届安徽省示范高中皖江八校高三第八次联考数学文试题解析版.docx
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届安徽省示范高中皖江八校高三第八次联考数学文试题解析版
2018届安徽省示范高中(皖江八校)高三第八次(5月)联考数学文试题(解析版)
第Ⅰ卷(选择题共60分)
一、选择题:
本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.设(为虚数单位),则()
A.B.C.D.
【答案】A
【解析】分析:
将复数化简成,利用公式计算复数的模.
详解:
,
,故选A.
点睛:
复数题在高考中属于简单题,多以选择、填空形式出现.解题时注意,切勿忽略符号导致出错.
2.已知集合,若,则实数的值为()
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】分析:
根据已知得,代入求解的值,验证互异性可得.
详解:
或,
解得或,
由集合中元素的互异性知,
故选B.
点睛:
本题主要考察集合的交集运算,解题时注意验证集合中元素的互异性.
3.已知函数的图象如图所示,则的大小关系为()
A.B.C.D.
【答案】A
【解析】分析:
根据图像分析得,可得结论.
详解:
由图像可知,,
得,故选A.
4.已知双曲线,四点,中恰有三点在双曲线上,则该双曲线的离心率为()
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】分析:
由对称性分析可得点在双曲线上,代入求得,计算离心率.
详解:
由双曲线对称性可知,点在双曲线上,
且点一定不再双曲线上,则点在双曲线上,
代入可得,则,
所以,故选C.
点睛:
本题解题的关键是能够根据对称性判断出哪三个点在双曲线上,进而求解的值,利用公式求出离心率.
5.已知输入实数,执行如图所示的流程图,则输出的是()
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】分析:
初始化数值,执行循环结构,判断条件,可得.
详解:
初始化数值
执行第一次循环:
成立,;
执行第二次循环:
成立,;
执行第三次循环:
成立,;
判断不成立,输出.
故选C.
点睛:
程序框图问题是高考数学中的常考问题,属于得分题,解题时只要按照循环结构,注意判断条件的成立与否完成解答即可.
6.已知为圆上的三点,若,圆的半径为,则()
A.B.C.D.
【答案】D
【解析】分析:
画出图形,根据向量关系得四边形为菱形,可将问题转化为求的值.
详解:
如下图所示,由,
知四边形是边长为的菱形,
且,.
点睛:
本题主要是根据题设中给出的向量关系,利用将问题转化为求解的值,再根据向量的数量积公式得出结论.
7.2018年1月31日晚上月全食的过程分为初亏、食既、食甚、生光、复圆五个阶段,月食的初亏发生在19时48分,20时51分食既,食甚时刻为21时31分,22时08分生光,直至23时12分复圆.全食伴随有蓝月亮和红月亮,全食阶段的“红月亮”将在食甚时刻开始,生光时刻结東,一市民准备在19:
55至21:
56之间的某个时刻欣赏月全食,则他等待“红月亮”的时间不超过30分钟的概率是()
A.B.C.D.
【答案】A
【解析】分析:
求出他等待“红月亮”不超过30分钟的时间长度,代入几何概型概率计算公式,即可得答案.
详解:
如下图,时间轴点所示,概率为
故选A.
点睛:
本题主要考察“长度型”几何概型问题的概率计算,分别求出构成事件的区域长度及试验的全部构成的区域长度,再利用几何概型的计算公式即可求解.
8.已知定义在上的函数在上单调递减,且是偶函数,不等式对任意的恒成立,则实数的取值范围是()
A.B.
C.D.
【答案】D
【解析】分析:
根据函数为偶函数可得函数关于对称,再结合函数的单调性可得,解得.
详解:
是偶函数,所以
则函数的图像关于对称,
由得
所以,解得.故选D.
点睛:
本题解题的关键在于能够根据题意,分析出函数的单调性,画出函数的草图,利用数形结合找到不等关系,解不等式即可.
9.某几何体的三视图如图所示,其中每个单位正方体的边长为,则该几何体的体积
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】分析:
根据三视图分析该几何体的结构为一个半圆柱挖去一个三棱锥,计算半圆柱的体积和三棱锥的体积,相减可得该几何体的体积.
详解:
由三视图可知,该几何体是半圆柱挖去一个三棱锥,
其体积为.
点睛:
本题的核心关键在于弄清楚该几何体的构成,再利用体积公式求解,解题时注意公式要记忆准确,避免“丢三落四”而出错.
10.已知是函数·的一个极小值点,则的一个单调递增区间是()
A.B.C.D.
【答案】A
【解析】分析:
将已知函数化简为,可得函数的周期为,结合极小值点,可得函数的单调递减区间.
详解:
,
由已知是函数过最小值点的对称轴
结合图像可知是函数的一个单调增区间,
因为,所以是函数的一个单调递增区间,
故选A.
点睛:
设为三角函数的极小值点,为三角函数的最小正周期,则从三角函数的图像可知是函数的一个单调递减区间,是函数的一个单调递增区间.
11.已知圈经过原点且圆心在轴正半轴上,经过点且倾斜角为的直线与圆相切于点,点在轴上的射影为点,设点为圆上的任意一点,则()
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】分析:
根据题干写出直线方程,再利用直线与圆相切求出圆心坐标为,写出圆的方程,得出点坐标,设,并将圆的方程代入可求得值为.
详解:
由题可知直线,即,
设圆心,则,解得.
所以圆的方程为:
,
将代入圆的方程,可解得,故,
设,则,
将圆的方程代入得,
所以,故选C.
点睛:
已知直线方程,和圆的方程,且设圆心到直线的距离为,则直线与圆相交;直线与圆相交.
12.设函数(为自然对数的底数),当时恒成立,则实数的最大值为()
A.B.C.D.
【答案】D
【解析】分析:
令,则可转化为的恒成立问题,画出函数的草图,利用数形结合可得参数的取值范围.
详解:
由,得,
令,则,
令,得或,
分别作出的图像,要使的图象在的图象下方,
设切点,切线为,
即,
由切线过得,,
解得或或,
由图像可知.故选D.
点睛:
利用导数研究含参变量函数的恒成立问题:
(1)其中关键是根据题目找到给定区间上恒成立的不等式,转化成最值问题;
(2)恒成立问题的标志关键词:
“任意”,“所有”,“均有”,“恒成立”等等;(3)对于“曲线在曲线上方(下方)”类型的恒成立问题,可以转化为()恒成立.
第Ⅱ卷
二、填空题:
本大题共4小题,每小题5分,共20分,请把正确的答案填在横线上.
13.已知满足条件则点到点的距离的最小值是__________.
【答案】
【解析】分析:
作出可行域,研究目标函数的几何意义可知,当时目标函数取得最小值为.
详解:
作出不等式组所表示的阴影部分,
易知点到点的距离的最小值为,
又.
所以点到点的距离的最小值为.
点睛:
在解决线性规划问题时,要注意分析目标函数是属于“截距型”、“斜率型”、“距离型”中的哪一种,利用数形结合分析目标函数取得最值时对应的取值
14.已知是长轴长为的椭圆的左右焦点,是椭圆上一点,则面的最大值为__________.
【答案】2
【解析】分析:
根据椭圆的定义可计算出,再根据三角形面积公式,利用均值定理可得的最大值为.
详解:
,
又根据题意,则,
所以面积的最大值为,
点睛:
本题主要考察椭圆的定义及焦点三角形问题,在使用均值定理求最值问题时注意“=”成立的条件.
【答案】1
【解析】分析:
根据题意画出图形,列出等式关系,联立即可求解.
详解:
如图,已知(尺),(尺), ,
∴,解得,
因此,解得 ,
故折断后的竹干高为尺.
点睛:
本题属于解三角形中的简单题型,主要考察解三角形的实际应用问题,关键在于读懂题意,根据题设做出图形.
16.在中,是角所对的边长,若,则__________.
【答案】1
【解析】分析:
根据正弦定理找到三角形中边之间的关系,再利用余弦定理可计算出的值.
详解:
由正弦定理得,
又由余弦定理知,
∴.
点睛:
正弦定理为实现“边角互化”提供了依据,而当已知三边比例关系时,则可利用余弦定理求出任何一个内角的余弦值.
三、解答题:
本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答应写在答题卡上的指定区域内.
17.设是等差数列,是各项都为正数的等比数列,且,,.
(I)求数列和的通项公式;
(Ⅱ)求数列的前项和.
【答案】(Ⅰ),(Ⅱ)
【解析】试题分析:
(Ⅰ)设的公差为,的公比为,
则,
解得,又,所以…5分
(Ⅱ),
所以
两式作差,整理得:
.…10分
考点:
本小题主要考查等差数列和等比数列中基本量的计算,和错位相减法求数列的前项和,考查学生的运算求解能力.
点评:
错位相减法是求数列的前项和的重要方法,难在相减后的整理过程容易出错,要仔细整理.
18.某市为制定合理的节电方案,对居民用电情况进行了调查,通过抽样,获得了某年200户居民每户的月均用电量(单位:
XX),将数据按照,,分成组,制成了如图所示的频率分布直方图:
(I)求直方图中的值;
56789月均用电量百厦
(Ⅱ)设该市有100万户居民,估计全市每户居民中月均用电量不低于6XX的人数,估计每户居民月均用电量的中位数,说明理由;
(Ⅲ)政府计划对月均用电量在4(XX)以下的用户进行奖励,月均用电量在内的用户奖励20元/月,月均用电量在内的用户奖励10元/月,月均用电量在内的用户奖励2元/月.若该市共有400万户居民,试估计政府执行此计划的年度预算.
【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)(Ⅲ)亿元
【解析】分析:
(1)利用频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为,可求出参数的值;
(2)根据频率分布直方图计算出200户居民月均用电量不低于6XX的频率为,则可估计100万户居民中月均用电量不低于6XX的户数为120000,设中位数为,由前4组频率之和为,前5组频率之和为,可知,可继续计算出的值;(3)分别计算出月均用电量在内的用户数,可得出一年的预算.
详解:
(Ⅰ)
(Ⅱ)200户居民月均用电量不低于6XX的频率为,
100万户居民中月均用水量不低于6XX的户数有;
设中位数是XX,前组的频率之和
而前组的频率之和
所以,,故.
(Ⅲ)该市月均用电量在,,内的用户数分别为,,,所以每月预算为元,
故一年预算为万元亿元.
点睛:
本题主要结合频率直方图考察样本估计总体,以及样本数字特征的计算等知识。
频率分布直方图中相邻两横坐标之差表示组距,纵坐标表示,频率;频率分布直方图中各小长方形的面积之和为1,因此在频率分布直方图中组距是一个固定值,所以各小长方形高的比也就是频率比.
19.如图,在几何体中,平面底面,四边形是正方形,,是的中点,且,.
(1)证明:
;
(2)若,求几何体的体积.
【答案】
(1)见解析;
(2)
【解析】分析:
(1)连接交于点,连接,欲证,只需证明即可;
(2)原几何体是由四棱锥和三棱锥两部分构成,只需分别计算出体积相加可得.
详解:
(Ⅰ)如上图所示,连接交于点,连接.
∵四边形是正方形,∴是的中点
又已知是的中点,∴
又∵且,∴,
即四边形是平行四边形
∴,∵,∴;
(Ⅱ)如上图,引于点,
∵,
∴,∵平面
∴,
同理
.
点睛:
(1)证明线线垂直时可利用勾股定理逆定理,等腰三角形中三线合一,线面垂直等方法进行,本题中通过构造,将问题进行了转化;
(2)在计算组合体体积时,要注意分析组合体由哪些简单几何体构成,分别计算体积即可求解,而在计算简单几何体体积时要注意“换底”的策略.
20.如图已知抛物
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