江苏省盐城市学年高二数学下学期期末考试试题.docx
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江苏省盐城市学年高二数学下学期期末考试试题
2018/2019学年度第二学期高二年级期终考试
数学试题
方差公式:
样本数据的方差,其中.
一、填空题:
本大题共14小题,每小题5分,共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.
1.已知复数,(其中为虚数单位),若为实数,则实数的值为▲.
2.已知一组数据的方差为,则数据的方差为▲.
3.某学校拟从2名男教师和1名女教师中随机选派2名教师去参加一个教师培
训活动,则2名男教师去参加培训的概率是▲.
4.若命题“,使得成立”是假命题,则实数的取值
范围是▲.
5.执行如图所示的流程图,则输出k的值为▲.
6.已知实数满足,则的最大值为▲.
7.若双曲线的两条渐近线与抛物线的准
线围成的三角形面积为2,则双曲线的离心率为▲.
8.已知圆:
的面积为,类似的,椭圆:
的面积为▲.
9.(理科学生做)5名学生站成一排拍照片,其中甲乙两名学生不相邻的站法有▲种.(结果用数值表示)
(文科学生做)已知函数的一条对称轴为,
则的值为▲.
10.(理科学生做)在的二项展开式中,常数项为▲.(结果用数值表示)
(文科学生做)若函数且是偶函数,则函数的值域为▲.
11.已知函数,则“”是“函数有且仅有一个极值点”的
▲条件.(选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”)
12.设分别为椭圆的右顶点和上顶点,已知椭圆过点,当线段长最小时椭圆的离心率为▲.
13.若为正实数,则的最大值为▲.
14.已知函数的最大值为,则实数的值为▲.
二、解答题:
本大题共6小题,共计90分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(理科学生做)(本小题满分14分)如图,在四棱锥中,已知底面为菱形,,为对角线与的交点,底面且.
(1)求异面直线与所成角的余弦值;
(2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
(文科学生做)(本小题满分14分)设命题:
函数在是减函数;命题:
,都有成立.
(1)若命题为真命题,求实数的取值范围;
(2)若为真命题,为假命题,求实数的取值范围.
16.(理科学生做)(本小题满分14分)某超市在节日期间进行有奖促销,凡在该超市购物满200元的顾客,将获得一次摸奖机会,规则如下:
一个袋子装有5只形状和大小均相同的玻璃球,其中两只是红色,三只是绿色,顾客从袋子中一次摸出两只球,若两只球都是红色,则奖励20元;若两只球都是绿色,则奖励10元;若两只球颜色不同,则不奖励.
(1)求一名顾客在一次摸奖活动中获得20元的概率;
(2)记为两名顾客参与该摸奖活动获得的奖励总数额,求随机变量X的分布列和数学期望.
(文科学生做)(本小题满分14分)设函数.
(1)若函数为奇函数,,求的值;
(2)若,求的值.
17.(理科学生做)(本小题满分14分)已知数列各项均为正数,满足
.
(1)求的值;
(2)猜想数列的通项公式,并用数学归纳法证明你的结论.
(文科学生做)(本小题满分14分)设,.
(1)证明:
对任意实数,函数都不是奇函数;
(2)当时,求函数的单调递增区间.
18.(本小题满分16分)如图,一条小河岸边有相距8km的两个村庄(村庄视为岸边上两点),在小河另一侧有一集镇(集镇视为点),到岸边的距离为2km,河宽为,通过测量可知,与的正切值之比为.当地政府为方便村民出行,拟在小河上建一座桥(分别为两岸上的点,且垂直河岸,在的左侧),建桥要求:
两村所有人到集镇所走距离之和最短,已知两村的人口数分别是1000人、500人,假设一年中每人去集镇的次数均为次.设.(小河河岸视为两条平行直线)
(1)记为一年中两村所有人到集镇所走距离之和,试用表示;
(2)试确定的余弦值,使得最小,从而符合建桥要求.
19.(本小题满分16分)如图,已知椭圆与椭圆的离心率相同.
(1)求的值;
(2)过椭圆的左顶点作直线,交椭圆于另一点,交椭圆于两点(点在之间).
①求面积的最大值(为坐标原点);
②设的中点为,椭圆的右顶点为,直线与直线的交点为,试探究点是否在某一条定直线上运动,若是,求出该直线方程;若不是,请说明理由.
20.(本小题满分16分)已知函数
(1)当时,求函数在上的最小值;
(2)若函数在与处的切线互相垂直,求的取值范围;
(3)设,若函数有两个极值点,且,求的取值范围.
2018/2019学年度第二学期高二年级期终考试
数学参考答案
一.填空题
1.2.3.4.5.6.7.8.9.(理)(文)
10.(理)(文)11.充分不必要12.13.14.
二.解答题
15.(理科)
因为底面为菱形,,,底面,
所以,以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系
(如图所示),则……………………………2分
(1)设为直线所成的角,
,
=,
所以异面直线与所成角的余弦值为………………………………………6分
(2)因为平面,所以平面的法向量取,………………8分
设平面的法向量为,,
则由,
即,取,…………………………………………………12分
设为两个平面所成的锐二面角的平面角,则,
所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为………………………14分
(文科)
(1)为真:
因为函数是减函数,
所以在上恒成立,………………………………………2分
所以,所以……………………………………………………………4分
(2)为真:
因为对恒成立,
所以对恒成立,
因为,
所以,………………………………………………………………8分
当真假即,
所以………………………………………………………………………………10分
当真假即且,
所以……………………………………………………………………………12分
综上或……………………………………………………………14分
16.(理科)解:
(1)记一名顾客摸球中奖20元为事件,
则.………………………………………………………………………2分
(2)记一名顾客摸球中奖10元为事件,不中奖为事件,
则,,…………………………………4分
所以,
,
,
,
,…………………………………12分
X
0
10
20
30
40
p
所以…………………14分
(文科)解:
(1)因为函数为奇函数,
所以,
又,所以,………………………………………………………………2分
当时,是奇函数,
所以.………………………………………………………………………………4分
(2)
因为,,所以,
又,
所以,,…………………6分
所以,
……………10分
所以……………………………………12分
所以.
………………14分
17(理)解:
(1)当时,,又,所以,
当时,,解得,
当时,,解得.………………………………2分
(2)猜想:
.……………………………………………………………………4分
证明:
(1)当时,由
(1)可知结论成立;………………………………6分
(2)假设当时,结论成立,即成立,………………………8分
则时,
由与,
所以,
所以,
又,成立,…………………………………………12分
根据
(1)、
(2)猜想成立.………………………………………………14分
(文)证明:
(1)假设函数为奇函数,则,
这与矛盾,
所以函数不可能是奇函数.…………………………4分
解:
(2)当时,,
所以,,
所以在单调递增,………………………10分
又,
所以不等式的解集为,
所以函数的单调递增区间为.…………………………14分
18.解:
(1)因与的正切值之比为,
所以,所以,即,……………2分
因,所以,,…………………………………4分
所以,
所以,
化简得,.……………………………7分
(2)由
(1)知,
所以,
化简得,
由,得,……………………………………………………………10分
令,且,
当时,,;当时,,;
所以函数在上单调递减;在上单调递增;
所以时函数取最小值,即当时,符合建桥要求,……………14分
答:
(1),;
(2)当时,符合建桥要求.……………………………………………16分
19.
(1)椭圆中,又,
所以,离心率………………………………………………2分
又椭圆中,又,
所以,
=,又因为,
所以………………………………………………………4分
(2)当直线与轴重合时,三点共线,不符合题意
故设直线的方程为:
且
设
由
(1)知椭圆的方程为:
联立方程消去得即
解得()
又
…………………………………………8分
令
此时………………10分
(3)由
(2)知所以
所以
所以直线的斜率
直线的方程为…………………………………12分
联立方程消去得
得
所以
所以…………………………………14分
则直线的方程为
联立直线的方程解得点坐标为
所以点在定直线上运动.……………………………………16分
20.解:
(1)当时,,
,由得,
所以函数在区间单调递减,在区间单调递增,
…………………………………………………………………3分
(2)由函数得
因为函数在与处的切线互相垂直,所以
即,…………………………………………………………5分
法一.展开整理得,
该关于的方程有解,所以,
即,
所以或,…………………………………………………………………………9分
法二.由,……………………………………………………5分
即,
所以,
即,所以或……………………………………………………9分
(3)当时,,
所以是方程的两根,从而,………………10分
因为且,
所以,,
,…………………………………………12分
记
因为在单调递增,所以,
从而在单调递增,
所以……………………………………………………14分
又因为,
所以的取值范围为……………………………………………………16分
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