三年级下册数学试题奥数专题讲练第六讲 数字谜二数阵图 精英篇解析版全国通用.docx
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三年级下册数学试题奥数专题讲练第六讲 数字谜二数阵图 精英篇解析版全国通用.docx
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三年级下册数学试题奥数专题讲练第六讲数字谜二数阵图精英篇解析版全国通用
第六讲数字谜
(二)—数阵图
本讲通过对简单数阵的学习,让学生在数与数之间的变化中,感受到数字的奇妙,体会到数学思维的乐趣
知识点:
1.封闭型数阵图;
2.辐射型数阵图;
3.复合型数阵图.
8
1
6
3
5
7
4
9
2
(一)辐射型数阵图
把1~5这五个数填入下图中的○里,使每条直线上的三个数之和相等.
分析:
在图中我们可以看出,中间圆圈里的数很特殊,横行的三个数有它,竖列的三个数也有它,我们把它叫做“重叠数”.也就是说,横行的三个数之和加上竖列的三个数之和,只有重叠数被加了两次,即重叠了一次,其余各数均被加了一次.我们可以得出:
(1+2+3+4+5)+重叠数=每条直线上三数之和×2,所以,每条直线上三数之和等于(15+重叠数)÷2.
因为每条直线上的三数之和是整数,所以重叠数只可能是1,3或5.
若“重叠数”=1,则两条直线上三数之和为(15+1)÷2=8.填法见左下图;若“重叠数”=3,则两条直线上三数之和为(15+3)÷2=9.填法见下中图;若“重叠数”=5,则两条直线上三数之和为(15+5)÷2=10.填法见右下图.
[巩固]把1~5这五个数填入下图中的○里(已填入5),使两条直线上的三个数之和相等.
分析:
与例题不同之处是已知“重叠数”为5,而不知道两条直线上的三个数之和都等于什么数.所以,必须先求出这个“和”.两条直线上的三个数相加,只有重叠数被加了两遍,其余各数均被加了一遍,所以两条直线上的三个数之和都等于[(1+2+3+4+5)+5]÷2=10.因此,两条直线上另两个数(非“重叠数”)的和等于10-5=5.非“重叠数”的和也可以这样求,因为1~4的和我们可以求,每条直线上两端的数的和是:
(1+2+3+4)÷2=5.
在剩下的四个数1,2,3,4中,只有1+4=2+3=5.故有右上图的填法.
[注意]求数阵问题的关键是找到关键数,也就是重复数,教会学生学会找关键数的方法是最重要的.
把1~7这七个数分别填入下图的○内,使每条线段上三个○内数的和相等.
分析:
解这道题的关键是首先求出中心数.1~7七个数的和是28,而计算三条线段中数的和时,中心圆的数要多加两次.因此可得如下关系式:
28+(中心数)×2=每条线段上三个数的和×3.
即:
(28+中心数×2)÷3=每条线段上三个数的和.
用试验的方法,将1~7这七个数作中心数分别代入上述关系式中.可求出中心数及每条直线上三个数的和.经试验,若中心数取2、3、5、6,此题无解;中心数取1、4、7时该题数阵图成立.
(1)(28+1×2)÷2=10,中间圆圈内填1,各线段其他两数和为10-1=9.
(2)(28+4×2)÷3=12,中间圆圈内填4,各线段其他两数和为12-4=8.
(3)(28+7×2)÷3=14,中间圆圈内填7,各线段其他两数和为14—7=7.三种基本解法详见下图.
将10~20填入左下图的○内,其中15已填好,使得每条边上的三个数字之和都相等.
分析:
中间○内的15是重叠数,并且重叠了四次,所以每条边上的三个数字之和等于[(10+11+…+
20)+15×4]÷5=45.
剩下的十个数中,两两之和等于(45-15=)30的有10,20;11,19;12,18;13,17;14,16.也可以这样求:
五条边上两个数的和都是相等的,(10+11+…+20)÷5=
30,所以两两之和等于30.于是得到右图的填法.
[拓展]把10~20这11个数分别填入下图的圆圈内,使每条线段上三个圆圈内的数的和都相等.请你把各种填法都写出来(中心圆圈内的数相同就视为一种填法).(1993年武汉市小学数学竞赛试题)
分析:
审题可知中心处的数是五条线段的端点,求和时用了5次,因此,确定中心圆圈里的数是关键
(方法一)①列出中心数与每条线段上三数和的关系式:
(165+中心数×4)÷5
②用试验方法求出中心数及每条线段上三数和.
中心数分别为10、15、20.每条线段上三数和分别为4l、45、49.
分别以10、15、20为中心数的数阵图,相对应的每条线段上两数和分别为:
3l、30、29.和为29的两数可有:
10+19、1118、12+17、13+16、14+15;
和为30的两数可有:
10+20、11+19、12+18、13+17、14+16;
和为31的两数可有:
11+20、12+19、13+18、14+17、15+16.
③填图.如下图的
(1)、
(2)、(3).
(方法二)设中心的圆圈内的数字是a,每条线段的圆圈内的三个数字和是k,则:
10+11+12+13+14+15+16+17+18+19+20+4×a=5k,即165+4×a=5k.推出中心处的a等于10,15,20,k分别等于41,45,49.
当a=10时,k=41,每条线段上另外两个圆圈内的两数之和是31,即11+20,12+19,13+18,14+17,15+16,从而填出数阵图
当a=15时,k=45,每条线段上另外两个圆圈内的两数之和是30,即10+20、11+19、12+18、13+17、14+16,从而填出数阵图
当a=20时,k=49,每条线段上另外两个圆圈内的两数之和是29,即10+19、11+18、12+17、13+16、14+15,从而填出数阵图
[小结]以上例题中数阵图都是辐射型数阵图.
一般地,有m条边,每边有n个数的形如下图的图形称为辐射型m-n图.
辐射型数阵图只有一个重叠数,重叠次数是“直线条数”-1,即m-1.对于辐射型数阵图,有:
已知各数之和+重叠数×重叠次数=直线上各数之和×直线条数.
由此得到:
(1)若已知每条直线上各数之和,则重叠数等于(直线上各数之和×直线条数-已知各数之和)÷重叠次数.如例1、例3.
(2)若已知重叠数,则直线上各数之和等于(已知各数之和+重叠数×重叠次数)÷直线条数.如例2.(3)若重叠数与每条直线上的各数之和都不知道,则要从重叠数的可能取值分析讨论,如例3.
(二)封闭型数阵图
将1~6这六个自然数分别填入右图的六个○中,使得三角形每条边上的三个数之和都相等.
分析:
我们不知道每边的三数之和等于几.因为三个重叠数都重叠了一次,由(1+2+…+6)+重叠数之和=每边三数之和×3,得到每边的三数之和等于
[(1+2+…+6)+重叠数之和]÷3=(21+重叠数之和)÷3=7+重叠数之和÷3.
因为每边的三数之和是整数,所以重叠数之和应是3的倍数.考虑到重叠数是1~6中的数,所以三个重叠数之和只能是6,9,12或15,对应的每条边上的三数之和就是9,10,11或12.
与例题的方法类似,可得下图的四种填法:
每边三数之和=9每边三数之和=10每边三数之和=11每边三数之和=12
[小结]像例题中这样各条边是互相连接的数阵图,叫做封闭型数阵图.思考这类问题,主要是要弄清关键数字.抓住关系式,进行分析,确定顶点上的数以及每条边上的数的和,再用试验的
方法,求出解.
分析:
四个角上的数是重叠数,重叠次数都是1次.所以四个重叠数之和等于18×4-(2+3+…+9)=28.
而在已知的八个数中,四数之和为28的只有:
4+7+8+9=28或5+6+8+9=28.
又由于18-9-8=1,1不是已知的八个数之一,所以,8和9只能填对角处.由此得到左下图所示的重叠数的两种填法:
“试填”的结果,只有右上图的填法符合题意.
[巩固]把1~8这八个数分别填入下图中的八个○内,使每条边上三个○内数的和都相等.
分析:
这道题的关键是确定正方形四个顶点上的数及正方形每边上数的和.1~8的和是36,36加上四个顶点上的数其和是4的倍数.36是4的倍数,只要考虑从1~8里选4个数,使其和是4的倍数,可得四个不同的和12、16、20、24.再求出每边四个数的和分别是:
(36+12)÷4=12(36+16)÷4=13(36+20)÷4=14(36+24)÷4=15
又因为1+2+3+6=12,1+2+4+5=12.经试验,四个顶点数只能填l、2、3、6.然后用凑数法使每边和是12.采用同样的方法,可填出每边和是13、14、15的情况.下面给出一种解法,如右上图.其他解法请同学们自己完成.
用1~9这九个数字填入下图中,使得每条边上的四个数的和都等于A,问A可以等于哪些数?
给出你的填法.
分析:
解这道题的关键是确定三边之和与三顶点之和的关系,再运用试验法求解.
因为每条边上的四数之和都等于A,则三边之和为3×A.因1到9这九个数的和是45,而在3×A中,三个顶点上的数都被计算了两次,于是顶点上的数之和应为3×A-45.这个和是3的倍数,它最小是1+2+3=6,最大是7+8+9=24,从而A可以取17、18、19、20、21、22、23.但是,当A为
18或22时,都得不出一个合乎题目要求的解答,所以A只能为17、19、20、23这五个数.图
(1)、
(2)、
(3)、(4)、(5)给出了这五种填法.
(1)
(2)
(3)
(4)(5)
将l、2、3、4、5、6六个数字填入下图中的小圆圈内,使每个大圆上四个数字的和都是l6.
分析:
观察发现,中间的两个圆圈最特殊,它们同时在两个圆上,我们要以此入手,填出这个数阵.这六个数的和是1+2+3+4+5+6=21.题中要使每个大圆上的数字和是16,那么两个大圆上的数字总和是16×2=32,两个大圆圈上数字的总和比六个数的和多32-21=11,怎么会多11呢?
因为两个大圆上有两个数被算了两次,也就是多算了一次,即()+()=11,所以,被算了两次的数是5和6.先填上被多算的数5和6,再通过计算填入其余各数:
16-5-6=5,2+3=5,1+4=5,填法如下:
[小结]刚刚学习的这几个数阵图都是封闭型数阵图.
一般地,在m边形中,每条边上有n个数的形如下图的图形称为封闭型m-n图.
与“辐射型m-n图只有一个重叠数,重叠次数是m-1”不同的是,封闭型m-n图有m个重叠数,重叠次数都是1次.
对于封闭型数阵图,因为重叠数只重叠一次,所以:
已知各数之和+重叠数之和=每边各数之和×边数.由这个关系式,就可以分析解决封闭型数阵图的问题.
(三)复合型数阵
如图“好、助、手、伙、伴、参、谋”这7个汉字分别代表1至7这7个数字.已
知3条直线上的3个数相加、2个圆周上的3个数相加,所得的5个和相同.那么,“好”字代表多少?
分析:
通过读题可以知道三条直线的三个数之和相等,两个圆圈的三个数之和相等,而且五个和都相等.所以计算5个和的和,这个和一定是5的倍数,其中“好”字计算了三遍,其它数只是被计算了2
遍,因此这个和等于(1+2+3+4+5+6+7)×2+“好”=56+“好”,我们这个“好”只能是4才
能保证这个和是5的倍数.所以“好”=4.
将自然数l~7填入右图的七个○中,使得横、竖、斜的每条直线上的三个数之和都相等.
分析:
三角形顶上的数重叠3次,其他数都重叠2次.所以有:
(1+2+…+7)×2+顶上的数=每条线上的三个数之和×5,
56+顶上的数=每条线上的三个数之和×5.
由上式等号左端是5的倍数,推知“顶上的数”=4.所以每条线上的三个数之和为(56+4)÷5=12.经试验可得如下填法(填法不唯一):
请问如何才能将26,27,28,36,37,38,46,47,48这九个数分别填入图中的圆圈中,使得通过中心圆圈的每条直线上的三个数之和都是111.
分析:
我们已知九个数的和是26+27+28+36+37+38+46+47+48=333.题
中要使每条线上三个数的和是111,那么四条线上数的总和是l11×4=444.四条线上数的总和比九个数的和多444—333=111.中心圆圈里的这个数是重叠数,重叠了四次,即多算了3次,即重叠数×3=111.因为只有37×3=111,所以中心圆圈里填37.
先填上中心圆圈里的数37,再通过计算分别填人其余各数:
111-37=74,26
+48=74,27+47=74,28+46=74,36+38=74.填法如右图:
数阵图是一类非常有趣的数学问题,同学们,你们在这座数学迷宫中感受到它的奇妙了吗?
在春季我们还会有类似问题的学习哦,敬请期待吧!
1.将1~7这七个数分别填入左下图中的○里,使每条直线上的三个数之和都等于12.
分析:
1+2+3+4+5+6+7+2×中间数=28+2×中间数=12×3,中间数为4,填法如右上图.
2.
将1~7这七个自然数填入下图的七个○内,使得每条边上的三个数之和都等于10.
分析:
(1+2+…+7)+重叠数×2=10×3.
由此得出重叠数为[10×3-(1+2+…+7)]÷2=1.
剩下的六个数中,两两之和等于9的有2,7;3,6;4,5.可得右上图的填法.
3.把1、2、3、4、5、6六个数字分别填入下图的六个圆圈中,使每一边三个数相加的和都等于9.
分析:
三边的和为9×3=27.但是1~6六个数的和等于21,三行数的和比题中六个数的和多27—21
=6,原因在于三个顶点的数字都要用2次,说明三个顶点数之和是6.1+2+3=6,所以把1、2、3分别填入三个顶点中,再根据每行和都等于9的要求填上其他各数.如右上图.
4.请分别将1,2,4,6这4个数填在下图的各空白区域内,使得每个圆圈里4个数的和都等于15.
分析:
5+7=12,3+7=10,3+5=8,三个圆中已有数的和与15的差分别是3、5、7,只有1能和其他三个数的和分别是3、5、7,所以中间数一定是1,由和为15,其它三个数即可得,见右上图.
5.
在图中x,y,z三个小圆圈内各填上一个数,使得每条直线上三个数的和都等于大三角形三个顶点上三个数的和.
分析:
如图,把三条直线上的三个和相加,相当于把4算了三遍,1,5,6算了一遍,三个顶点上的数各算了一遍.根据题意,这三个和应该是相等的,并且和三个顶点上的和也相等.那么4×3+1+5+6+三个顶点和=三个顶点和×3;和是(4×3+1+5
+6)÷2=12.
所以,图中x处的数是l2-4-5=3;图中y处的数是l2-4-1=7;图中z处的数是l2-4-6=2.
图像从不闪动
一个星期日的中午,绿庄公寓里008号房间的单身职员,到距离很近的售货摊上买东西,只离开房间五六分钟,没有锁门,5万元现金被盗.报案后,刑警问他:
“公寓里有谁知道你出去买东西?
”
“10号房间的北村知道,我出去时他还托我买呢.”
刑警马上到10号房间查看.一进门,就见北村一边在吃方便面一边看漫画.
“8号房间的失盗者出去买东西时,你在哪儿?
干什么了?
”
“我一直在看漫画呀.”“你没听见那个房间里有异常动静吗?
”
“没有,那时正好一架直升飞机在这座公寓的上空盘旋,噪音很大,一点点动静也觉察不到.”据公寓管理人员说,中午并没有外人进公寓.肯定是内部人员干的.
“别的房间里有人在吗?
”
“今天星期日,别人出去玩了,只6号房间里一个叫寺内的青年人在.”
刑警又来到6号房间,见寺内正穿一身睡衣躺在床上,边吃花生米边看电视.那是台新型彩电.
“哎呀,好漂亮的彩电啊!
图像一点不闪动吗?
”
“从来没有过,这是我三天前才买来的新产品.”
“听到8号房间里有可疑动静吗?
”
“没有,一点没察觉到,因电视里有我喜欢的歌手在演唱,我看得入了迷,再加上那架讨厌的直升飞机在盘旋……”
“你说谎.直升飞机盘旋时你并没看电视,而是溜进8号房间找钱吧.”刑警凭什么识破了寺内的手段呢?
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