完整版成都中考A卷20题圆试题精选.docx
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完整版成都中考A卷20题圆试题精选
成都中考A卷20题圆试题优选
考试范围:
圆综合;考试时间:
100分钟;命题人:
数学备课组
学校:
___________姓名:
___________班级:
___________考号:
___________
一.解答题(共13小题)
1.如图,△ABC内接于⊙O,AD⊥BC,OE⊥BC,OE=BC.
(1)求∠BAC的度数;
(2)将△ACD沿AC折叠为△ACF,将△ABD沿AB折叠为△ABG,延伸FC和GB
订交于点H;求证:
四边形AFHG是正方形;
(3)若BD=6,CD=4,求AD的长.
2.如图,在锐角△ABC中,AC是最短边;以AC中点O为圆心,AC长为半径作⊙O,交BC于E,过O作OD∥BC交⊙O于D,连结AE、AD、DC.
(1)求证:
D是的中点;
(2)求证:
∠DAO=∠B+∠BAD;
(3)若,且AC=4,求CF的长.
第1页(共32页)
3.已知:
如图.△ABC内接于⊙O,AB为直径,∠CBA的均分线交AC于点F,
交⊙O于点D,DE⊥AB于点E,且交AC于点P,连结AD.
(1)求证:
∠DAC=∠DBA;
(2)求证:
P是线段AF的中点;
(3)若⊙O的半径为5,AF=,求tan∠ABF的值.
4.已知,如图,AB是⊙O的直径,C是⊙O上一点,连结AC,过点C作直线CD⊥AB于D(AD<DB),点E是DB上随意一点(点D、B除外),直线CE交⊙O于点F,连结AF与直线CD交于点G.
(1)求证:
AC2=AG?
AF;
(2)若点E是AD(点A除外)上随意一点,上述结论能否仍旧建立?
若建立,请画出图形并赐予证明;若不建立,请说明原因.
第2页(共32页)
5.如图,AB是半圆O的直径,AB=2.射线AM、BN为半圆O的切线.在AM上取一点D,连结BD交半圆于点C,连结AC.过O点作BC的垂线OE,垂足为点E,与BN订交于点F.过D点作半圆O的切线DP,切点为P,与BN相
交于点Q.
(1)求证:
△ABC∽△OFB;
(2)当△ABD与△BFO的面枳相等时,求BQ的长;
(3)求证:
当D在AM上挪动时(A点除外),点Q一直是线段BF的中点.
6.如图,已知⊙O1与⊙O2都过点A,AO1是⊙O2的切线,⊙O1交O1O2于点B,连结AB并延伸交⊙O2于点C,连结O2C.
(1)求证:
O2C⊥O1O2;
(2)证明:
AB?
BC=2OB?
BO1;
(3)假如AB?
BC=12,O2C=4,求AO1的长.
第3页(共32页)
7.如图,△ABC内接于⊙O,AB是⊙O的直径,PA是过A点的直线,∠PAC=∠
B,
(1)求证:
PA是⊙O的切线;
(2)假如弦CD交AB于E,CD的延伸线交PA于F,AC=8,CE:
ED=6:
5,AE:
EB=2:
3,求AB的长和∠ECB的正切值.
8.如图,PB为⊙O的切线,B为切点,直线PO交⊙于点E、F,过点B作PO的垂线BA,垂足为点D,交⊙O于点A,延伸AO与⊙O交于点C,连结BC,
AF.
(1)求证:
直线PA为⊙O的切线;
(2)尝试究线段EF、OD、OP之间的等量关系,并加以证明;
(3)若BC=6,tan∠F=,求cos∠ACB的值和线段PE的长.
第4页(共32页)
9.如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB与点E,点P在⊙O上,∠1=∠C,
(1)求证:
CB∥PD;
(2)若BC=3,sin∠P=,求⊙O的直径.
10.如下图,圆O是△ABC的外接圆,∠BAC与∠ABC的均分线订交于点I,延伸AI交圆O于点D,连结BD、DC.
(1)求证:
BD=DC=DI;
(2)若圆O的半径为10cm,∠BAC=120°,求△BDC的面积.
第5页(共32页)
11.如图1,等腰直角三角形ABC的腰长是2,∠ABC=90度.以AB为直径作半
圆O,M是BC上一动点(不运动至B、C两点),过点M引半圆为O的切线,切点是P,过点A作AB的垂线AN,交切线MP于点N,AC与ON、MN分别交于点E、F.
(1)证明:
△MON是直角三角形;
(2)当BM=时,求的值(结果不取近似值);
(3)当BM=时(图2),判断△AEO与△CMF能否相像?
假如相像,请证明;假如不相像,请说明原因.
12.如图,AB是⊙O的弦,D为OA半径的中点,过D作CD⊥OA交弦AB于点E,交⊙O于点F,且CE=CB.
(1)求证:
BC是⊙O的切线;
(2)连结AF、BF,求∠ABF的度数;
(3)假如BE=10,sinA=,求⊙O的半径.
第6页(共32页)
13.如图,AB是⊙O的直径,BC是⊙O的弦,⊙O的割线PDE垂直AB于点F,
交BC于点G,连结PC,∠BAC=∠BCP,求解以下问题:
(1)求证:
CP是⊙O的切线.
(2)当∠ABC=30°,BG=,CG=时,求以PD、PE的长为两根的一元二次
方程.
(3)若
(1)的条件不变,当点C在劣弧AD上运动时,应再具备什么条件可使结论BG2=BF?
BO建立?
试写出你的猜想,并说明原因.
第7页(共32页)
参照答案与试题分析
一.解答题(共13小题)
1.如图,△ABC内接于⊙O,AD⊥BC,OE⊥BC,OE=BC.
(1)求∠BAC的度数;
(2)将△ACD沿AC折叠为△ACF,将△ABD沿AB折叠为△ABG,延伸FC和GB
订交于点H;求证:
四边形AFHG是正方形;
(3)若BD=6,CD=4,求AD的长.
【剖析】
(1)连结OB、OC,由垂径定理知E是BC的中点,而OE=BC,可判断
△BOC是直角三角形,则∠BOC=90°,依据同弧所对的圆周角和圆心角的关系即可求得∠BAC的度数;
(2)由折叠的性质可获得的条件是:
①AG=AD=AF,②∠GAF=∠GAD+∠DAF=2
∠BAC=90°,且∠G=∠F=90°;由②可判断四边形AGHF是矩形,联立①的结论可证得四边形AGHF是正方形;
(3)设AD=x,由折叠的性质可得:
AD=AF=x(即正方形的边长为x),BG=BD=6,
CF=CD=4;从而可用x表示出BH、HC的长,即可在Rt△BHC中,由勾股定理
求得AD的长.
【解答】
(1)解:
连结OB和OC;
∵OE⊥BC,∴BE=CE;
∵OE=BC,
第8页(共32页)
∴∠BOC=90°,
∴∠BAC=45°;
(2)证明:
∵AD⊥BC,
∴∠ADB=∠ADC=90°;
由折叠可知,AG=AF=AD,∠AGH=∠AFH=90°,∠BAG=∠BAD,∠CAF=∠CAD,
∴∠BAG+∠CAF=∠BAD+∠CAD=∠BAC=45°;∴∠GAF=∠BAG+∠CAF+∠BAC=90°;∴四边形AFHG是正方形;
(3)解:
由
(2)得,∠BHC=90°,GH=HF=AD,GB=BD=6,CF=CD=4;设AD的长为x,则BH=GH﹣GB=x﹣6,CH=HF﹣CF=x﹣4.
在Rt△BCH中,BH2+CH22,=BC
∴(x﹣6)2+(x﹣4)2=102;
解得,x1=12,x2=﹣2(不合题意,舍去);
∴AD=12.
【评论】本题主要考察了垂径定理、勾股定理、正方形的判断和性质以及图形的翻折变换等知识,能够依据折叠的性质获得与所求有关的相等角和相等边是解答本题的重点.
2.如图,在锐角△ABC中,AC是最短边;以AC中点O为圆心,AC长为半径
作⊙O,交BC于E,过O作OD∥BC交⊙O于D,连结AE、AD、DC.
(1)求证:
D是的中点;
第9页(共32页)
(2)求证:
∠DAO=∠B+∠BAD;
(3)若,且AC=4,求CF的长.
【剖析】
(1)由AC是⊙O的直径,即可求得OD∥BC,又由AE⊥OD,即可证得D是的中点;
(2)第一延伸OD交AB于G,则OG∥BC,可得OA=OD,依据等腰三角形的性质,即可求得∠DAO=∠B+∠BAD;
(3)由AO=OC,S△OCD=S△ACD,即可得,又由△ACD∽△FCE,依据相
似三角形的面积比等于相像比的平方,即可求得CF的长.
【解答】
(1)证明:
∵AC是⊙O的直径,
∴∠AEC=90°,
∴AE⊥BC,∵OD∥BC,
∴AE⊥OD,
∴D是的中点;
(2)证明:
方法一:
如图,延伸OD交AB于G,则OG∥BC,
∴∠AGD=∠B,
∵∠ADO=∠BAD+∠AGD,
又∵OA=OD,
∴∠DAO=∠ADO,
∴∠DAO=∠B+∠BAD;
第10页(共32页)
方法二:
如图,延伸AD交BC于H,
则∠ADO=∠AHC,
∵∠AHC=∠B+∠BAD,
∴∠ADO=∠B+∠BAD,
又∵OA=OD,
∴∠DAO=∠B+∠BAD;
(3)解:
∵AO=OC,
∴S△OCD=S△ACD,
∵,
∴,
∵∠ACD=∠FCE,∠ADC=∠FEC=90°,
∴△ACD∽△FCE,
∴,
即:
,
∴CF=2.
【评论】本题考察了垂径定理,平行线的性质以及相像三角形的判断与性质等知
识.本题综合性较强,难度适中,解题的重点是数形联合思想的应用.
3.已知:
如图.△ABC内接于⊙O,AB为直径,∠CBA的均分线交AC于点F,
交⊙O于点D,DE⊥AB于点E,且交AC于点P,连结AD.
第11页(共32页)
(1)求证:
∠DAC=∠DBA;
(2)求证:
P是线段AF的中点;
(3)若⊙O的半径为5,AF=,求tan∠ABF的值.
【剖析】
(1)依据圆周角定理得出∠DAC=∠CBD,以及∠CBD=∠DBA得出答案即可;
(2)第一得出∠ADB=90,再依据∠DFA+∠DAC=∠ADE+∠PDF=90°,且∠ADB=90°得出∠PDF=∠PFD,从而得出PA=PF;
(3)利用相像三角形的判断得出△FDA∽△ADB即可得出答案.
【解答】
(1)证明:
∵BD均分∠CBA,
∴∠CBD=∠DBA,
∵∠DAC与∠CBD都是弧CD所对的圆周角,
∴∠DAC=∠CBD,
∴∠DAC=∠DBA;
(2)证明:
∵AB为直径,∴∠ADB=90°,
∵DE⊥AB于E,∴∠DEB=90°,
∴∠ADE+∠EDB=∠ABD+∠EDB=90°,
∴∠ADE=∠ABD=∠DAP,
∴PD=PA,
∵∠DFA+∠DAC=∠ADE+∠PDF=90°,且∠ADB=90°,
∴∠PDF=∠PFD,
∴PD=PF,
第12页(共32页)
∴PA=PF,
即:
P是AF的中点;
(3)解:
∵∠DAF=∠DBA,∠ADB=∠FDA=90°,∴△FDA∽△ADB,
∴=,
由题意可知圆的半径为5,
∴AB=10,
∴===,
∴在Rt△ABD中,tan∠ABD==,
即:
tan∠ABF=.
【评论】本题主要考察了相像三角形的判断以及圆周角定理和等腰三角形的性
质,依据证明PD=PA以及PD=PF,得出答案是解决问题的重点.
4.已知,如图,AB是⊙O的直径,C是⊙O上一点,连结AC,过点C作直线
CD⊥AB于D(AD<DB),点E是DB上随意一点(点D、B除外),直线CE交
⊙O于点F,连结AF与直线CD交于点G.
(1)求证:
AC2=AG?
AF;
(2)若点E是AD(点A除外)上随意一点,上述结论能否仍旧建立?
若建立,请画出图形并赐予证明;若不建立,请说明原因.
【剖析】
(1)欲证AC2=AG?
AF,即证AC:
AG=AF:
AC,能够经过证明△AGC∽△
ACF获得.
(2)分清E点在AD上有两种状况,而后逐个证明.【解答】
(1)证明:
连结CB,
第13页(共32页)
∵AB是直径,CD⊥AB,
∴∠ACB=∠ADC=90°,又∠CAD=∠BAC,
∴△CAD∽△BAC,
∴∠ACD=∠ABC,
∵∠ABC=∠AFC,
∴∠ACD=∠AFC,∠CAG=∠FAC,
∴△ACG∽△AFC,
∴,
∴2
AC=AG?
AF;
(2)解:
当点E是AD(点A除外)上随意一点,上述结论仍建立①当点E与点D重合时,F与G重合,如下图:
有AG=AF,∵CD⊥AB,
∴,AC=AF,
∴2
AC=AG?
AF
②当点E与点D不重合时(不含点A)时,如下图:
证明近似
(1).
第14页(共32页)
【评论】考察相像三角形的判断方法及圆周角定理的综合运用.
5.如图,AB是半圆O的直径,AB=2.射线AM、BN为半圆O的切线.在AM上取一点D,连结BD交半圆于点C,连结AC.过O点作BC的垂线OE,垂足为点E,与BN订交于点F.过D点作半圆O的切线DP,切点为P,与BN订交于点Q.
(1)求证:
△ABC∽△OFB;
(2)当△ABD与△BFO的面枳相等时,求BQ的长;
(3)求证:
当D在AM上挪动时(A点除外),点Q一直是线段BF的中点.
【剖析】
(1)依据OE∥AC,得出∠BAC=∠FOB,从而得出∠BCA=∠FBO=90°,从
而证明结论;
(2)依据△ACB∽△OBF得出△ABD∽△BFO,从而得出DQ∥AB,即可得出BQ=AD;
(3)第一得出AD=DP,QB=BQ,从而得出DQ2=QK2+DK2,得出BF=2BQ,即可得出Q为BF的中点.
【解答】
(1)证明:
∵AB为直径,
∴∠ACB=90°,即:
AC⊥BC,
又OE⊥BC,∴OE∥AC,
∴∠BAC=∠FOB,
∵BN是半圆的切线,
第15页(共32页)
∴∠BCA=∠FBO=90°,
∴△ABC∽△OFB.
(2)解:
连结OP,
由△ACB∽△OBF得,∠OFB=∠DBA,∠BCA=∠FBO=90°,
∵AM、BN是⊙O的切线,∴∠DAB=∠OBF=90°,∴△ABD∽△BFO,
∴当△ABD与△BFO的面积相等时,△ABD≌△BFO,
∴AD=OB=1,
∵DP切圆O,DA切圆O,∴DP=DA,
∵△ABD≌△BFO,∴DA=BO=PO=DP,
又∵∠DAO=∠DPO=90°,
∴四边形AOPD是正方形,
∴DQ∥AB,
∴四边形ABQD是矩形,
∴BQ=AD=1;
(3)证明:
由
(2)知,△ABD∽△BFO,∴=,
∴BF===,
∵DP是半圆O的切线,射线AM、BN为半圆O的切线,∴AD=DP,QB=QP,
过Q点作AM的垂线QK,垂足为K,在Rt△DQK中,
DQ2=QK2+DK2,
∴(AD+BQ)2=(AD﹣BQ)2+22.
第16页(共32页)
∴BQ=,
∴BF=2BQ,
∴Q为BF的中点.
【评论】本题主要考察了切线的性质以及全等三角形的判断和相像三角形的判断
等知识,娴熟利用相像三角形的判断是解决问题的重点.
6.如图,已知⊙O1与⊙O2都过点A,AO1是⊙O2的切线,⊙O1交O1O2于点B,连结AB并延伸交⊙O2于点C,连结O2C.
(1)求证:
O2C⊥O1O2;
(2)证明:
AB?
BC=2OB?
BO1;
(3)假如AB?
BC=12,O2C=4,求AO1的长.
【剖析】
(1)⊙O1与⊙O2都过点A,AO1是⊙O2的切线,可证O1A⊥AO2,又
O2A=O2C,O1A=O1B可证O2C⊥O2B,故可证.
(2)延伸O2O1交⊙O1于点D连结AD,可证∠BAD=∠BO2C,又因为∠ABD=∠
O2BC,三角形相像,从而证明出结论.
(3)由
(2)证可知∠D=∠C=∠O2AB,即∠D=∠O2AB,又∠AO2B=∠DO2A,三角形相像,列出比率式,从而求出AO1的长.
【解答】
(1)证明:
∵O1A为⊙O2的切线,
∴∠O1AB+∠BAO2=90°,
又∵AO2=O2C,
第17页(共32页)
∴∠BAO2=∠C,
又∵AO1=BO1,
∴∠O1AB=∠ABO1=∠CBO2,
∴∠CBO2+∠C=90°,
∴∠BO2C=90°,
∴O2C⊥O1O2;
(2)证明:
延伸O2O1交⊙O1于点D,连结AD.∵BD是⊙O1直径,
∴∠BAD=90°.
又由
(1)可知∠BO2C=90°,∴∠BAD=∠BO2C,
又∵∠ABD=∠O2BC,∴△O2BC∽△ABD,
,
∴AB?
BC=O2B?
BD,又∵BD=2BO1,
∴AB?
BC=2OB?
BO1.
(3)解:
由
(2)证可知∠D=∠C=∠O2AB,即∠D=∠O2AB,
又∵∠AO2B=∠DO2A,∴△AO2B∽△DO2A,
,
∴(AO2)2=O2B?
O2D,
∵O2C=O2A,
∴(O2C)2=O2B?
O2D①,
又由
(2)AB?
BC=O2B?
BD②,
由①﹣②得O2C2﹣AB?
BC=O2B2即42﹣12=O2B2,
第18页(共32页)
∴O2B=2,
又∵O2B?
BD=AB?
BC=12,
∴BD=6,
∴2AO1=BD=6,
∴AO1=3.
【评论】本题主要考察切线的性质和相像三角形的判断,本题比较繁琐,做题时
应当仔细.
7.如图,△ABC内接于⊙O,AB是⊙O的直径,PA是过A点的直线,∠PAC=∠B,
(1)求证:
PA是⊙O的切线;
(2)假如弦CD交AB于E,CD的延伸线交PA于F,AC=8,CE:
ED=6:
5,AE:
EB=2:
3,求AB的长和∠ECB的正切值.
【剖析】
(1)要证PA是⊙O的切线,只需证∠PAO=90°即可,因为AB为直径,
所以有∠CAB+∠CBA=90°,又∠PAC=∠B,所以∠CAB+∠PAC=90°即PA是⊙O
的切线.
(2)连结AD、BD;可设CE=6x,AE=2y,从而依据已知条件,用x、y表示出DE、
BE的长,由订交弦定理,即可求得x、y的比率关系;易证得△AEC∽△BED,
依据所得成比率线段,即可求得BD的长,同理可设BC=m,由△BEC∽△DEA,求得AD的表达式;在Rt△ADB和Rt△ACB中,可由勾股定理分别表示出AB2,即可获得对于m的方程,从而求出m的值,即BC的长,即可由勾股定理求
第19页(共32页)
得AB的长;
依据圆周角定理知:
∠ECB=∠DAB,所以只需在Rt△ABD中,求出∠DAB的正切
值即可.
【解答】
(1)证明:
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ACB=90°;
∴∠CAB+∠CBA=90°;
又∠PAC=∠B,
∴∠CAB+∠PAC=90°;
∴∠PAB=90°;
即PA是⊙O的切线.
(2)解:
设CE=6x,AE=2y,则DE=5x,BE=3y;
由订交弦定理,得:
AE?
EB=CE?
DE,即:
2y?
3y=5x?
6x,解得:
x=y;
∵∠ACD=∠ABD,∠AEC=∠DEB,
∴△AEC∽△DEB,则有:
;
∵AE=2y=2x,DE=5x,
∴,因为AC=8,则BD=4;
设BC=m,同理可求得AD=m;
∵AB是直径,∴△ACB、△ADB是直角三角形;由勾股定理,得:
AB2=AC2+BC2=AD2+BD2,即:
82+m2=(m)2+(4)2,解得m=6;
故BC=6,AD=2;
∴AB==10,tan∠ECB=tan∠DAB==2.
第20页(共32页)
【评论】本题考察了切线的判断、勾股定理、圆周角定理以及相像三角形的判断
和性质等重要知识;本题的难点在于
(2)题,经过两步相像来求得BD的长
以及AD、BC的比率关系,是解答本题的重点.
8.如图,PB为⊙O的切线,B为切点,直线PO交⊙于点E、F,过点B作PO的垂线BA,垂足为点D,交⊙O于点A,延伸AO与⊙O交于点C,连结BC,
AF.
(1)求证:
直线PA为⊙O的切线;
(2)尝试究线段EF、OD、OP之间的等量关系,并加以证明;
(3)若BC=6,tan∠F=,求cos∠ACB的值和线段PE的长.
【剖析】
(1)连结OB,依据垂径定理的知识,得出OA=OB,∠POA=∠POB,既而证明△PAO≌△PBO,而后利用全等三角形的性质联合切线的判断定理即可得出结论.
(2)先证明△OAD∽△OPA,利用相像三角形的性质得出OA与OD、OP的关系,而后将EF=20A代入关系式即可.
(3)依
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