法、反证法、归纳法、演绎法等;
③数学思维方法:
观察与分析、概括与抽象、分析与综合、特殊与一般、类比、归纳和演绎等;
④数学中常用的思想方法:
函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化(化归)思想等。
就拿配方法来说,配方法是对数学式子进行一种定向变形(配成“完全平方”)的技巧,通过配方找到已知和未知的联系,从而化繁为简。
何时配方,需要我们适当预测,并且需要“凑(拆)”而“配”。
因此教师在教学的过程当中,特别是在习题的讲解时,不能就题论题,而应该结合学生的实际水平予以总结和拓展。
从而达到使学生掌握一类题解法的目的。
下面就以数学中的函数为例来说明如何进行解题思想的总结。
函数是高中数学中的重要内容,函数思想是最基本的数学思想.函数的有关概念、性质以及几类典型的常用函数是函数思想的载体。
解题时可利用的性质包括定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、有界性、连续性、特殊点处的函数值、函数图象的变化趋势、函数图象的某种对称性等去解决问题.
函数思想作为中学数学的主线,其思想的高瞻性、应用的广泛性、解法的多样性、思维的创造性确定了它在高中数学试卷中函数的比重仍然很大,不仅会出现有关函数性质巧妙组合的小题,而且会出现融入各方面知识的函数的压轴题,考查学生推理、论证的能力,以适合高校选拔人才的需要。
其次,数学中基本题型的总结。
失败之所以是成功之母,是因为在我们经历了数次的失败之后,能够虚心积极的去总结失败的教训。
当下一次在遇到类似的问题时不再去重复同样的错误。
从而找到一条可以解决此类问题的一般性的方法。
学习数学的过程中,对数学基本题型的总结亦是如此,在我们尝试了很多种解法这后,当再次面对此类问题时所采用的方法便是我们对此类问题的基本解法。
提到对数学中基本题型进行总结可能有很多的同学并没有去尝试过系统的去做这项工作。
而事实上我们每个人都做过这样的工作,只是做的程度有所不同罢了。
下面我就以高中圆锥曲线部分的椭圆与直线的关系问题的几种常见的解法为例,来说明如何对数学基本题型的进行总结。
例如:
已知:
经过点P(1,1)的直线l与椭圆交于A、B两点,若P恰为A、B中点。
求:
直线l的方程
解法一:
设直线l方程:
y-1=k(x-1)或x=1.
当直线l为x=1时不满足题意,故直线l的斜率存在,则有:
(4+9k2)x2-(18k2-18k)x+9k2-18k-27=0.
∵P为A,B中点
∴x1+x2=
=2k=
直线l:
4x+9y-13=0
解法二:
设A(x1,y1),B(x2,y2)
∵A、B在椭圆上∴
∴4(x1+x2)(x1-x2)=-9(y1+y2)(y1-y2)
∵P(1,1)为A、B中点
∴x1+x2=2,y1+y2=2,
∴8(x1-x2)=-18(y1-y2),
∴k=
=
∴l:
4x+9y-13=0.
解法三:
设l:
(t为参数)
代入曲线方程:
4(1+tcosα)2+9(1+tsinα)2=36
(4cos2α+9sin2α)t2+(8cosα+18sinα)t-23=0
∵P为A、B中点
∴t1+t2==0
∴tanα==k
∴l:
4x+9y-13=0
这是我们在高中常见的一类直线与椭圆的关系问题。
其中解法一与解法二是我们比较常见的两种解法,而解法三在平时的练习中则是比较少见。
通过此题,我们便很容易看出,对于直线和椭圆的关系问题,我们常用的解法也就是上述的三种,以后再面对此类问题时,不妨也从上述角度去考虑。
结束语
如何培养中学生的数学能力是一个非常必要但却极其复杂的问题,本文仅从培养中学生数学能力的过程中,教师和学生两方面进行了简单的论述,建议教师在教学过程中可以从精选例题、设立与理论相关的数学模型、利用可视化教学等方面去培养学生的数学能力;对于学生而言,则主要是养成科学的数学学习习惯来达到提高自己数学能力的目的。
本文主要是希望能够引起大家对数学能力的重视,起到抛砖引玉的作用。
实现在日常的教学和学习中,提高数学能力的最终目的。
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