普通高等学校招生全国统一考试广东卷文数A 解析版.docx
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普通高等学校招生全国统一考试广东卷文数A解析版
2013年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)
数学(文科A卷)解析
本试卷共4页,21小题,满分150分.考试用时120分钟.
锥体的体积公式:
.其中S表示锥体的底面积,h表示锥体的高.
一、选择题:
本大题共10小题,每小题5分,满分50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.设集合,,则
A.B.C.D.
【解析】:
先解两个一元二次方程,再取交集,选A,5分到手,妙!
2.函数的定义域是
A.B.C.D.
【解析】:
对数真数大于零,分母不等于零,目测C!
3.若,,则复数的模是
A.2B.3C.4D.5
【解析】:
复数的运算、复数相等,目测,模为5,选D.
4.已知,那么
A.B.C.D.
【解析】:
考查三角函数诱导公式,,选C.
5.执行如图1所示的程序框图,若输入的值为3,则输出的值是
A.1B.2C.4D.7
【解析】选C.本题只需细心按程序框图运行一下即可.
6.某三棱锥的三视图如图2所示,则该三棱锥的体积是
A.B.C.D.
【解析】由三视图判断底面为等腰直角三角形,三棱锥的高为2,则,选B.
7.垂直于直线且与圆相切于第一象限的直线方程是
A.B.
C.D.
【解析】本题考查直线与圆的位置关系,直接由选项判断很快,圆心到直线的距离等于,排除B、C;相切于第一象限排除D,选A.直接法可设所求的直线方程为:
,再利用圆心到直线的距离等于,求得.
8.设为直线,是两个不同的平面,下列命题中正确的是
A.若,,则B.若,,则
C.若,,则D.若,,则
【解析】基础题,在脑海里把线面可能性一想,就知道选B了.
9.已知中心在原点的椭圆C的右焦点为,离心率等于,则C的方程是
A.B.C.D.
【解析】基础题,,选D.
10.设是已知的平面向量且,关于向量的分解,有如下四个命题:
①给定向量,总存在向量,使;
②给定向量和,总存在实数和,使;
③给定单位向量和正数,总存在单位向量和实数,使;
④给定正数和,总存在单位向量和单位向量,使;
上述命题中的向量,和在同一平面内且两两不共线,则真命题的个数是
A.1B.2C.3D.4
【解析】本题是选择题中的压轴题,主要考查平面向量的基本定理和向量加法的三角形法则.
利用向量加法的三角形法则,易的①是对的;利用平面向量的基本定理,易的②是对的;以的终点作长度为的圆,这个圆必须和向量有交点,这个不一定能满足,③是错的;利用向量加法的三角形法则,结合三角形两边的和大于第三边,即必须,所以④是假命题.综上,本题选B.平面向量的基本定理考前还强调过,不懂学生做得如何.
【品味选择题】文科选择题答案:
ACDCCBABDB.选择题3322再次出现!
今年的选择题很基础,希望以后高考年年出基础题!
二、填空题:
本大题共5小题.考生作答4小题.每小题5分,满分20分.
(一)必做题(11~13题)
11.设数列是首项为,公比为的等比数列,则
【解析】这题相当于直接给出答案了
12.若曲线在点处的切线平行于轴,则.
【解析】本题考查切线方程、方程的思想.依题意
13.已知变量满足约束条件,则的最大值是.
【解析】画出可行域如图,最优解为,故填5;
(二)选做题(14、15题,考生只能从中选做一题)
14.(坐标系与参数方程选做题)
已知曲线的极坐标方程为.以极点为原点,极轴为轴的正半轴建立直角坐标系,则曲线的参数方程为.
【解析】本题考了备考弱点.讲参数方程的时候,参数的意义要理解清楚.先化成直角坐标方程,易的则曲线C的参数方程为(为参数)
15.(几何证明选讲选做题)
如图3,在矩形中,,,垂足为,则.
【解析】本题对数值要敏感,由,可知
从而,
.
【品味填空题】选做题还是难了点,比理科还难些.
三、解答题:
本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
16.(本小题满分12分)
已知函数.
(1)求的值;
(2)若,求.
【解析】
(1)
(2),,
.
【解析】这个题实在是太简单,两角差的余弦公式不要记错了.
17.(本小题满分13分)
从一批苹果中,随机抽取50个,其重量(单位:
克)的频数分布表如下:
分组(重量)
频数(个)
5
10
20
15
(1)根据频数分布表计算苹果的重量在的频率;
(2)用分层抽样的方法从重量在和的苹果中共抽取4个,其中重量在的有几个?
(3)在
(2)中抽出的4个苹果中,任取2个,求重量在和中各有1个的概率.
【解析】
(1)苹果的重量在的频率为;
(2)重量在的有个;
(3)设这4个苹果中分段的为1,分段的为2、3、4,从中任取两个,可能的情况有:
(1,2)(1,3)(1,4)(2,3)(2,4)(3,4)共6种;设任取2个,重量在和中各有1个的事件为A,则事件A包含有(1,2)(1,3)(1,4)共3种,所以.
【解析】这个基础题,我只强调:
注意格式!
18.(本小题满分13分)
如图4,在边长为1的等边三角形中,分别是边上的点,,是的中点,与交于点,将沿折起,得到如图5所示的三棱锥,其中.
(1)证明:
//平面;
(2)证明:
平面;
(3)当时,求三棱锥的体积.
【解析】
(1)在等边三角形中,
在折叠后的三棱锥中
也成立,,平面,
平面,平面;
(2)在等边三角形中,是的中点,所以,.
在三棱锥中,,
;
(3)由
(1)可知,结合
(2)可得.
【解析】这个题是入门级的题,除了立体几何的内容,还考查了平行线分线段成比例这个平面几何的内容.
19.(本小题满分14分)
设各项均为正数的数列的前项和为,满足且构成等比数列.
(1)证明:
;
(2)求数列的通项公式;
(3)证明:
对一切正整数,有.
【解析】
(1)当时,,
(2)当时,,
当时,是公差的等差数列.
构成等比数列,,,解得,
由
(1)可知,
是首项,公差的等差数列.
数列的通项公式为.
(3)
【解析】本题考查很常规,第
(1)
(2)两问是已知求,是等差数列,第(3)问只需裂项求和即可,估计不少学生猜出通项公式,跳过第
(2)问,作出第(3)问.本题易错点在分成,来做后,不会求,没有证明也满足通项公式.
20.(本小题满分14分)
已知抛物线的顶点为原点,其焦点到直线的距离为.设为直线上的点,过点作抛物线的两条切线,其中为切点.
(1)求抛物线的方程;
(2)当点为直线上的定点时,求直线的方程;
(3)当点在直线上移动时,求的最小值.
【解析】
(1)依题意,解得(负根舍去)
抛物线的方程为;
(2)设点,,,
由,即得.
∴抛物线在点处的切线的方程为,
即.
∵,∴.
∵点在切线上,∴.①
同理,.②
综合①、②得,点的坐标都满足方程.
∵经过两点的直线是唯一的,
∴直线的方程为,即;
(3)由抛物线的定义可知,
所以
联立,消去得,
当时,取得最小值为
【解析】2013广州模直接命中了这一题,广一模20题解法2正是本科第
(2)问的解法,并且广一模大题结构和高考完全一致.紫霞仙子:
我的意中人是个盖世英雄,有一天他会踩着七色云彩来娶我,我只猜中了前头,可是我却猜不中这结局……形容这次高考,妙极!
21.(本小题满分14分)
设函数.
(1)当时,求函数的单调区间;
(2)当时,求函数在上的最小值和最大值.
【解析】:
(1)当时
在上单调递增.
(2)当时,,其开口向上,对称轴,且过
(i)当,即时,,在上单调递增,
从而当时,取得最小值,
当时,取得最大值.
(ii)当,即时,令
解得:
注意到,
(注:
可用韦达定理判断,,从而;或者由对称结合图像判断)
的最小值,
的最大值
综上所述,当时,的最小值,最大值
解法2
(2)当时,对,都有,故
故,而,
所以,
【解析】:
看着容易,做着难!
常规解法完成后,发现不用分类讨论,奇思妙解也出现了:
结合图像感知时最小,时最大,只需证即可,避免分类讨论.本题第二问关键在求最大值,需要因式分解比较深的功力,这也正符合了2012年高考年报的“对中学教学的要求——重视高一教学与初中课堂衔接课”.
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