中考数学高分突破第三单元函数.docx
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中考数学高分突破第三单元函数
第三单元函数
第一课时平面直角坐标系与函数
第二课时一次函数及其应用
第三课时反比例函数及其应用
第四课时二次函数的图象与性质
第五课时二次函数的应用
第一课时平面直角坐标系与函数
考点1平面直角坐标系及点的坐标特征
1.有序实数对:
有顺序的两个数a与b组成的数对,叫做有序实数对,记作(a,b).在建立平面直角坐标系后,平面上的点与实数是一一对应的.
2.平面直角坐标系:
为了用有序
实数对表示平面内的一个点,需要
用两根互相垂直的数轴,一根叫横
轴(通常称为x轴),另一根叫纵
轴(通常称为y轴),它们的交点O
是这两根数轴的原点,横轴以向右
为正方向,纵轴以向上为正方向,横轴与纵轴的单位长度通常取成一致(有时也可以不一致),这样建立的两根数轴构成平面直角坐标系,记作Oxy,如图.
3.平面直角坐标系中点的坐标特征
归纳总结
◆象限角平分线上点的坐标特征:
第一、三象限的角的平分线上的点,横纵坐标相等;第二、四象限的角平分线上的点,横纵坐标互为相反数.
4.坐标系内点的平移与轴反射(轴对称)
考点2函数的相关概念
(1)变量:
某一变化过程中取值发生变化的量叫做变量.
(2)常量:
某一变化过程中取值固定不变的量叫做常量.
(3)函数:
在讨论的问题中,如果变量y随着变量x而变化,并且对于x取的每一值,y都有唯一的一个值与它对应,那么称y是x的函数,记作y=f(x).这时把x叫作自变量,把y叫做因变量.
(4)函数值:
对于自变量x取的每一个值a,因变量y的对应值称为函数值,记作f(a).
考点3自变量的取值范围(高频考点)
考点4函数的表示方法及其图象
1.函数的表示方法有列表法、图象法、解析法在解决一些与函数有关的问题时,有时可以同时用两种或两种以上的方法来表示函数.
2.函数图象的画法
一般来说,画函数图象采用的方法为描点法,步骤可以概括为列表、描、连线三步.
温馨提示
◆函数图象时,要注意自变量的取值范围,当图象有端点时,还要注意端点是否有等号,有等号画实心点,无等号画空心小圆圈.
3.分析函数图象判断结论正误
分清图象的横纵坐标代表的量及函数中自变量的取值范围,同时也要注意:
①分段函数要分段讨论;②转折点:
判断函数图象的斜率或增减性发生变化的关键点;③平行线:
函数值随自变量的增大而保持不变.再结合题干推导出实际问题的运动过程,从而判断结论的正误.
4.判断函数图象的方法
(1)判断符合实际问题的函数图象时,需遵循以下几点:
①找起点:
结合题干中所给自变量及因变量的取值范围,对应到图象中找相对应点;②找特殊点:
即指交点或转折点,说明图象在此点处将发生变化;③判断图象趋势:
判断出函数的增减性;④看是否与坐标轴相交:
即此时另外一个量为0.
(2)以几何图形中动点为背景判断函数图象的题目,一般的解题思路设时间为t(或路程为x),找因变量与t(或x)之间存在的函数关系,用含t(或x)的式子表示,再找相对应的函数图象,要注意的是是否需要分类讨论自变量的取值范围.
题型一坐标系中点坐标的特征
例1将点A(3,2)沿x轴向左平移4个单位长度得到点A′,点A′关于y轴对称的点的坐标是(C)
A.(-3,2)
B.(-1,2)
C.(1,2)
D.(1,-2)
【解析】把点A(3,2)沿x轴向左平移4个单位,得到点A′(-1,2),点A′关于y轴对称的点的坐标(1,2).
【归纳总结】坐标系中点平移,向右平移横坐标为加,向左平移横坐标为减.点关于什么轴对称,什么坐标不变,关于原点对称,横纵坐标都变号.
变式题1如图,若在象棋盘上建立直角坐标系,使“帅”位于点(-1,-2).“马”位于点(2,-2),则“兵”位于点()
A.(-1,1)B.(-2,-1)
C.(-3,1)D.(1,-2)
【解析】∵在象棋盘上建立直角坐标系,
使“帅”位于点(-1,-2),“马”位于点(2,-2),
∴可得出原点位置在棋子“炮”的位置,∴则“兵”位于点(-3,1).
题型二函数中自变量的取值范围
A.x>-1
B.x<-1
C.x≠-1
D.x≠0
【解析】由题意可知,函数的类型为分式型,故根据分式有意义的条件,要使分母不等于0,即x+1≠0,解得x≠-1.
【点评与拓展】本题考查了函数自变量的范围,一般从三个方面考虑:
(1)当函数表达式是整式时,自变量可取全体实数;
(2)当函数表达式是分式时,考虑分式的分母不能为0;(3)当函数表达式是二次根式时,被开方数是非负数.
题型三分析判断函数图象
例3如图,正方形ABCD的边长为4,P为正方形边上一动点,沿A→D→C→B→A的路径匀速移动,设P点经过的路径长为x,△APD的面积是y,则下列图象能大致反映y与x的函数关系的是()
【解析】当点P由点A向点D运动时,y的值为0;当点P在DC上运动时,y随着x的增大而增大;当点P在CB上运动时,y不变;当点P在BA上运动时,y随x的增大而减小.
【难点分析】此类问题首先根据动点的运动,分析出图象有几种情形,再利用各情形中变量之间的关系,列出解析式,或图象走势,进而结合图象得出结果.
变式题3 “国际攀岩比赛”中.小丽从家出发开车前去观看,途中发现忘了带门票,于是打电话让妈妈马上从家里送来,同时小丽也往回开,遇到妈妈后聊了一会儿,接着继续开车前往比赛现场.设小丽从家出发后所用时间为t,小丽与比赛现场的距离为s.下面能反映s与t的函数关系的大致图象是()
【解析】根据题意可得,s与t的函数关系的大致图象分为四段:
第一段,小丽从出发到往回开,与比赛现场的距离在减小,第二段,往回开到遇到妈妈,与比赛现场的距离在增大,第三段与妈妈聊了一会,与比赛现场的距离不变,第四段,接着开往比赛现场,与比赛现场的距离逐渐变小,直至为0.纵观各选项,只有B选项的图象符合.
第二课时一次函数及其应用
考点1一次函数及其图象性质
1.一次函数的概念
如果函数的解析式是自变量的一次式,那么这样的函数称为一次函数,它的一般形式是:
y=kx+b,其中k≠0.特别地,当b=0时,一次函数y=kx(k≠0)也叫做正比例函数.
2.一次函数的图象与性质
方法技巧
◆一次函数的图象与性质巧记口诀:
“一次函数是直线,图象经过三象限;正比例函数更简单,经过原点一直线;两个系数k与b,作用之大莫小看,k是斜率定夹角,b与y轴来相见,k为正来右上斜,x增减y增减;k为负来左下展,变化规律正相反;
◆由k的符号可得到函数图象的性质,反过来,由函数图象的性质,可以确定k的符号.
考点2一次函数解析式的确定
1.利用坐标确定一次函数解析式常用待定系数法法.
2.确定一次函数解析式的一般步骤:
(1)设出一次函数解析式y=kx+b;
(2)将x,y的对应值代入解析式y=kx+b,得到含有待定系数的方程或方程组;
(3)求待定系数k,b的值;
(4)将所求待定系数的值代入所设的函数解析式中即可得函数解析式.
3.一次函数的平移求解析式
一次函数y=kx+b的图象可以看作由直线y=kx平移
|b|个单位长度而得到(当b>0时,向上平移;当b<0时,向下平移).
温馨提示
已知直线l1:
y=k1x+b1和l2:
y=k2x+b2,若两直线l1∥l2,则有k1=k2;若l1⊥l2,则k1·k2=-1.
考点3一次函数与方程、不等式的关系
1.一次函数与方程的关系
(1)一次函数y=kx+b的解析式可转化为二元一次方程kx-y+b=0;
(2)一次函数y=kx+b的图象与x轴交点的横坐标是方程kx+b=0的解;
(3)一次函数y=kx+b与y=k1x+b1的图象交点的横、纵坐标值是方程组的解.
2.一次函数与不等式的关系
(1)函数y=kx+b的函数值y大于0时,自变量x的取值范围就是不等式kx+b>0的解集,即函数图象位于x轴的上方;
(2)函数y=kx+b的函数值y小于0时,自变量x的取值范围就是不等式kx+b<0的解集,即函数图象位于x轴的下方;
(3)当两个一次函数有交点时,联立两函数组成方程组,求出交点坐标,两个一次函数可将平面分成四部分,比较两函数交点处,左右两边函数增减来判断.
考点4一次函数的应用
1.利用一次函数的性质解决实际问题的步骤:
(1)设定实际问题中的变量;
(2)建立一次函数关系式;
(3)确定自变量的取值范围;
(4)利用函数的性质解决问题.
2.一次函数的应用有如下常用题型:
(1)根据实际问题中给出的数据列出相应的函数解析式,解决实际问题;
(2)利用一次函数对实际问题中的方案进行比较;
(3)结合函数图象解决实际问题
题型一一次函数的图象与性质
例1 若一次函数y=kx+b的函数值y随x的增大而减小,且图象与y轴的负半轴相交,那么对k和b的符号判断正确的是()
A.k>0,b>0 B.k>0,b<0
C.k<0,b>0D.k<0,b<0
【解析】先根据函数的增减性判断出k的符号,再根据图象与y轴的负半轴相交判断出b的符号.∵一次函数y=kx+b的函数值y随x的增大而减小,∴k<0;∵图象与y轴的负半轴相交,∴b<0.
【点评与拓展】一次函数y=kx+b的图象有四种情况:
①当k>0,b>0时,函数y=kx+b的图象经过第一、二、三象限,y随x的增大而增大;
②当k>0,b<0时,函数y=kx+b的图象经过第一、三、四象限,y随x的增大而增大;
③当k<0,b>0时,函数y=kx+b的图象经过第一、二、四象限,y随x的增大而减小;
④当k<0,b<0时,函数y=kx+b的图象经过第二、三、四象限,y随x的增大而减小.
变式题1 在一次函数y=kx+2中,若y随x的增大而增大,则它的图象不经过第象限.
【解析】∵在一次函数y=kx+2中,y随x的增大而增大,∴k>0,∵2>0,∴此函数的图象经过一、二、三象限,不经过第四象限.
题型二一次函数实际应用
例2 莲城超市以10元/件的价格调进一批
商品,根据前期销售情况,每天销售量y(件)
与该商品定价x(元)是一次函数关系,
如图所示.
(1)求销售量y与定价x之间的函数关系式;
(2)如果超市将该商品的销售价定为13元/件
,不考虑其他因素,求超市每天销售这种商品所获得的利润.
【思路分析】
(1)由图象可知y与x是一次函数关系,又由函数图象过点(11,10)和(15,2),则用待定系数法即可求得y与x的函数关系式;
(2)根据
(1)求出的函数关系式,再求出每件该商品的利润,即可求得超市每天销售这种商品所获得的利润.
【点评与拓展】解决此类问题,先由图象分析,找到直线上的两点,从而求得直线解析式,再根据图象与题意,将x或y的值代入解析式来求解.
变式题2某产品生产车间有工人10名.已知每名工人每天可生产甲种产品12个或乙种产品10个,且每生产一个甲种产品可获得利润100元,每生产一个乙种产品可获得利润180元.在这10名工人中,车间每天安排x名工人生产甲种产品,其余工人生产乙种产品.
(1)请写出此车间每天获取利润y(元)与x(人)之间的函数关系式;
(2)若要使此车间每天获取利润为14400元,要派多少名工人去生产甲种产品
【思路分析】
(1)根据每个工人每天生产的产品个数以及每个产品的利润,表示出总利润即可;
(2)根据每天获取利润为14400元,则y=14400,求出即可.
解:
(1)根据题意得出:
y=12x×100+10(10-x)×180
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