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近代数学史

第五章近代数学史

1．中世纪的欧洲数学

公元5～11世纪，是欧洲历史上的黑暗时期，直到12世纪欧洲数学才开始复苏。

斐波那契（公元1170年至公元1250年）是第一位有影响的数学家。

他的代表作《算经》系统介绍了印度、阿拉伯数码，对改变欧洲数学的面貌产生了很大的影响。

《算经》中的一个“兔子问题”，产生了着名的斐波那契数列。

2．向近代数学过渡作准备

⑴代数学的产生

欧洲人在数学上的推进是从代数学开始的，并拉开了近代数学的序幕。

特别表现在三、四次方程求解和符号代数两个方面。

代表人物有：

A．塔塔利亚（公元1499年至公元1557年）意大利数学家，给出了形如：

三次方程的代数解法

B．费罗（公元1465年至公元1526年）波伦亚大学的数学教授，给出了形如：

三次方程的代数解法

C．卡尔丹（公元1501年至公元1576年）学者，在其着作中公布了这些解法。

并认识到复根是成对出现的。

D．邦贝利（公元1526年至公元1573年）意大利数学家，在其着作《代数》中引进了虚数。

E．吉拉德（公元1593年至公元1632年）荷兰数学家在《代数新发现》中给出了着名的“代数基本定理”

F．韦达（公元1540年至公元1603年）法国数学家，是数学符号系统化的先驱和功臣。

他使用的代数符号的改进工作由笛卡儿完成。

如：

a，b，c表示已知量，x，y，z表示未知量。

在方程方面有着名的韦达定理（方程的根与系数的关系）。

⑵三角学的形成

在1450年前，三角学主要是球面三角学，15、16世纪，德国人开始对三角学作新的推进。

编制了正弦表，给出了三角函数关系，并采用了6个函数：

正弦、余弦、正切、余切、正割、余割。

产生了三角恒等式。

在16世纪三角学从天文学中分离出来，成为一个独立的数学分支。

⑶射影几何学

射影几何学源于绘画艺术中的透视学（法）。

研究射影几何学的数学家有：

A．德沙格（公元1591年至公元1661年）法国数学家，在其着作《试论锥面截一平面所得结果的初稿》中引入70多个射影几何术语，成为从数学上第一个解答透视法问题的人。

B．帕斯卡（公元1623年至公元1662年）法国数学家，在射影几何学方面的成就是帕斯卡定理：

圆锥曲线的内接六边形对边交点共线。

射影几何产生后不久，就让位于代数、解析几何和微积分。

⑷对数的发明

数值计算的需要导致了对数的发明。

纳皮尔（公元1550年至公元1617年）苏格兰数学家在球面天文学的三角学研究中首先发明对数方法的。

对数的发明大大减轻了计算工作量，很快风靡欧洲。

3．解析几何学的诞生

近代数学的本质上可以说是变量数学。

而变量数学的第一个里程碑是解析几何的发明。

最重要的前驱是法国数学家奥雷斯姆（公元1323年至公元1382年）。

但解析几何的真正发明要归功于法国数学家笛卡儿和费马。

⑴笛卡儿（公元1596年至公元1650年）1637年发表了着名的哲学着作《更好地指导推理和寻求科学真理的方法论》。

在这本书的附录《几何学》中，笛卡儿从一个着名的希腊数学问题～帕波斯问题出发，系统阐述了解析几何的理论，成为解析几何的发明人。

笛卡儿也是一位哲学家，他将其《方法论》作为发现真理的一般方法，称之为“通用数学”，并概述了这种通用数学的思路。

甚至提出一项计划：

任何问题→数学问题→代数问题→方程求解。

笛卡儿坚持用怀疑的态度进行科学研究。

他有一句哲学名言：

“我思故我在”。

⑵费马（公元1601年至公元1665年）1629年，在着作《论平面和立体的轨迹引论》一书中，清晰地阐述了他的解析几何原理。

并解析地定义了下面的曲线：

直线方程：

圆：

椭圆：

抛物线：

，

双曲线：

；

费马还定义了新曲线：

，

和

但是费马并没有说明他的解析几何思想是如何形成的。

4．微积分的创立及分析时代的成果

解析几何是代数与几何相结合的产物。

它将变量引进了数学，使运动与变化的定量表述成为可能，从而为微积分的创立打下了基础。

微积分发明之前，在科学研究上酝酿了近半个世纪，发生了许多重大事件：

1德国天文学家、数学家开普勒（公元1571年至公元1630年）在1615年论述了圆锥曲线围绕某直线旋转而成的立体体积的积分法。

1619年，公布了他的行星运动三大定律。

2意大利物理学家、数学家伽利略（公元1564年至公元1642年）在1638年建立了自由落体定律、动量定律。

3意大利数学家卡瓦列里（公元1598年至公元1647年）发展了系统的不可分量方法，即“卡瓦列里原理”。

P147。

4法国数学家笛卡儿（公元1596年至公元1650年）在《几何学》中提出了求切线的所谓“圆法”，这种方法本质上是一种代数方法。

在推动微积分的早期发展方面有很大的影响，牛顿正是以这种方法为起跑点而踏上研究微积分的道路的。

5法国数学家费马（公元1601年至公元1665年）的求极大值与极小值的方法也可以用来求曲线的切线。

6英国数学家巴罗（公元1630年至公元1677年）也给出了求曲线的切线的“微分三角形”法。

巴罗是牛顿的老师，一位剑桥大学的数学教授。

7英国数学家沃利斯（公元1616年至公元1703年）是最早将分析方法引入微积分的，具体体现在他的着作《无穷算术》中。

他在研究四分之一单位圆的面积时，得到了π的无穷乘积表达式。

这项工作直接引导牛顿发现了有理数幂的二项式定理。

P154页。

16世纪的数学家们的突出工作为微积分的发明铺平了道路。

时代的需要和个人的才识，使牛顿和莱布尼兹完成了微积分的创立中的最后也是最关键的一步。

⑴牛顿的“流数术”

牛顿（公元1642年至公元1727年）于1661年进入剑桥大学三一学院，受教于巴罗。

笛卡儿的《几何学》和沃利斯的《无穷算术》对于他的数学思想的形成影响最深。

正是这两部着作引导牛顿走上创立微积分之路的。

1664年，牛顿首创了小o记号表示x的无穷小且最终趋于零的增量。

1665年11月，发明了“正流数术”（微分法）。

1666年5月，又建立了“反流数术”（积分法）。

1666年10月，写出了历史上第一篇微积分论文《流数简论》。

但未发表。

到1693年，又先后写成了三篇微积分论文：

《运用无限多项方程的分析》（简称《分析学》1669年）；《流数法与无穷级数》（简称《流数法》1671年）；《曲线求积术》（《求积术》1691年）。

1687年出版的力学名着《自然哲学的数学原理》（简称《原理》）成为数学史上划时代的着作。

⑵莱布尼兹的微积分

莱布尼兹（公元1646年至公元1716年）德国数学家，早年在莱比锡大学学习法律，同时接触伽利略、开普勒、笛卡儿、帕斯卡和巴罗等人的数学思想。

1667年获阿尔特多夫大学法学博士学位。

1672年～1676年在巴黎任德国驻法国大使。

从1672年开始，莱布尼兹将他对数列的研究与微积分的运算联系起来。

用笛卡儿的解析几何研究曲线时，他发现：

求切线不过是求差，求积不过是求和。

他首先着眼于求和。

在1675年10月29日的一份手稿中，他首次用符号

表示sum。

11月11日的手稿中，又引进了记号

表示两相邻x的值的差，并寻找

运算和d运算的关系，并给出了幂函数的微分和积分的公式（P169页）。

1677年，他在一份手稿中明确陈述了微积分基本定理。

1684年莱布尼兹发表了他的第一篇微分学论文《一种求极大与极小值和求切线的新方法》（简称《新方法》）。

这是数学史上第一篇正式发表的微分学文献。

其中定义了微分并使用了微分记号

，

。

在《新方法》中，他陈述了1677年得到的函数和、差、积、商、乘幂与方根的微分公式（P171页）。

并包含了在求拐点以及光学等方面应用。

1686年莱布尼兹发表了他的第一篇积分学论文《深奥的几何学与不可分量及无限的分析》。

在这篇积分学论文中，积分号

第一次出现在印刷出版物上。

莱布尼兹还是二进制数制的发明人（1679年《二进制算术》）。

他也是制造计算机的先驱（1674年制成了第一台做四则运算的“算术计算机”）。

莱布尼兹也是行列式的发明人（1693年）（P173页）。

⑶分析时代的成果

微积分的创立，被誉为“人类精神的最高胜利”。

在数学史上，18世纪可以说是分析的时代，也是向现代数学过渡的重要时期。

①微积分的发展

在英国和欧洲大陆，对微积分的发展起重大作用的代表人物有：

泰勒（公元1685年至公元1731年）英国数学家，曾做过英国皇家学会的秘书，以泰勒公式的发现而着称。

麦克劳林（公元1698年至公元1746年）英国数学家，着有《流数论》。

棣莫弗（公元1707年至公元1730年）英国数学家，有着名的棣（di）莫弗公式：

（这个公式由欧拉明确地陈述）

上面的三位数学家都是牛顿微积分学说的维护者和继承者。

雅各布·伯努利（公元1654年至公元1705年）和约翰·伯努利（公元1667年至公元1748年）则是莱布尼兹微积分学说的维护者和继承者。

18世纪微积分最重大的进步是由欧拉作出的。

欧拉（公元1707年至公元1783年）瑞士数学家，13岁进入巴塞尔大学，受教于约翰·伯努利。

他的科学生涯是在俄国圣彼得堡科学院（公元1727年至公元1741年；公元1766年至公元1783年）和德国柏林科学院（公元1741年至公元1766年）度过的。

欧拉是历史上最多产的数学家。

他生前发表的着作与论文有560余种，死后留下了大量的手稿。

1911至今，瑞士自然科学协会出版了欧拉全集70多卷（计划84卷）。

欧拉在1748年出版的《无限小分析引论》，1755年发表的《微分学》和《积分学》（1768～1770）是微积分史上里程碑式的着作。

其中，他引进了一批标准的数学符号，如：

函数符号；

求和号；

自然对数底；

虚数单位

在18世纪推进微积分及其应用贡献卓着的欧陆数学家中，还有法国学派，代表人物有：

克莱洛（公元1713年至公元1765年）；

达朗贝尔（公元1717年至公元1783年）；

拉格朗日（公元1736年至公元1813年）；

蒙日（公元1746年至公元1818年）；

拉普拉斯（公元1749年至公元1827年）；

勒让德（公元1752年至公元1833年）。

这一时期，微积分的深入发展表现在以下几个主要方面：

A．积分技术与椭圆积分（不能用已知的初等函数表示）（法尼亚诺，欧拉，拉格朗日和勒让德及阿贝儿、雅可比）。

B．微积分向多元函数的推广

尼古拉·伯努利（公元1687年至公元1759年）证明了公式：

（

，

符号由雅可比创立）

C．无穷级数理论（P181～184页）

D．函数概念的深化

函数概念是莱布尼兹首先使用，最先将其公式化的是约翰·伯努利，而欧拉在《无限小分析引论》中明确宣布：

“数学分析是关于函数的科学”，并给出了函数的定义。

他还区分了代数函数和超越函数。

18世纪最重要的超越函数有

函数（名称和记号

是勒让德后来在1811年给出的）和

函数。

欧拉在1771年给出这两个函数之间的关系：

在18世纪，已有的初等函数被推广到复数领域。

欧拉在《无限小分析引论》中还发表了着名的公式：

E．微积分严格化的尝试

牛顿和莱布尼兹的微积分是不严格的（尤其是无限小概念）。

18世纪的数学家则力图以代数化的途径来克服微积分基础的困难，代表人物是达朗贝尔、欧拉和拉格朗日。

②微积分的应用和新分支的形成

18世纪的数学家们一方面努力探索使微积分严格化的基础，一方面大胆扩展微积分的应用范围，形成了一系列新的数学分支。

A．常微分方程

常微分方程是伴随着微积分一起发展起来的。

1690年雅各布·伯努利提出了有名的悬链线问题。

（P188页）

解一阶常微分方程

的所谓“积分因子法”，先后由欧拉和克莱洛提出。

欧拉在1743年给出了n阶常系数线性齐次方程的完整解法，并指出：

n阶方程的通解是其n个特解的线性组合。

他是最早区分“通解”与“特解”的数学家。

18世纪常微分方程求解的最高成就是拉格朗日在1774～1775年间用参数变易法解出了一般n阶变系数非齐次常微分方程。

B．偏微分方程

微积分对弦振动等力学问题的应用则引导到另一门新的数学分支----偏微分方程。

开始于达朗贝尔1747年发表的论文《张紧的弦振动时形成的曲线研究》，明确导出了弦的振动所满足的偏微分方程：

并给出了通解：

及初始条件

之后，欧拉在1749年也发表了《论弦的振动》。

18世纪的另一类偏微分方程是位势方程：

通称“拉普拉斯方程”

拉格朗日、拉普拉斯、勒让德并称为“巴黎三L”。

拉普拉斯有一句名言：

“我们知道的，是很微小的；我们不知道的，是无限的。

”

C．变分法

变分法起源于“最速降线”和其他一些类似的问题（P193页）。

这个问题最早由约翰·伯努利提出向其他数学家挑战。

牛顿给出了解答：

摆线。

变分法处理的是一个全新的课题。

变分的概念由拉格朗日首创，用记号

表示。

③18世纪的几何与代数

分析方法的应用开拓出一个崭新的几何分支-----微分几何。

A．微分几何的形成

欧拉是微分几何的重要奠基人。

他关于曲面论的经典工作《关于曲面上曲线的研究》（1760年）被认为是微分几何史上的一个里程碑。

18世纪微分几何的发展由于蒙日的工作而臻于高峰。

B．方程论及其他

18世纪代数学的主题仍然是代数方程。

这世纪的最后一年（1799年），年青的高斯公布了代数基本定理（n次代数方程恰有n个根）的第一个实质性证明。

瑞士数学家克拉默（公元1704年至公元1752年）在《代数曲线分析引论》（1750年）中提出了线性代数方程组解的表达式法则，即“克拉默法则”。

法国数学家范德蒙德（公元1735年至公元1796年）在1772年的研究中，使行列式成为独立的数学对象，因此被认为是行列式理论的奠基人。

欧拉在1737年证明了

是无理数。

兰伯特在1761年证明了

是无理数。

之后，数学家们将无理数区分为代数数和超越数。

1873年和1882年，法国数学家埃尔米特和德国数学家林德曼分别证明了

和

的超越性。

C．数论进展

近代意义的数论研究是从费马开始的。

他提出的一堆定理（猜想），让数学家们忙碌了好几个世纪。

如：

费马小定理；费马大定理等等。

18世纪的数论研究都和这些定理有关。

（P201～204页）。

不过，18世纪的数学家们也提出了自己的猜想，着名的有：

德国数学家哥德巴赫（公元1690年至公元1764年）猜想（1742年提出）。

英国数学家华林（公元1734年至公元1798年）猜想（1770年提出）。

其中，华林猜想1909年由希尔伯特首次证明，哥德巴赫猜想至今没有彻底解决。

18世纪的数论还有两个深刻的工作：

1737年，欧拉导出了恒等式：

其中s>1，n取遍所有的正整数，p取遍所有的素数。

欧拉利用这一恒等式证明了：

素数的个数是无穷的。

这个恒等式是解析数论的开端。

1743年，欧拉发现了二次互反律，从而开启了数论的一个新领域----代数数论。

5．代数学的发展与几何学的变革

从17世纪初开始，数学经历了近两个世纪的开拓，在18世纪末的时候，数学家们却普遍存在着一种悲观的情绪。

其原因是对于数学靠内在逻辑需要推动而发展的前景缺乏充分的预见。

19世纪，数学跨入了一个前所未有、突飞猛进的历史时期。

⑴群和伽罗瓦理论

对于5次及以上代数方程是否有根式解的问题，拉格朗日第一个给出了否定的回答，但没有给出证明。

1824年，22岁的挪威数学家阿贝尔（公元1802年至公元1829年）在论文《论代数方程，证明一般五次方程的不可解性》中给出完整的证明。

这里，他引入了“域（field）”的概念。

那么，有没有特殊的方程能够用根式来求解？

怎样判断？

1829年～1831年，法国数学家伽罗瓦（公元1811年至公元1832年）在几篇论文中，建立了判别方程根式可解的充分必要条件，从而彻底解决了经历了300年的世纪难题。

他的思想是将n次方程的n个根作为一个整体来考虑，并研究它们之间的排列或“置换”。

这些“置换”的全体构成一个集合，伽罗瓦称之为“群”，这是历史上最早的“群”的定义。

继而伽罗瓦理论形成。

代数学由于“群”的概念的引进和发展而获得了新生。

⑵布尔代数和代数数论

早在17世纪，莱布尼兹就想要发明一种通用的语言来指导推理。

他提出的逻辑数学化的思想在19世纪中后叶得以实现。

英国数学家布尔（公元1815年至公元1864年）的逻辑代数即“布尔代数”基本上完成了逻辑的演算工作。

他的思想集中在1847年发表的着作《逻辑的数学分析》和1854年出版的《思维规律研究》中。

1801年德国数学家高斯（公元1777年至公元1855年）发表了《算术研究》后，数论作为现代数学的一个重要分支得到了系统的发展。

在其中，他研究了同余理论，复整数理论和型的理论，并证明了二次互反律。

德国数学家库默尔（公元1810年至公元1893年）是在高斯之后对代数数论作出重要贡献的数学家。

他的工作与证明费马大定理有关，并在1844年～1847年间创立了理想数理论。

⑶非欧几何与射影几何

从公元前3世纪到18世纪末，数学家们一直对欧几里得几何学中的第五公设，即平行公设心存疑虑。

18世纪中叶开始，数学家们发展了这种平行公设在其中不成立的新几何，高斯称之为非欧几何。

对非欧几何的发明有影响的数学家有：

高斯、波约和罗巴切夫斯基。

随后，德国数学家黎曼（公元1826年至公元1866年）在1854年发展了非欧几何，建立了黎曼几何。

黎曼是最先理解非欧几何全部意义的数学家，也是现代数学史上最具创造性的数学家之一。

19世纪70年代以后，德国数学家克莱因、法国数学家庞加莱先后在欧几里得空间中给出了非欧几何的直观模型。

至此，非欧几何才真正获得了广泛的理解。

19世纪初，蒙日的《画法几何学》及其工作，重新刺激了射影几何的研究。

到1850年前后，数学家们对于射影几何与欧氏几何在一般概念与方法上已作出了区别。

19世纪中叶以后，通过否定欧氏几何中的部分公设或公理，产生了多种几何学（P242页）。

所以，寻找不同几何学之间的内在联系，用统一的观点来解释它们，便成为数学家们追求的目标。

首先提出统一几何学计划的是德国数学家克莱因（公元1849年至公元1925年）。

这种思想体现在1872年他的就职演讲《爱尔朗根纲领》中。

其次，希尔伯特（公元1862年至公元1943年）提出了统一几何学的途径-----公理化方法。

并在历史上第一次明确阐明了选择和组织公理系统的原则。

6．分析学及其严格化

⑴柯西与分析基础

19世纪分析严格化真正有影响的先驱是法国数学家柯西（公元1789年至公元1851年）。

柯西在其代表作《分析教程（1821年）、《无限小计算教程概论》中严格地定义了微积分的基本概念，如：

变量、函数、极限、连续性、导数、微分、收敛等等，（P248页）。

柯西的工作向分析的全面严格化迈出了关键一步。

他的研究结果一开始就引起了科学界的很大轰动。

然而，柯西的理论还只能说“比较严格”，人们不久便发现柯西的理论实际上也存在漏洞。

1861年德国数学家魏尔斯特拉斯（公元1815年至公元1897年）举出一个处处连续但却处处不可微的函数例子，使数学界大为震惊：

其中

是奇数，

为常数，使得

。

把分析建立在“纯粹算术”的基础上，导致了19世纪后半叶数学史上着名的“分析算术化”运动。

主角便是魏尔斯特拉斯。

他关于分析严格化的贡献使他获得了“现代分析之父”的称号。

（P253页）

⑵集合论的诞生

在分析的严格化过程中，康托尔发展了一般点集的理论。

（P255～258页）。

⑶复分析的建立与解析数论的形成

复分析真正作为现代分析的一个研究领域，是在19世纪建立起来的，而且通过柯西、黎曼和魏尔斯特拉斯三个人的工作而发展的。

柯西在1825年出版的《关于积分限为虚数的定积分的报告》可以看成是复分析发展史上的一个里程碑。

（P259页）

黎曼也以一篇关于复分析基础的论文在哥廷根大学获得博士学位。

在其中，他引入了一个全新的几何概念，即黎曼曲面。

魏尔斯特拉斯用幂级数表示已用解析形式给出的复函数。

在19世纪末，他的思想占据了主导地位，后来，柯西和黎曼的思想被融合在一起，其严密性也得到的改进，这样，上述三种传统便得到了统一。

19世纪，解析数论作为有意识地使用分析方法研究数论问题的一门分支是从狄利克雷开始的。

而使解析数论取得长足进展的重要因素是关于素数分布问题的研究。

欧拉、勒让德、高斯都曾推测：

（着名的素数定理）

表示不超过

素数的个数。

但都没有证明。

1896年，阿达玛应用整函数理论给出了证明，从此，解析数论开始得到迅速发展，并成为20世纪最为活跃的数论分支之一。

⑷数学物理与微分方程

自从牛顿时代起，物理问题就成为数学发展的一个重要源泉。

18世纪数学和物理的结合点主要是常微分方程，而随着物理学研究的现象从力学转到电磁学，到19世纪，偏微分方程的求解便成为数学家和物理学家关注的重心。

19世纪偏微分方程发展的序幕，是由法国数学家傅里叶（公元1768年至公元1830年）拉开的。

1822年他发表的《热的解析理论》是数学史上的经典文献之一。

傅里叶将区间

上的任何

表示为：

其系数由下式确定

≥1

这就是着名的傅里叶级数。

19世纪偏微分方程的另一个重要发展是围绕位势方程来进行的。

代表人物是英国数学家格林（公元1793年至公元1841年）。

格林是剑桥数学物理学派的开山鼻祖。

他培养了汤姆逊（公元1824年至公元1907年）、斯托克斯（公元1819年至公元1903年）、麦克斯韦（公元1831年至公元1879年）等数学物理学家。

1864年，麦克斯韦导出了电磁场方程（P266页），由此预言和证明了电磁波的存在。

求偏微分方程的显式解的努力往往归于失败，数学家们转而证明解的存在性。

柯西是讨论常、偏微分方程解的存在性的第一人。

19世纪常微分方程研究的另一个崭新方向----定性理论，则完全由法国数学家庞加莱（公元1854年至公元1912年）独创。