北京工业大学信号处理工程应用训练.docx

北京工业大学信号处理工程应用训练.docx

《北京工业大学信号处理工程应用训练.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《北京工业大学信号处理工程应用训练.docx（98页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

北京工业大学信号处理工程应用训练

北京工业大学

专业：

通信工程

学生姓名：

刘莹莹

指导教师：

席大林

完成时间：

2021年7月26日

通信系统工程应用训练报告

训练十一DFT性质研究

验证dft函数正确性

设置原始输入信号为x[8]={{1,0},{2,0},{3,0},{4,0},{5,0},{6,0},{7,0},{8,0}}，将输入信号x[8]进行DFT正变换，dft（X,x,8,1），输出保存在X[8]，如下：

可以看到，输入信号x（n）已经变换到频域X（k），且仍为8位。

再对X[8]进行DFT反变换，dft（x,X,8,-1），重新得到x[8]，观察得到的输出与原始输入数据是否相同。

结果如下：

可以看到，输出的x[8]取值仍为x[8]={{1,0},{2,0},{3,0},{4,0},{5,0},{6,0},{7,0},{8,0}}，证明经过DFT正反变换后，信号能够恢复原始信号。

根据帕塞瓦尔定理，应有时域、频域总能量相等：

。

经过计算，时域、频域能量和分别为

，证明时域、频域能量和相同，符合帕塞瓦尔定理。

综上，证明DFT变换正确。

A、补0效应研究

原数组：

x[8]={{1,0},{2,0},{3,0},{4,0},{5,0},{6,0},{7,},{8,0}}

例如程序中补0后数组为：

x2[16]={{1,0},{2,0},{3,0},{4,0},{5,0},{6,0},{7,0},{8,0},{0,0},{0,0},{0,0},{0,0},{0,0},{0,0},{0,0},{0,0}}

补0方式

我使用的补0方式为：

for（i=8;i<13;i++）x2[i]=COMPLEX（0,0）;

补0后数组为：

x2[13]={{1,0},{2,0},{3,0},{4,0},{5,0},{6,0},{7,0},{8,0},{0,0},{0,0},{0,0},{0,0},{0,0}}

结果分析与图

在时域中，信号长度增加，由于所增加的项均为零，波形仍与未补0时相同

未补零时的信号时域图

补5个零后的信号时域图补8个零后的信号时域图

经过DFT变换后，X（k）长度也会随着x（n）长度的增加而增加，且增加的值非零

未在末端补零时，信号频谱图

在末端补5个零时，信号频谱图在末端补8个零时，信号频谱图

可以看到，经过补0，经过DFT变换的频谱与未补零时形状根本相同，只是在长度上进行扩展，且补零数量越多，扩展越长。

可以理解为经过补0效应，增加了频域采样频率，但是由于信号未增加新的信息，因此不能提高物理分辨率。

在能量上，补5/8个零时，信号能量时域、频域能量和如下：

时域能量和、频域能量和始终相等，符合帕塞瓦尔定理，且能量与未插值时的相同。

B、插值效应研究

原数组：

x[8]={{1,0},{2,0},{3,0},{4,0},{5,0},{6,0},{7,},{8,0}}

例如程序中插值后数组为：

x3[16]={{1,0},{8,0},{2,0},{7,0},{3,0},{6,0},{4,0},{5,0},{5,0},{4,0},{6,0},{3,0},{7,0},{2,0},{8,0},{1,0}}

插值方式

我使用的插值方式为：

for（i=0;i<16;i=i+2）{x3[i]=COMPLEX（1+i/2,0）;x3[i+1]=COMPLEX（i*0.5+2.5,0）;}

插值后数组为：

x[16]={{1,0},{3,0},{2,0},{4,0},{3,0},{5,0},{4,0},{6,0},{5,0},{7,0},{6,0},{8,0},{7,0},{9,0},{8,0},{10,0}}

结果分析与图

（1）在例如程序中，在x[8]={{1,0},{2,0},{3,0},{4,0},{5,0},{6,0},{7,0},{8,0}}中反向插入原序列，使原序列变为x3[16]={{1,0},{8,0},{2,0},{7,0},{3,0},{6,0},{4,0},{5,0},{5,0},{4,0},{6,0},{3,0},{7,0},{2,0},{8,0},{1,0}}，再进行DFT变换，观察频谱，比照时域、频域能量和。

反向插值后，时域、频域图

可以看到，反向插值后，信号频谱有了很大的直流分量，且近乎左右对称。

从三维频谱图上可以看出，高频、低频局部实际上是共轭反对称：

反向插值后，三维频域图

。

符合帕塞瓦尔定理，且能量是未插值时的2倍。

（2）在x[8]={{1,0},{2,0},{3,0},{4,0},{5,0},{6,0},{7,0},{8,0}}中插入序列{{3,0},{4,0},{5,0},{6,0},{7,0},{8,0},{9,0},{10,0}}，使原序列变为x3[16]={{1,0},{3,0},{2,0},{4,0},{3,0},{5,0},{4,0},{6,0},{5,0},{7,0},{6,0},{8,0},{7,0},{9,0},{8,0},{10,0}}，再进行DFT变换，观察频谱，比照时域、频域能量和。

插值后，时域、频域图

可以看到，插值后，信号频谱有了很大的直流分量，且近乎左右对称。

，符合帕塞瓦尔定理。

（3）在x[8]={{1,0},{2,0},{3,0},{4,0},{5,0},{6,0},{7,0},{8,0}}中正向插入原序列，使原序列分别变为x2[16]={{1,0},{1,0},{2,0},{2,0},{3,0},{3,0},{4,0},{4,0},{5,0},{5,0},{6,0},{6,0},{7,0},{7,0},{8,0},{8,0}}，再进行DFT变换，观察频谱，比照时域、频域能量和。

正向插值后，时域、频域图

可以看到，正向插值后，信号频谱有了很大的直流分量，且近乎左右对称。

。

符合帕塞瓦尔定理，且能量是未插值时的2倍。

C、插0效应研究

原数组：

x[8]={{1,0},{2,0},{3,0},{4,0},{5,0},{6,0},{7,},{8,0}}

例如程序中插0后数组为：

x4[16]={{1,0},{0,0},{2,0},{0,0},{3,0},{0,0},{4,0},{0,0},{5,0},{0,0},{6,0},{0,0},{7,0},{0,0},{8,0},{0,0}}

插0方式

我使用的插0方式为：

for（i=0;i<16;i=i+3）{x4[i]=COMPLEX（1+i/2,0）;x4[i+1]=COMPLEX（2+i/2,0）;x4[i+2]=COMPLEX（0,0）;}

插0后数组为：

x4[12]={{1,0},{2,0},{0,0},{3,0},{4,0},{0,0},{5,0},{6,0},{0,0},{7,0},{8,0},{0,0}}

结果分析与图

（1）在例如程序中，在x[8]={{1,0},{2,0},{3,0},{4,0},{5,0},{6,0},{7,0},{8,0}}中，每隔一点，插入1个0值，使原序列分别变为x1[16]={{1,0},{0,0},{2,0},{0,0},{3,0},{0,0},{4,0},{0,0},{5,0},{0,0},{6,0},{0,0},{7,0},{0,0},{8,0},{0,0}}，再进行DFT变换，观察频谱，比照时域、频域能量和。

插0前，时域、频域图

插0后，时域、频域图

可以看到，插0后的频谱是对原始信号频谱的周期延拓。

画出三维图像，可以更直观地看出周期延拓关系：

未插入零/插入一个零后的三维频谱图

通过对插零后图像进行DFT运算，可以证明插零后的DFT是原信号DFT的周期延拓。

。

符合帕塞瓦尔定理，且能量与未插值时的相同。

（2）在x[8]={{1,0},{2,0},{3,0},{4,0},{5,0},{6,0},{7,0},{8,0}}中，每隔两点，插入1个0值，使原序列变为

x4[16]={{1,0},{2,0},{0,0},{3,0},{4,0},{0,0},{5,0},{6,0},{0,0},{7,0},{8,0},{0,0}}，再进行DFT变换，观察频谱，比照时域、频域能量和。

插0后，时域、频域图

符合帕塞瓦尔定理

源程序：

//11yy.cpp:

Definestheentrypointfortheconsoleapplication.

//

#include"stdafx.h"

#include"D:

\xhclgcyy\x_math.cpp"

#include"D:

\xhclgcyy\x_graph.cpp"

voidplotgri2（COLORREFgridcolor,COLORREFlinecolor,COMPLEXp[],intN）

{

inti;

HPENpen1=CreatePen（PS_SOLID,1,gridcolor）,oldpen=（HPEN）SelectObject（win3.hdc,pen1）;

HPENpen2=CreatePen（PS_SOLID,1,linecolor）;

for（i=0;i

SelectObject（win3.hdc,pen2）;

moveto2（0,p[0].r）;

for（i=0;i

SelectObject（win2.hdc,oldpen）;

DeleteObject（pen1）;

DeleteObject（pen2）;

}

voidplotgri3（COLORREFgridcolor,COLORREFlinecolor,COMPLEXp[],intN）

{

inti;

HPENpen1=CreatePen（PS_SOLID,1,gridcolor）,oldpen=（HPEN）SelectObject（win3.hdc,pen1）;

HPENpen2=CreatePen（PS_SOLID,1,linecolor）;

for（i=0;i

SelectObject（win3.hdc,pen2）;

moveto3（0,p[0].r,p[0].i）;

for（i=0;i

SelectObject（win2.hdc,oldpen）;

DeleteObject（pen1）;

DeleteObject（pen2）;

}

voidmain（）

{

inti;

doublesumT,sumF;

COMPLEXx[8],//{{1,0},{2,0},{3,0},{4,0},{5,0},{6,0},{7,},{8,0}}

X[8],

x2[13],//={{1,0},{2,0},{3,0},{4,0},{5,0},{6,0},{7,0},{8,0},{0,0},{0,0},{0,0},{0,0},{0,0}}

X2[16],

x3[16],//={{{1,0},{1,0},{2,0},{2,0},{3,0},{3,0},{4,0},{4,0},{5,0},{5,0},{6,0},{6,0},{7,0},{7,0},{8,0},{8,0}}}

X3[16],

x4[12],//={{1,0},{2,0},{0,0},{3,0},{4,0},{0,0},{5,0},{6,0},{0,0},{7,0},{8,0},{0,0}}

X4[16];

//给待变换的复数数组赋值：

for（i=0;i<8;i++）{x[i]=COMPLEX（i+1,0）;X[i]=COMPLEX（0,0）;}

for（i=0;i<8;i++）x2[i]=COMPLEX（i+1,0）;

for（i=8;i<13;i++）x2[i]=COMPLEX（0,0）;

for（i=0;i<16;i=i+2）{x3[i]=COMPLEX（1+i/2,0）;x3[i+1]=COMPLEX（1+i/2,0）;}

for（i=0;i<16;i=i+3）{x4[i]=COMPLEX（1+i/2,0）;x4[i+1]=COMPLEX（2+i/2,0）;x4[i+2]=COMPLEX（0,0）;}

//第1步：

验证dft函数正确性

dft（X,x,8,1）;

for（i=0;i<8;i++）printf（"X[%d]=%f+%f\n",i,X[i].r,X[i].i）;

getch（）;

dft（x,X,8,-1）;

for（i=0;i<8;i++）printf（"x[%d]=%f+%f\n",i,x[i].r,x[i].i）;

getch（）;

for（sumT=0,sumF=0,i=0;i<8;i++）{

sumT=sumT+x[i].r*x[i].r;

sumF=sumF+X[i].r*X[i].r+X[i].i*X[i].i;}

printf（"时域能量和=%f,频域能量和=%f\n",sumT,sumF/8.0）;

window2（"函数图形显示",-20,40,20,-20,"t","f（t）"）;

xy2（BLUE）;

plotgri2（BLUE,RED,X,8）;

getch（）;

frame2（win2.xstr,win2.ystr）;

xy2（BLUE）;

plotgri2（BLUE,RED,x,8）;

getch（）;

window3（"周期信号频谱图",-1,-12,-12,20,12,12,"N","r","i"）;

xyz3（BLUE）;

plotgri3（BLUE,RED,X,8）;

getch（）;

frame3（）;

xyz3（BLUE）;

plotgri3（BLUE,RED,x,8）;

getch（）;

//第2步：

补0效应

dft（X2,x2,13,1）;

for（i=0;i<13;i++）printf（"X2[%d]=%f+%f\n",i,X2[i].r,X2[i].i）;

getch（）;

dft（x2,X2,13,-1）;

for（i=0;i<13;i++）printf（"x2[%d]=%f+%f\n",i,x2[i].r,x2[i].i）;

getch（）;

for（sumT=0,sumF=0,i=0;i<13;i++）{

sumT=sumT+x2[i].r*x2[i].r;

sumF=sumF+X2[i].r*X2[i].r+X2[i].i*X2[i].i;}

printf（"时域能量和=%f,频域能量和=%f\n",sumT,sumF/16.0）;

window2（"函数图形显示",-20,40,20,-20,"t","f（t）"）;

xy2（BLUE）;

plotgri2（BLUE,RED,X2,13）;

getch（）;

frame2（win2.xstr,win2.ystr）;

xy2（BLUE）;

plotgri2（BLUE,RED,x2,13）;

getch（）;

window3（"周期信号频谱图",-1,-12,-12,20,12,12,"N","r","i"）;

xyz3（BLUE）;

plotgri3（BLUE,RED,X,13）;

getch（）;

frame3（）;

xyz3（BLUE）;

plotgri3（BLUE,RED,x,13）;

getch（）;

//第3步：

插值效应

dft（X3,x3,16,1）;

for（i=0;i<16;i++）printf（"X3[%d]=%f+%f\n",i,X3[i].r,X3[i].i）;

getch（）;

dft（x3,X3,16,-1）;

for（i=0;i<16;i++）printf（"x3[%d]=%f+%f\n",i,x3[i].r,x3[i].i）;

getch（）;

for（sumT=0,sumF=0,i=0;i<16;i++）{

sumT=sumT+x3[i].r*x3[i].r;

sumF=sumF+X3[i].r*X3[i].r+X3[i].i*X3[i].i;}

printf（"时域能量和=%f,频域能量和=%f\n",sumT,sumF/16.0）;

window2（"函数图形显示",-20,20,20,-20,"t","f（t）"）;

xy2（BLUE）;

plotgri2（BLUE,RED,X3,16）;

getch（）;

frame2（win2.xstr,win2.ystr）;

xy2（BLUE）;

plotgri2（BLUE,RED,x3,16）;

getch（）;

window3（"周期信号频谱图",-1,-12,-12,20,12,12,"N","r","i"）;

xyz3（BLUE）;

plotgri3（BLUE,RED,X3,16）;

getch（）;

frame3（）;

xyz3（BLUE）;

plotgri3（BLUE,RED,x3,16）;

getch（）;

//第4步：

插0效应

dft（X4,x4,12,1）;

for（i=0;i<12;i++）printf（"X4[%d]=%f+%f\n",i,X4[i].r,X4[i].i）;

getch（）;

dft（x4,X4,12,-1）;

for（i=0;i<12;i++）printf（"x4[%d]=%f+%f\n",i,x4[i].r,x4[i].i）;

getch（）;

for（sumT=0,sumF=0,i=0;i<12;i++）{

sumT=sumT+x4[i].r*x4[i].r;

sumF=sumF+X4[i].r*X4[i].r+X4[i].i*X4[i].i;}

printf（"时域总和=%f,频域总和=%f\n",sumT,sumF/12.0）;

window2（"函数图形显示",-20,40,20,-20,"t","f（t）"）;

xy2（BLUE）;

plotgri2（BLUE,RED,X4,12）;

getch（）;

frame2（win2.xstr,win2.ystr）;

xy2（BLUE）;

plotgri2（BLUE,RED,x4,12）;

getch（）;

window3（"周期信号频谱图",-1,-12,-12,20,12,12,"N","r","i"）;

xyz3（BLUE）;

plotgri3（BLUE,RED,X4,12）;

getch（）;

frame3（）;

xyz3（BLUE）;

plotgri3（BLUE,RED,x4,12）;

getch（）;

}

训练十二DFT及抽样定理研究

D、给定单频信号抽样

1.对给定信号x（t）=sin（2πfct）,fc==50,N=264进行抽样，抽样频率分布为100Hz，110Hz，200Hz，230Hz，250Hz

。

单频信号抽样示意图

关于能量泄露的问题：

1.计算时域能量、频域能量。

观察是否满足Et=Ef=2|X50|2/N，假设抽样频率正确，即无泄漏。

fs=110Hz

fs=200Hz

Fs=230Hz

fs=250Hz

抽样定理指出，假设信号x（t）的最高频率为fc,当抽样频率fs2fc时，可由抽样信号x（nTs）完全恢复原信号x（t）。

此题中，fs≥100Hz，符合采样定理条件。

但在fs=100Hz时，由于采样点均是原信号x（t）取值为0的点，导致采样信号值始终为0，所以时域能量、频域能量始终为0。

其他采样频率时，时域、频域能量始终相等，约为132，符合帕塞瓦尔定理。

实验结果：

抽样频率为110Hz，200Hz时，没有发生能量泄漏，抽样频率为230Hz，250Hz时，发生能量泄漏。

计算是否发生能量泄漏的依据是，计算频率为原信号频率fc=50Hz处的频谱能量，E=2|X50|2/N。

而经过长度为N的DFT变换，对应f=50Hz的k点的计算公式为k=N*fc/fs。

当抽样频率为110Hz和200Hz时，k分别等于120和66，因此只需计算第120点和第66点的能量，就可以计算X50处的能量，不会发生泄漏。

但当抽样频率为230Hz，250Hz时，k不能取到整数值，只能取到近似值，能量会泄漏到周围频率上，会产生能量泄漏，这种泄露是由于非整周期采样引起的。

2.对x（t）=sin（2πfct）,fc==50进行fs=250hz的抽样，然后分别进行250点的DFT和补零至256点的FFT，并计算时域能量、频域能量。

观察是否满足Et=Ef=2|X50|2/N，假设抽样频率正确，那么无泄漏。

250点DFT

256点FFT

由实验结果可知，经过DFT、FFT前后均符合帕塞瓦尔定理，即时域、频域能量一致，均为原始信号能量125。

但在用DFT计算X50处的能量时，计算结果与原始信号能量相同，即未发生能量泄漏；在用FFT计算X50处的能量时，计算结果低于原始信号能量，即发生了能量泄漏。

因为取f=50Hz所对应的k值时，k=N*fc/fs。

对250点DFT，k=250*50/250=50，计算k=50这点的能量即可；对256点FFT，k=256*50/250，不能取到整数，因此能量会泄漏到周围的频率区间，即发生能量泄漏。

250点DFT256点FFT

由图可知，DFT在f=50Hz（k=50）的能量即是频谱上的全部能量。

而FFT由于补零之后，k不能取到整数，能量一定会泄漏到周围的频率区间，f=50Hz的能量并不是频谱上的全部能量，而是有其他频率分量，所以只计算f=50Hz处的能量时，会低于频谱上的全部能量。

结论：

所以对于DFT，只要满足k=N*fc/fs可以取到整数，即可实现无能量泄漏。

对于FFT，因为需要补零，所以能量一定会泄漏。

E、画出单频信号抽样后的频谱图F、标出频谱图上的单频信号位置

Fs=110Hz未发生能量泄漏Fs=200Hz未发生能量泄漏

F=50Hz对应k=120F=50Hz对应k=66

fs=230Hz发生能量泄漏fs=250Hz发生能量泄漏

F=50Hz无法对应整数kF=50Hz无法对应整数k

对X（k）信号进行反变换，再次得到x（n），与原始信号相比照，发现无论这五种抽样频率下，均能恢复原始信号。

说明采样频率fs大于信号最高频率fc时，能不失真地恢复原信号，符合帕塞瓦尔定理。

源程序：

//12yy.cpp:

Definestheentrypointfortheconsoleapplication.

//

#include"stdafx.h"

#include"D:

\xhclgcyy\x_math.cpp"

#include"D:

\xhclgcyy\x_graph.cpp"

COMPLEXx[264],Y[264],X50,X[264],x1[264];//{{1,0},{2,0},{3,0},{4,0},{5,0},{6,0},{7,},{8,0}},X[]做完DFT之后的,Y[]是取模之后的DFT,x1[]为反DFT

voidplotgri2（COLORREFgridcolor,C