届江苏省南京师大附中高三模拟考试数学试题及答案.docx
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届江苏省南京师大附中高三模拟考试数学试题及答案
南京师大附中2017届高三模拟考试
数学05
注意事项:
1.本试卷共4页,包括填空题(第1题~第14题)、解答题(第15题~第20题)两部分.本试卷满分为160分,考试时间为120分钟.
2.答题前,请务必将自己的姓名、班级写在答题纸的密封线内.试题的答案写在答题纸上对应题目的答案空格内.考试结束后,交回答题纸.
参考公式:
锥体的体积公式为V=Sh,其中S是锥体的底面面积,h是高.
一.填空题:
本大题共14小题,每小题5分,共70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.
1.设集合A={x|-1<x<2},B={x|0<x<4,x∈N},则A∩B=▲.
2.若复数(i是虚数单位)为纯虚数,则实数a=▲.
3.某时段内共有100辆汽车经过某一雷达测速区域,将测得
的汽车时速绘制成如图所示的频率分布直方图.根据图
形推断,该时段时速超过50km/h的汽车辆数为▲.
4.如图是一个算法流程图,则输出的S的值是▲.
5.一只口袋内装有大小相同的5只球,其中3只黑球,2只白球,
从中一次随机摸出2只球,至少有1只黑球的概率是▲.
6.已知α,β表示两个不同的平面,m为平面α内的一条直线,
则“α⊥β”是“m⊥β”的▲条件.(填“充分不必要”、
“必要不充分”、“充要”或“既不充分也不必要”)
7.函数
的单调增区间是▲.
8.设实数x,y,b满足,若z=2x+y的最小值为3,
则实数b的值为▲.
(第4题图)
9.设a,b均为正实数,则
的最小值是▲.
10.设函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间[0,+∞)上单调递增,则满足不等式f
(1)<f(lg(2x))的x的取值范围是▲.
11.在△ABC中,已知∠BAC=90°,AB=6,若D点在斜边BC上,CD=2DB,则·
的值为▲.
12.在平面直角坐标系xOy中,点M是椭圆+=1(a>b>0)上的点,以M为圆心的
圆与x轴相切于椭圆的焦点F,圆M与y轴相交于P,Q两点.若△PQM是钝角三角
形,则该椭圆离心率的取值范围是▲.
13.对于定义域内的任意实数x,函数f(x)=的值恒为正数,则实数a的取值范围是▲.
14.记数列{an}的前n项和为Sn,若不等式a+≥ma对任意等差数列{an}及任意正整数n
都成立,则实数m的最大值为▲.
二.解答题:
本大题共6小题,共90分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明.证明过程或演算步骤.
15.(本小题满分14分)
在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且=.
(1)求角
的值;
(2)若角
,
边上的中线
=
,求
的面积.
16.(本小题满分14分)
在四棱锥P-ABCD中,∠ACD=90°,∠BAC=∠CAD,PA⊥平面ABCD,E为PD
(第16题图)图
的中点.
(1)求证:
平面PAC⊥平面PCD;
(2)求证:
CE∥平面PAB.
17.(本小题满分14分)
某商场为促销要准备一些正三棱锥形状的装饰品,用半径为10cm的圆形包装纸包装.要求如下:
正三棱锥的底面中心与包装纸的圆心重合,包装纸不能裁剪,沿底边向上翻折,其边缘恰好达到三棱锥的顶点,如图所示.设正三棱锥的底面边长为xcm,体积为Vcm3.在所有能用这种包装纸包装的正三棱锥装饰品中,V的最大值是多少?
并求此时x的值.
(第17题图)图
18.(本小题满分16分)
在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆+=1(a>b>0)的离心率为,两个顶点分别为A1(-2,0),A2(2,0).过点D(1,0)的直线交椭圆于M,N两点,直线A1M与NA2的交点为G.高考资源网
(1)求实数a,b的值;
(2)当直线MN的斜率为1时,若椭圆上恰有两个点P1,P2使得△P1MN和△P2MN
(第18题图)
的面积为S,求S的取值范围;
(3)求证:
点G在一条定直线上.
19.(本小题满分16分)
已知数列{an}是等差数列,{bn}是等比数列,且满足a1+a2+a3=9,b1b2b3=27.
(1)若a4=b3,b4-b3=m.
①当m=18时,求数列{an}和{bn}的通项公式;
②若数列{bn}是唯一的,求m的值;
(2)若a1+b1,a2+b2,a3+b3均为正整数,且成等比数列,求数列{an}的公差d的最
大值.
20.(本小题满分16分)
设a是实数,函数f(x)=ax2+(a+1)x-2lnx.
(1)当a=1时,求函数f(x)的单调区间;
(2)当a=2时,过原点O作曲线y=f(x)的切线,求切点的横坐标;
(3)设定义在D上的函数y=g(x)在点P(x0,y0)处的切线方程为l:
y=h(x),当x≠x0时,
若<0在D内恒成立,则称点P为函数y=g(x)的“巧点”.当a=-时,
试问函数y=f(x)是否存在“巧点”?
若存在,请求出“巧点”的横坐标;若不存在,说
明理由.
数学(附加题)05
21.【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题,每题10分,共计20分.请在答题纸指定区域内作答,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
A.(几何证明选讲选做题)
如图,设
、
是圆
的两条弦,直线
是线段
的垂直平分线.已知
,求线段
的长度.
(第21—A题图)
B.(矩阵与变换选做题)
设矩阵A
,矩阵A属于特征值
的一个特征向量为
,属于特征值
的一个特征向量为
,求ad-bc的值.
C.(坐标系与参数方程选做题)
在平面直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.设点A,
B分别在曲线C1:
(θ为参数)和曲线C2:
ρ=1上,求线段AB的最小值.
D.(不等式选做题)
设a,b,c均为正数,abc=1.求证:
++≥++.
22.【必做题】
在一个盒子中放有大小质量相同的四个小球,标号分别为
,
,
,4,现从这个盒
子中有放回地先后摸出两个小球,它们的标号分别为x,y,记ξ=|x-y|.
(1)求P(ξ=1);
(2)求随机变量ξ的分布列和数学期望.
23.【必做题】
有三种卡片分别写有数字1,10和100.设m为正整数,从上述三种卡片中选取若干张,
使得这些卡片上的数字之和为m.考虑不同的选法种数,例如当m=11时,有如下两种选法:
“一张卡片写有1,另一张卡片写有10”或“11张写有1的卡片”,则选法种数为2.
(1)若m=100,直接写出选法种数;
(2)设n为正整数,记所选卡片的数字和为100n的选法种数为an.当n≥2时,求数
列{an}的通项公式.
南京师大附中2017届高三模拟考试
数学参考答案及评分标准
说明:
1.本解答给出的解法供参考.如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则.
2.对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后续部分的解答有较严重的错误,就不再给分.
3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数.
4.只给整数分数,填空题不给中间分数.
一、填空题:
本大题共14小题,每小题5分,计70分.
1.{1};2.2;3.77;4.5;5.;6.必要不充分;
7.[-,0];8.;9.4;10.(0,)∪(5,+∞);11.24;
12.(0,);13.-7<a≤0或a=2;14..
二、解答题:
15.解析:
(1)因为
,由正弦定理
得
,………………2分
即
=sin(A+C).………………4分
因为B=π-A-C,所以sinB=sin(A+C),
所以
.
因为B∈(0,π),所以sinB≠0,
所以
,因为
,所以
.………………7分
(2)由
(1)知
,所以
,
.………………8分
设
,则
,又
在△AMC中,由余弦定理
得
即
解得x=2.………………12分
故
………………14分
16.解析:
(1)因为PA⊥平面ABCD,CD平面ABCD,所以PA⊥CD,…………………2分
又∠ACD=90°,则
,而PA∩AC=A,
所以CD⊥平面PAC,因为CD平面ACD,………………4分
所以,平面PAC⊥平面PCD. ………………7分
(2)证法一:
取AD中点M,连EM,CM,则EM∥PA.
因为EM
平面PAB,PA
平面PAB,
所以EM∥平面PAB. ………………9分
在Rt△ACD中,AM=CM,所以∠CAD=∠ACM,
又∠BAC=∠CAD,所以∠BAC=∠ACM,
则MC∥AB.
因为MC
平面PAB,AB
平面PAB,
所以MC∥平面PAB.
………………12分
而EM∩MC=M,所以平面EMC∥平面PAB.
由于EC
平面EMC,从而EC∥平面PAB.………………14分
证法二:
延长DC,AB交于点N,连PN.
因为∠NAC=∠DAC,AC⊥CD,
所以C为ND的中点.
而E为PD中点,所以EC∥PN.
因为EC
平面PAB,PN
平面PAB,
所以EC∥平面PAB.
………………14分
17.解析:
正三棱锥展开如图所示.当按照底边包装时体积最大.
设正三棱锥侧面的高为h,高为h.
由题意得:
x+h=10,解得h=10-x.
………………2分
则h==
=,x∈(0,10).………………5分
所以,正三棱锥体积V=Sh=×x2×
=.………………8分
设y=V2=(100-x)=-,
求导得y′=-,令y′=0,得x=8,………………10分
当x∈(0,8)时,y′>0,y随着x的增加而增大,
当x∈(8,10)时,y′<0,y随着x的增加而减小,
所以,当x=8cm时,y取得极大值也是最大值.………………12分
此时y=15360,所以Vmax=32cm3.
答:
当底面边长为8cm时,正三棱锥的最大体积为32cm3.………………14分
18.解析:
(1)由题设可知a=2.………………1分
因为e=,即=,所以c=.
又因为b2=a2-c2=4-3=1,所以b=1.………………2分
(2)由题设可知,椭圆的方程为+y2=1,直线MN的方程为y=x-1.
设M(x1,y1),N(x2,y2),联立方程组,消去y可得5x2-8x=0,
解得x1=0,x2=.
将x1=0,x2=,代入直线MN的方程,解得y1=-1,y2=.
所以MN==.………………4分
设与直线MN平行的直线m方程为y=x+λ.
联立方程组,消去y可得5x2+8λx+4λ2-4=0,
若直线m与椭圆只有一个交点,则满足△=64λ2-20(4λ2-4)=0,解得λ=±.……………6分
当直线m为y=x-时,直线l与m之间的距离为d1==;
当直线m为y=x+时,直线l与m之间的距离为d2==;………………8分
设点C到MN的距离为d,要使△CMN的面积为S的点C恰有两个,
则需满足d1<d<d2,即<d<.
因为S=d·MN=d,所以<S<.………………10分
(3)方法一设直线A1M的方程为y=k1(x+2),直线A2N的方程为y=k2(x-2).
联立方程组,消去y得(1+4k12)x2+16k12x+16k12-4=0,
解得点M的坐标为(,).
同理,可解得点N的坐标为(,).………………12分
由M,D,N三点共线,有=,化简得(k2-3k1)(4k1k2+1)=0.
由题设可知k1与k2同号,所以k2=3k1.………………14分
联立方程组,解得交点G的坐标为(,).
将k2=3k1代入点G的横坐标,得xG===4.
所以,点G恒在定直线x=4上.………………16分
方法二显然,直线MN的斜率为0时不合题意.
设直线MN的方程为x=my+1.
令m=0,解得M(1,),N(1,-)或M(1,-),N(1,).
当M(1,),N(1,-)时,直线A1M的方程为y=x+,直线A2N的方程为y=x-.
联立方程组,解得交点G的坐标为(4,);
当M(1,-),N(1,)时,由对称性可知交点G的坐标为(4,-).
若点G恒在一条定直线上,则此定直线必为x=4.………………12分
下面证明对于任意的实数m,直线A1M与直线A2N的交点G均在直线x=4上.
设M(x1,y1),N(x2,y2),G(4,y0).
由点A1,M,G三点共线,有=,即y0=.
再由点A2,N,G三点共线,有=,即y0=.
所以,=.①
将x1=my1+1,x2=my2+1代入①式,化简得2my1y2-3(y1+y2)=0.②………………14分
联立方程组,消去x得(m2+4)y2+2my-3=0,
从而有y1+y2=,y1y2=.
将其代入②式,有2m·-3·=0成立.
所以,当m为任意实数时,直线A1M与直线A2N的交点G均在直线x=4上.………………16分
19.解析:
(1)①由数列{an}是等差数列及a1+a2+a3=9,得a2=3,
由数列{bn}是等比数列及b1b2b3=27,得b2=3.………………2分
设数列{an}的公差为d,数列{bn}的公比为q,
若m=18,
则有解得或
所以,{an}和{bn}的通项公式为或………………4分
②由题设b4-b3=m,得3q2-3q=m,即3q2-3q-m=0(*).
因为数列{bn}是唯一的,所以
若q=0,则m=0,检验知,当m=0时,q=1或0(舍去),满足题意;
若q≠0,则(-3)2+12m=0,解得m=-,代入(*)式,解得q=,
又b2=3,所以{bn}是唯一的等比数列,符合题意.
所以,m=0或-.………………8分
(2)依题意,36=(a1+b1)(a3+b3),
设{bn}公比为q,则有36=(3-d+)(3+d+3q),(**)
记m=3-d+,n=3+d+3q,则mn=36.
将(**)中的q消去,整理得:
d2+(m-n)d+3(m+n)-36=0………………10分
d的大根为=
而m,n∈N*,所以(m,n)的可能取值为:
(1,36),(2,18),(3,12),(4,9),(6,6),(9,4),(12,3),(18,2),(36,1).
所以,当m=1,n=36时,d的最大值为.………………16分
20.解析:
(1)当a=1时,f′(x)=(x>0),………………1分
由f′(x)>0得:
x>;由f′(x)<0得:
0<x<.………………2分
所以,f(x)的单调增区间为(,+∞),单调减区间为(0,).………………3分
(2)当a=2时,设切点为M(m,n).
f′(x)=4x+3-(x>0),
所以,切线的斜率k=4m+3-.
又直线OM的斜率为,………………5分
所以,4m+3-=,即m2+lnm-1=0,
又函数y=m2+lnm-1在(0,+∞)上递增,且m=1是一根,所以是唯一根,
所以,切点横坐标为1.………………7分
(3)a=-时,由函数y=f(x)在其图象上一点P(x0,y0)处的切线方程为:
y=(-x0+-)(x-x0)-x02+x0-2lnx0.………………8分
令h(x)=(-x0+-)(x-x0)-x02+x0-2lnx0,
设F(x)=f(x)-h(x),则F(x0)=0.
且F′(x)=f′(x)-h′(x)=-x+--(-x0+-)
=-(x-x0)-(-)=-(x-x0)(x-)………………10分
当0<x0<2时,>x0,F(x)在(x0,)上单调递增,从而有F(x)>F(x0)=0,所以,>0;
当x0>2时,<x0,F(x)在(,x0)上单调递增,从而有F(x)<F(x0)=0,所以,>0.
因此,y=f(x)在(0,2)和(2,+∞)上不存在“巧点”.………………13分
当x0=2时,F′(x)=-≤0,所以函数F(x)在(0,+∞)上单调递减.
所以,x>2时,F(x)<F
(2)=0,<0;0<x<2时,F(x)>F
(2)=0,<0.
因此,点(2,f
(2))为“巧点”,其横坐标为2.………………16分
南京师大附中2017届高三模拟考试
数学附加题参考答案及评分标准05
21.【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题,每小题10分,共计20分.请在答卷纸指定区域内作答.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
A.选修4—1:
几何证明选讲
解析:
连接BC,
相交于点
.
因为AB是线段CD的垂直平分线,
所以AB是圆的直径,∠ACB=90°.
………………2分
设
,则
,由射影定理得
CE=AE·EB,又
,
即有
,解得
(舍)或
………………8分
所以,AC=AE·AB=5×6=30,
. ………………10分
B.选修4—2:
矩阵与变换
解析:
由特征值、特征向量定义可知,A
,
即
,得
………………5分
同理可得
解得
.
因此ad-bc=2-6=-4.………………10分
C.选修4—4:
坐标系与参数方程
解析:
将曲线C1的参数θ消去可得(x-3)2+(y-4)2=1.
将曲线C2化为直角坐标方程为x2+y2=1. ………………5分
曲线C1是以(3,4)为圆心,1为半径的圆;曲线C2是以(0,0)为圆心,1为半径的圆,
可求得两圆圆心距为=5,
所以,AB的最小值为5-1-1=3. ………………10分
D.选修4—5:
不等式选讲
证明:
由a,b,c为正数,根据平均值不等式,得+≥,+≥,+≥.
将此三式相加,得2(++)≥++,即++≥++.
………………5分
由abc=1,则有=1.
所以,++≥++=++. ………………10分
22.解析:
(1)
;………………3分
(2)
的所有取值为0,1,2,3.………………4分
,
,
.
则随机变量
的分布列为
3
的数学期望
.………………10分
23.解析:
(1)m=100,共有选法种数为12.………………3分
(2)若至少选一张写有100的卡片时,则除去1张写有100的卡片,其余数字之和为100(n-1),
有an-1种选法;
若不选含有100的卡片,则有10n+1种选法.
所以,an=10n+1+an-1,………………8分
从而,an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+···+(a2-a1)+a1
=10n+1+10(n-1)+1+···+10×2+1+a1
=10+n-1+a1
=5n2+6n+1
所以,{an}的通项公式是an=5n2+6n+1.………………10分
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