届高考数学理第一轮复习学案函数的单调性与最值.docx
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届高考数学理第一轮复习学案函数的单调性与最值
第三节函数的单调性与最值
[知识能否忆起]
一、函数的单调性
1.单调函数的定义
增函数
减函数
定义
设函数f(x)的定义域为I.如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2
当x1 当x1 图象描述 自左向右看图象逐渐上升 自左向右看图象逐渐下降 2.单调区间的定义 若函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数,则称函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性,区间D叫做y=f(x)的单调区间. 二、函数的最值 前提 设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足 条件 ①对于任意x∈I,都有f(x)≤M; ②存在x0∈I,使得f(x0)=M ①对于任意x∈I,都有f(x)≥M; ②存在x0∈I,使得f(x0)=M 结论 M为最大值 M为最小值 [小题能否全取] 1.(2012·陕西高考)下列函数中,既是奇函数又是增函数的为( ) A.y=x+1 B.y=-x3 C.y=D.y=x|x| 解析: 选D 由函数的奇偶性排除A,由函数的单调性排除B、C,由y=x|x|的图象可知此函数为增函数,又该函数为奇函数,故选D. 2.函数y=(2k+1)x+b在(-∞,+∞)上是减函数,则( ) A.k>B.k< C.k>-D.k<- 解析: 选D 函数y=(2k+1)x+b是减函数, 则2k+1<0,即k<-. 3.(教材习题改编)函数f(x)=的最大值是( ) A.B. C.D. 解析: 选D ∵1-x(1-x)=x2-x+1=2+≥,∴0<≤. 4.(教材习题改编)f(x)=x2-2x(x∈[-2,4])的单调增区间为________;f(x)max=________. 解析: 函数f(x)的对称轴x=1,单调增区间为[1,4],f(x)max=f(-2)=f(4)=8. 答案: [1,4] 8 5.已知函数f(x)为R上的减函数,若m (1),则实数x的取值范围是______. 解析: 由题意知f(m)>f(n); >1,即|x|<1,且x≠0. 故-1 答案: > (-1,0)∪(0,1) 1.函数的单调性是局部性质 从定义上看,函数的单调性是指函数在定义域的某个子区间上的性质,是局部的特征.在某个区间上单调,在整个定义域上不一定单调. 2.函数的单调区间的求法 函数的单调区间是函数定义域的子区间,所以求解函数的单调区间,必须先求出函数的定义域.对于基本初等函数的单调区间可以直接利用已知结论求解,如二次函数、对数函数、指数函数等;如果是复合函数,应根据复合函数的单调性的判断方法,首先判断两个简单函数的单调性,再根据“同则增,异则减”的法则求解函数的单调区间. [注意] 单调区间只能用区间表示,不能用集合或不等式表示;如有多个单调区间应分别写,不能用并集符号“∪”联结,也不能用“或”联结. 函数单调性的判断 典题导入 [例1] 证明函数f(x)=2x-在(-∞,0)上是增函数. [自主解答] 设x1,x2是区间(-∞,0)上的任意两个自变量的值,且x1 则f(x1)=2x1-,f(x2)=2x2-, f(x1)-f(x2)=- =2(x1-x2)+ =(x1-x2) 由于x1 因此f(x1)-f(x2)<0, 即f(x1) 故f(x)在(-∞,0)上是增函数. 由题悟法 对于给出具体解析式的函数,证明其在某区间上的单调性有两种方法: (1)结合定义(基本步骤为取值、作差或作商、变形、判断)证明; (2)可导函数则可以利用导数证明.对于抽象函数单调性的证明,一般采用定义法进行. 以题试法 1.判断函数g(x)=在(1,+∞)上的单调性. 解: 任取x1,x2∈(1,+∞),且x1 则g(x1)-g(x2)=- =, 由于1 所以x1-x2<0,(x1-1)(x2-1)>0, 因此g(x1)-g(x2)<0,即g(x1) 故g(x)在(1,+∞)上是增函数. 求函数的单调区间 典题导入 [例2] (2012·长沙模拟)设函数y=f(x)在(-∞,+∞)内有定义.对于给定的正数k,定义函数fk(x)=取函数f(x)=2-|x|.当k=时,函数fk(x)的单调递增区间为( ) A.(-∞,0) B.(0,+∞) C.(-∞,-1)D.(1,+∞) [自主解答] 由f(x)>,得-1 所以f(x)= 故f(x)的单调递增区间为(-∞,-1). [答案] C 若本例中f(x)=2-|x|变为f(x)=log2|x|,其他条件不变,则fk(x)的单调增区间为________. 解析: 函数f(x)=log2|x|,k=时,函数fk(x)的图象如图所示,由图示可得函数fk(x)的单调递增区间为(0,]. 答案: (0,] 由题悟法 求函数的单调区间的常用方法 (1)利用已知函数的单调性,即转化为已知函数的和、差或复合函数,求单调区间. (2)定义法: 先求定义域,再利用单调性定义. (3)图象法: 如果f(x)是以图象形式给出的,或者f(x)的图象易作出,可由图象的直观性写出它的单调区间. (4)导数法: 利用导数的正负确定函数的单调区间. 以题试法 2.函数f(x)=|x-2|x的单调减区间是( ) A.[1,2]B.[-1,0] C.[0,2]D.[2,+∞) 解析: 选A 由于f(x)=|x-2|x= 结合图象可知函数的单调减区间是[1,2]. 单调性的应用 典题导入 [例3] (1)若f(x)为R上的增函数,则满足f(2-m) (2)(2012·安徽高考)若函数f(x)=|2x+a|的单调递增区间是[3,+∞),则a=________. [自主解答] (1)∵f(x)在R上为增函数,∴2-m ∴m2+m-2>0.∴m>1或m<-2. (2)由f(x)=可得函数f(x)的单调递增区间为,故3=-,解得a=-6. [答案] (1)(-∞,-2)∪(1,+∞) (2)-6 由题悟法 单调性的应用主要涉及利用单调性求最值,进行大小比较,解抽象函数不等式,解题时要注意: 一是函数定义域的限制;二是函数单调性的判定;三是等价转化思想与数形结合思想的运用. 以题试法 3. (1)(2013·孝感调研)函数f(x)=在[2,3]上的最小值为________,最大值为________. (2)已知函数f(x)=-(a>0,x>0),若f(x)在上的值域为,则a=__________. 解析: (1)∵f′(x)=-<0,∴f(x)在[2,3]上为减函数,∴f(x)min=f(3)==,f(x)max==1. (2)由反比例函数的性质知函数f(x)=-(a>0,x>0)在上单调递增, 所以即解得a=. 答案: (1) 1 (2) 1.(2012·广东高考)下列函数中,在区间(0,+∞)上为增函数的是( ) A.y=ln(x+2) B.y=- C.y=xD.y=x+ 解析: 选A 选项A的函数y=ln(x+2)的增区间为(-2,+∞),所以在(0,+∞)上一定是增函数. 2.若函数f(x)=4x2-mx+5在[-2,+∞)上递增,在(-∞,-2]上递减,则f (1)=( ) A.-7B.1 C.17D.25 解析: 选D 依题意,知函数图象的对称轴为x=-==-2,即m=-16,从而f(x)=4x2+16x+5,f (1)=4+16+5=25. 3.(2013·佛山月考)若函数y=ax与y=-在(0,+∞)上都是减函数,则y=ax2+bx在(0,+∞)上是( ) A.增函数B.减函数 C.先增后减D.先减后增 解析: 选B ∵y=ax与y=-在(0,+∞)上都是减函数,∴a<0,b<0,∴y=ax2+bx的对称轴方程x=-<0,∴y=ax2+bx在(0,+∞)上为减函数. 4.“函数f(x)在[a,b]上为单调函数”是“函数f(x)在[a,b]上有最大值和最小值”的( ) A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 解析: 选A 若函数f(x)在[a,b]上为单调递增(减)函数,则在[a,b]上一定存在最小(大)值f(a),最大(小)值f(b).所以充分性满足;反之,不一定成立,如二次函数f(x)=x2-2x+3在[0,2]存在最大值和最小值,但该函数在[0,2]不具有单调性,所以必要性不满足,即“函数f(x)在[a,b]上单调”是“函数f(x)在[a,b]上有最大值和最小值”的充分不必要条件. 5.(2012·青岛模拟)已知奇函数f(x)对任意的正实数x1,x2(x1≠x2),恒有(x1-x2)(f(x1)-f(x2))>0,则一定正确的是( ) A.f(4)>f(-6)B.f(-4) C.f(-4)>f(-6)D.f(4) 解析: 选C 由(x1-x2)(f(x1)-f(x2))>0知f(x)在(0,+∞)上递增,所以f(4) 6.定义在R上的函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y),当x<0时,f(x)>0,则函数f(x)在[a,b]上有( ) A.最小值f(a)B.最大值f(b) C.最小值f(b)D.最大值f 解析: 选C ∵f(x)是定义在R上的函数,且 f(x+y)=f(x)+f(y), ∴f(0)=0,令y=-x,则有f(x)+f(-x)=f(0)=0. ∴f(-x)=-f(x).∴f(x)是R上的奇函数.设x1 =f(x1-x2)>0. ∴f(x)在R上是减函数.∴f(x)在[a,b]有最小值f(b). 7.函数y=-(x-3)|x|的递增区间是________. 解析: y=-(x-3)|x| = 作出该函数的图象,观察图象知递增区间为. 答案: 8.(2012·台州模拟)若函数y=|2x-1|,在(-∞,m]上单调递减,则m的取值范围是________. 解析: 画出图象易知y=|2x-1|的递减区间是(-∞,0], 依题意应有m≤0. 答案: (-∞,0] 9.若f(x)=在区间(-2,+∞)上是增函数,则a的取值范围是________. 解析: 设x1>x2>-2,则f(x1)>f(x2), 而f(x1)-f(x2)=- = =>0,则2a-1>0. 得a>. 答案: 10.求下列函数的单调区间: (1)y=-x2+2|x|+1; (2)y=a1-2x-x2(a>0且a≠1). 解: (1)由于y= 即y= 画出函数图象如图所示,单调递增区间为(-∞,-1]和[0,1],单调递减区间为[-1,0]和[1,+∞). (2)令g(x)=1-2x-x2=-(x+
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- 高考 学理 第一轮 复习 函数 调性
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