六年级奥数行程问题讲解.docx
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六年级奥数行程问题讲解
行程问题(一一)
专题简析:
行程问题的三个基本量是距离、速度和时间。
其互逆关系可用乘、除法计算,方法简单,但应注意行驶方向的变化,按所行方向的不同可分为三种:
(1)相遇问题;
(2)相离问题;(3)追及问题。
行程问题的主要数量关系是:
距离=速度×时间。
它大致分为以下三种情况:
(1)相向而行:
相遇时间=距离÷速度和
(2)相背而行:
相背距离=速度和×时间。
(3)同向而行:
速度慢的在前,快的在后。
追及时间=追及距离÷速度差
在环形跑道上,速度快的在前,慢的在后。
追及距离=速度差×时间。
解决行程问题时,要注意充分利用图示把题中的情节形象地表示出来,有助于分析数量关系,有助于迅速地找到解题思路。
例题1
两辆汽车同时从某地出发,运送一批货物到距离165千米的工地。
甲车比乙车早到8分钟,当甲车到达时,乙车还距工地24千米。
甲车行完全程用了多少小时?
解答本题的关键是正确理解“已知甲车比乙车早到8分钟,当甲车到达时,乙车还距工地24千米”。
这句话的实质就是:
“乙48分钟行了24千米”。
可以先求乙的速度,然后根据路程求时间。
也可以先求出全程165千米是24千米的多少倍,再求甲行完全程要用多少小时。
解法一:
乙车速度:
24÷48×60=30(千米/小时)
48甲行完全程的时间:
165÷30—=4.7(小时)60解法二:
48×(165÷24)—48=282(分钟)=4.7(小时)
答:
甲车行完全程用了4.7小时。
挑战自我
1、甲、乙两地之间的距离是420千米。
两辆汽车同时从甲地开往乙地。
第一辆每小时行42千米,第二辆汽车每小时行28千米。
第一辆汽车到乙地立即返回。
两辆汽车从开出到相遇共用多少小时?
2、A、B两地相距900千米,甲车由A地到B地需15小时,乙车由B地到A地需10小时。
两车同时从两地开出,相遇时甲车距B地还有多少千米?
1
千米。
继续行进到下午112.510点钟时两车相距A、B两城同时相向而行。
到83、甲、乙两辆汽车早上点钟分别从B两地间的距离是多少千米?
、时,两车相距还是112.5千米。
A1
2
例题
千米的地方相遇。
之后,两车继续以原来的速度前进。
各两辆汽车同时从东、西两站相向开出。
第一次在离东站6030千米处相遇。
两站相距多少千米?
自到达对方车站后都立即返回,又在距中点西侧东西1—图33
从东站出发的汽车行两辆汽车行一个全程时,从两辆汽车同时从东、西两站相对开出到第二次相遇共行了三个全程。
千米,也就是说这辆汽车再行3060千米,两车走三个全程时,这辆汽车走了3个60千米。
这时这辆汽车距中点了倍。
找到这个关系,东、西两这站之间的距离也就可以求出来30千米的话,共行的路程相当于东、西两站路程的1.5了。
所以×3+30)÷1.5=140(千米)(60千米。
答:
东、西两站相距140
挑战自我
千米的地方相遇,之后两车继续以原来的速度前进。
各551、两辆汽车同时从南、北两站相对开出,第一次在离南站15千米处相遇。
两站相距多少千米?
自到站后都立即返回,又在距中点南侧
千米的地方。
两车仍以原速继续前进。
各自到站后、两列火车同时从甲、乙两站相向而行。
第一次相遇在离甲站40220千米的地方相遇。
两站相距多少千米?
立即返回,又在离乙站
千米。
然后各按原速继续行驶,分别到达90两地相对开出。
第一次相遇时离A站有3、甲、乙两辆汽车同时从A、B两站间的路程是多少千、B两站间全程的65%。
ABA对方车站后立即沿原路返回。
第二次相遇时在离地的距离占A、米?
3
例题
分钟甲80分钟相遇;若同向行走,两地同时出发。
若相向而行,、米。
甲、乙两人分别从两地相距、AB960AB62
B地要用多少分钟?
可以追上乙。
甲从地走到A6=1600÷甲、乙两人从同时同向出发到相遇,6分钟共行的路程是960米,那么每分钟共行的路程(速度和)是96米,每分钟甲追乙的路程(速度分钟,甲追乙的路程是960(米);甲、乙两人从同时同向出发到甲追上乙需用去80地要用B地到)÷1=86(米)。
甲从A差)是960÷80=12(米)。
根据甲、乙速度和与差,可知甲每分钟行(160+127,列算式为960÷86=11(分钟)437(分钟)80)÷2]=11(960÷[960÷6+960÷43711分钟。
地走到答:
甲从AB地要用43
挑战自我
分钟相遇;若同向行走,B两地出发,若先跟乡行走,12、1、一条笔直的马路通过AB两地,甲、乙两人同时从A、1800米。
甲、乙每分钟各行多少米?
两地相距分钟甲就落在乙后面1864米。
已知A、B8
6若同向而行,分钟相遇;2他俩同时从同一地点出发。
若想8背而行,、2父子二人在一400米长的环行跑道上散步。
72分钟父亲可以追上儿子。
问:
在跑道上走一圈,父子各需多少分钟?
263
分钟后,二103、两条公路呈十字交叉。
甲从十字路口南1350米处向北直行,乙从十字路口处向东直行。
同时出发分钟,这时二人离十字路口的距离又相等。
求甲、人离使字路口的距离相等;二人仍保持原来速度直行,又过了80乙二人的速度。
4
例题
千米的地方追上了他,然后爸分钟后每爸爸骑摩托车去追他。
在离家4时上午88分,小明骑自行车从家里出发。
8,这时是几时几所示)8爸立即回家。
到家后他又立即回头去追小明。
再追上他的时候,离家恰好是千米(如图33-2分?
千米4千米4出发:
08小明8出发:
16爸爸82—图33由题意可知:
爸爸第一次追上小明后,立即回家,到1分钟后,812家后又回头去追小名,再追上小明时走了千米。
可见小明的速度是爸爸的速度的。
那么,小明先走33
爸爸只花了4分钟即可追上,这段时间爸爸走了4千米。
列式为
爸爸的速度是小明的几倍:
(4+8)÷4=3(倍)
爸爸走4千米所需的时间:
8÷(3—1)=4(分钟)
爸爸的速度:
4÷4=1(千米/分)
爸爸所用的时间:
(4+4+8)÷1=16(分钟)
16+16=32(分钟)
答:
这时是8时32分。
挑战自我
1、A、B两地相距21千米,上午8时甲、乙分别从A、B两地出发,相向而行。
甲到达B地后立即返回,乙到达A地后立即返回。
上午10时他们第二次相遇。
此时,甲走的路程比乙走的多9千米,甲一共行了多少千米?
甲每小时走多少千米?
2、张师傅上班坐车,回家步行,路上一共要用80分钟。
如果往、返都坐车,全部行程要50千米;如果往、返都步行,全部行程要多长时间?
3、当甲在60米赛跑中冲过终点线时,比乙领先10米,比丙领先20米。
如果乙和丙按原来的速度继续冲向终点,那么乙到达终点时将比丙领先多少米?
例题5
甲、乙、丙三人,每分钟分别行68米、70.5米、72米。
现甲、乙从东镇去西镇,丙从西镇去东镇,三人同时出发,丙和乙相遇后,又过2分钟与甲相遇。
东、西两镇相距多少器秒年米毫?
乙、丙相遇点东西甲、丙相遇点米?
图33——3
)68+72乙比甲多行的路程正好是后来甲、丙2分钟所行的路程和,是(丙两人相遇时,33-3如图所示,可以看出,乙、,因此,求(分钟)÷2.5=112(米)可见,乙、丙相遇时间是。
而每分钟乙比甲多行×2=280(米)70.5—68=2.5280东、西两镇间的距离可用速度和乘以相遇时间求出。
列式为2(68+72)×÷2.5=112(分钟)乙、丙相遇时间:
÷)×(东、西两镇相距的千米数:
70.5+721121000=15.96(千米)4
挑战自我
地去BB地,丙从75、有甲、乙、丙三人,甲每分钟行70米,乙每分钟行60米,丙每分钟行米,甲、乙从A地去1两地相距多少千米?
、BA地,三人同时出发,丙遇到甲8分钟后,再遇到乙。
A
秒钟后猎人向狼开了一枪。
狼立米,62、一只狼以每秒15米的速度追捕在它前面100米处的兔子。
兔子每秒行4.5米?
16.5即转身以每秒米的速度背向兔子逃去。
问:
开枪多少秒后兔子与狼又相距100
千米,因此比乙车迟一小时到达。
6地开往B地,乙车小时可以到达,甲车每小时比乙车慢83、甲、乙两车同时从AA、B两地间的路程是多少千米?
行程问题
(二)三十四、行程问题
(二)
:
专题简析
一是两人同地在行程问题中,与环行有关的行程问题的解决方法与一般的行程问题的方法类似,但有两点值得注意:
背向运动,从第一次相遇到下次相遇共行一个全程;二是同地、同向运动时,甲追上乙时,甲比乙多行了一个全程。
1
例题
甲、乙、丙三人沿着湖边散步,同时从湖边一固定点出发。
甲按顺时针方向行走,乙与丙按逆时针方向行走。
甲第一231米,求丙的速度。
,湖的周长为3次遇到乙后1分钟于到丙,再过分钟第二次遇到乙。
已知乙的速度是甲的60034431分。
甲、乙=120÷(60甲第一次与乙相遇后到第二西与乙相遇,刚好共行了一圈。
甲、乙的速度和为01+3)米/445
1213(米)=961+3+172=48/分),120—(米/分)。
甲、丙的速度和为60的速度分别是:
1200÷(÷(1+)=72(米4443分),这样,就可以求出丙的速度。
列算式为/31分))=120(米/1甲、乙的速度和:
600÷(+3442分))=72(米/1+甲速:
120÷(3分)—72=48(米/乙速:
120113=96(米/分)÷(1+3+1)甲、丙的速度和:
600444(千米/分)丙的速度:
96—72=2424米。
答:
丙每分钟行
挑战自我
、甲、乙、丙三人环湖跑步。
同时从湖边一固定点出发,乙、丙两人同向,甲与乙、丙两人反向。
在甲第一次遇到131米,求三2000分钟第二次遇到途。
已知甲速与乙速的比为3:
2,湖的周长为乙后1分钟第一次遇到丙;再过344人的速度。
米。
米的圆形小池边玩。
从同一地点同时背向绕水池而行。
兄每秒走1.3米。
妹每秒走1.2、兄、妹22人在周长为30他们第10次相遇时,劢还要走多少米才能归到出发点?
点第一次相CAB是圆的直径的两端,小张在点,小王在B点,同时出发反向而行,他们在A3、如图34-1所示,、60米。
求这个圆的周长。
点离米;在A点80D点第二次相遇,DB点点离遇,CCABD134图——
6
2
例题
甲、乙两人在同一条椭圆形跑道上做特殊训练。
他们同时从同一地点出发,沿相反方向跑。
每人跑完第一圈到达出发12,乙跑第二点后,立即回头加速跑第二圈,跑第一圈时,乙的速度是甲的,甲跑第二圈时的速度比第一圈提高了331米。
这条椭圆形跑道长多少米?
。
已知甲、乙两人第二次相遇点距第一次相遇点190圈时速度提高了55A8C23乙B甲2图34——
2。
第一次相遇时,他们所行路:
=3:
2根据题意画图34-2:
甲、乙从A点出发,沿相反方向跑,他们的速度比是131。
这时甲反2=1A3程比是:
2,把全程平均分成5份,则他们第一次相遇点在B点。
当甲点时,乙又行了2÷3×31111。
。
甲、乙速度比为[3×(1+×2=3)甲反向行了(3—1A:
):
2]=21,当乙到达点时,西肮而行,速度提高了333353111,3乙又行了。
这样,(5—)×=:
1+:
1+乙的速度比变成了这时乙反向而行,甲、[3×()][2×()]=5383535+335—=2。
列式为3CC与甲在点相遇。
B、的路程为190米,对应的份数为8822=3:
1:
3132÷×2=1311
:
)2]=2:
×([31+311—1)×2=33(33113
]:
]=5×(:
[21+))1+[3×(53531—(53)×=85+335(米))×3-190÷(5=4008400答:
这条椭圆形跑道长米。
7
挑战自我
11C处到B处要分钟,从C处要12分钟,从B处到A处要151、小明绕一个圆形长廊游玩。
顺时针走,从A处到B处需要多少分钟(如图34-3所示)?
分钟。
从A处到ABC3图34——
千米。
C地的距离是4A地出发,沿长方形的路两边行驶,结果在B地相遇。
已知B地与、摩托车与小汽车同时从2234-4所示)?
且小汽车的速度为摩托车速度的。
这条长方形路的全长是多少千米(如图3A千米4CB4——图34
倍,他们第一次与第二次相遇地点33、甲、乙两人在圆形跑道上,同时从某地出发沿相反方向跑步。
甲速是乙速的米。
环形跑道有多少米?
之间的路程是100
3
例题
5千米速度走1小时后休息4绕湖的一周是24千米,小张和小王从湖边某一地点同时出发反向而行。
小王以每小时10分钟。
两人出发多少时间第一次相遇?
50分钟,小张以每小时6千米的速度每走分钟后休息千米,我们可以把他们出发后的时间与行程列出下表:
50小张的速度是每小时6千米,分钟走5分小时102小时分315分小时小王时间1512千米4行程千米8千米8
小张时间1小时2小时3小时
行程5千米10千米15千米
12+15=27,比24大,从上表可以看出,他们相遇在出发后2小时10分至3小时15分之间。
出发后2小时10分,小张已走了10+5÷(50÷10)=11(千米),此时两人相距24—(8+11)=5(千米)。
由于从此时到相遇以不会再休息,因此共同走完这5千米所需的时间是5÷(4+6)=0.5(小时),而2小时10分+0.5小时=2小时40分。
小张50分钟走的路程:
6÷60×50=5(千米)
小张2小时10分后共行的路程:
10+5÷(50÷10)=11(千米)
两人行2小时10分后相距的路程:
24—(8+11)=5(千米)
两人共同行5千米所需时间:
5÷(4+6)=0.5(小时)
相遇时间:
2小时10分+0.5小时=2小时40分
挑战自我
1、在400米环行跑道上,A,B两点相距100米。
甲、乙两人分别从A,B两点同时出发,按逆时针方向跑步,甲每秒行5米,乙每秒行4米,每人跑100米都要停留10秒钟。
那么甲追上乙需要多少秒?
2、一辆汽车在甲、乙两站之间行驶。
往、返一次共用去4小时。
汽车去时每小时行45千米,返回时每小时行驶30千米,那么甲、乙两站相距多少千米?
3、龟、兔进行10000米跑步比赛。
兔每分钟跑400米,龟每分钟跑80米,兔每跑5分钟歇25分钟,谁先到达终点?
例题4
一个游泳池长90米。
甲、乙二人分别从游泳池的两端同时出发,游到另一端立即返回。
找这样往、返游,两人游10分钟。
已知甲每秒游3米,乙每秒游2米。
在出发后的两分钟内,二人相遇了几次?
设甲的速度为a,乙的速度为b,a:
b的最简比为m:
n,那么甲、乙在半个周期内共走m+n个全程。
若m>n,且m、n都是奇数,在一个周期内甲、乙相遇了2m次;若m>n,且m为奇数(或偶数),n为偶数(或奇数),在半个周期末甲、乙同时在乙(或甲)的出发位置,一个周期内,甲、乙共相遇(2m—1)次。
甲速:
乙速=3:
2,由于3>2,且一奇数一偶数,一个周期内共相遇(2×3—1=)5次,共跑了[(3+2)×2=]10个全程。
110分钟两人合跑周期的个数为:
60×10÷[90÷(2+3)×10]=3(个)313个周期相遇(5×3=)15(次);个周期相遇2次。
3一共相遇:
15+2=17(次)
答:
二人相遇了17次。
9
挑战自我
3.23分钟,乙要1、甲、乙两个运动员同时从游泳池的两端相向下水做往、返游泳训练。
从池的一端到另一端甲要48分钟,一共相遇了多少次?
分钟。
两人下水后连续游了
米,乙分钟,甲每分钟游81、一游泳池道长100米,甲、乙两个运动员从泳道的两端同时下水,做往、返训练15289米。
甲运动员一共从乙运动员身边经过了多少次?
每分钟游
千米。
马路一旁人行道上有甲、乙两名1815米的公共汽车,由东向西行驶,车速为每小时3、马路上有一辆身长为秒争后汽车离开了甲,半分钟后,6年轻人正在练长跑,甲由东向西跑,乙由西向东跑。
某一时刻,汽车追上了甲,秒钟,汽车离开乙,再过几秒钟,甲、乙两人相遇?
汽车遇到迎面跑来的乙,又经过了2
5
例题
千米,后一半时间平均速度1千米。
张明8点从甲地出发去乙地,前一半时间平均速度为每分钟甲、乙两地相距60为每分钟0.8千米。
张明经过多少时间到达乙地?
千米所因为前一半时间与后一半时间相同,所以可假设为两人同时相向而行的情形,这样我们可以求出两人合走601=]33分钟。
因此,张明从甲地到乙地的时间列算式为[60÷(1+0.8)需的时间为32(分钟)0÷(1+0.8)×2=66632分钟到达乙地。
答:
张明经过663
挑战自我
千米,后一半时间平均每小B地,前一半时间平均每小时行6090、B两地相距千米。
一辆汽车从A地出发去A1、B地?
时行40千米。
这辆汽车经过多少时间可以到达
米。
两人至少经过米,乙蔑分钟走米环行跑道行走。
甲每分钟走8050点背向出发,沿2、甲、乙两人同时从A400多少分钟才能在A点相遇?
米。
两人起跑后第一米,乙平均每秒行4.453003、在米的环行跑道上,甲、乙两人同时并排起跑。
甲平均每秒行次相遇在起跑线前面多少米?
10
行程问题(三)
十五、行程问题(三)
专题简析:
本周主要讲结合分数、百分数知识相关的较为复杂抽象的行程问题。
要注意:
出发的时间、地点和行驶方向、速度的变化等,常常需画线段图来帮助理解题意。
1
例题
,相遇后客车继续行千米,货车的速度是客车的80%每小时行驶50客车和货车同时从A、B两地相对开出。
客车两地相距多少千米?
、地。
AB3.2小时到达B客车小时3.2BA货车1图35——
3.2=160×50先要求客、货车合行全程所需的时间。
客车3.2小时行了35-1如图所示,要求A、B两地相距多少千米,160千米所需的时间为:
(千米),货车行=4(小时)50×80%)160÷((千米)80%)×4=360×所以(50+50千米。
两地相距360A答:
、B
挑战自我
5,甲每分320米。
已知甲的速度是乙的速度的两地同时出发相向而行,相遇点距中点、甲、乙两车分别从1A、B6两地的路程。
A、B米。
求钟行800
11
小时相遇;如果两地同时出发相向而行,匀速前进。
如果每人按一定的速度前进,则24、甲、乙两人分别从A、BB两地的距离是多少千米?
1千米,则5小时相遇。
那么A、每人各自都比原计划每小时少走
1,离相遇地点还。
已知甲行了全程的3、甲、乙两人同时骑自行车从东、西两镇相向而行,甲、乙的速度比是3:
4320千米,相遇时甲比乙少行多少千米?
有
2
例题
:
53:
,某人走这三段路所用的时间之比是4:
从甲地到乙地的路程分为上坡、平路、下坡三段,各段路程之比是1:
2千米。
此人从甲地走到乙地需多长时间?
6。
已知他上坡时的速度为每小时2.5千米,路程全长为2010101÷(千米),上坡的时间为要求从甲地走到乙地需多长时间,先求上坡时用的时间。
上坡的路程为20×=331+2+3444÷=5(小时)2.5=(小时),从甲地走到乙地所需的时间为:
4+5+633答:
此人从甲地走到乙地需5小时。
挑战自我
:
小亮走这三段路所用的时间之比是62各段路程之比是:
3:
5,1、从甲地到乙地的路程分为上坡、平路、下坡三段,乙两地相距多少千米?
他从甲地走到乙地共用了千米,5小时。
问:
甲、5:
4。
已知小亮走平炉时的速度为每小时4.5
点回116点出发,走了一段平坦的路,爬上了一座山,在山顶停了1小时后按原路返回,中午2、小明去登山,上午千米。
问:
小明一共走千米,上坡速度为每小时3千米,下坡速度为每小时6到家。
已知他走平路的速度为每小时4了多少千米?
2800,从就秒到学校的路程为青青从家到学校正好要翻一座小山,、她上坡每分钟行50米,下坡速度比上坡快40%3分钟。
从学校回家要用多少时间?
米,上学要用50
3
例题
。
他们第一次相遇后,甲的速度提高了:
23A甲、乙两人分别从、B两地出发,相向而行,出发时他们的速度比是BA14AB30%20%,乙的速度提高了。
这样,当几地时,乙离地还有千米。
那么、两地间的距离是多少千米?
12
AB4千米14份19335——图
甲、份的路程,甲走了3份的路程,乙走了2当他们第一次相遇后,把A、B两地的路程平均分成5份,第一次相遇,42÷18×13=1]=18[2×(1+30%):
13。
甲到达B点还需行2份的路程,这时乙行了1+20%乙的速度比为[3×()]:
94)份—1份路程,从图35-3可以看出14千米对应(5—2913:
)]=18×([31+20%)]:
[2×(1+30%4(份)×2÷1813=1954(份)5—(2+1)=1995(千米)14÷1×5=459、答:
AB两地间的距离是45千米。
挑战自我
小时后相遇。
如果他们同向而B两地同时出发相向而行,0.5、1、甲、乙两人步行的速度比是13:
11,他们分别由A行,那么甲追上乙需要几小时?
地出发追甲。
乙出发多81小时40分钟。
若甲从A地出发分钟后,乙从A2A2、从地到B地,甲要走小时,乙要走久能追上甲?
,乙4,相遇后,甲的速度减少20%:
、3、甲、乙两车分别从AB两地出发,相向而行。
出发时,甲、乙的速度比是510地时,乙离A地还有千米。
那么,A、B两地相距多少千米?
B20%的速度增加,这样,当甲到达
4
例题
千米的飞机场参观,一辆汽车一次只能坐一个班的学生。
为了尽快到达机场,两个班商定,24甲、乙两班学生到离校13
由甲班先坐车,乙班步行,同时出发。
甲班学生在中途下车步行去机场,汽车立即返回接途中步行的乙班同学。
已知才能使两班同学7倍,汽车应在距机场多少千米处返回接乙班同学,凉拌学生步行的速度相同,汽车的速度是步行的同时到达机场(学生上下车及汽车换向时间不计算)?
311乙甲4——图35
倍,汽车到达甲班学生下车的地方又返回到与乙班学生相遇的地点,汽车所行路程应为乙班不行的7如图35-4所示,(倍)。
6即比乙班学生多走倍,因此汽车单程比乙班步行多(6÷2)=3由此得出汽车送甲班学生下车地点到几汽车返回与乙班相遇时,乙班步行的路程与甲班学生步行到机场的路程相等。
1/5。
列算式为长的距离为学校到机场的距离的(千米)24÷(1+3+1)=4.8千米处返回接乙班学生,才能使两班学生同时到达飞机场。
答:
汽车应在距飞机场4.8
挑战自我
座的车去还边
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