高中数学有关圆椭圆双曲线抛物线的详细知识点.docx
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高中数学有关圆椭圆双曲线抛物线的详细知识点
<一>圆的方程
(x-a)^2+(y-b)^2=r^2,圆心O(a,b),半径r。
(1)圆的一般式方程:
x^2+y^2+Dx+Ey+F=0
此方程可用于解决两圆的位置关系:
配方化为标准方程:
(x+D/2)^2.+(y+E/2)^2=(D^2+E^2-4F)/4
其圆心坐标:
(-D/2,-E/2)
半径为r=√[(D^2+E^2-4F)]/2
此方程满足为圆的方程的条件是:
D^2+E^2-4F>0
若不满足,则不可表示为圆的方程
(2)点与圆的位置关系 点P(X1,Y1)与圆(x-a)^2+(y-b)^2=r^2的位置关系:
⑴当(x1-a)^2+(y1-b)^2>r^2时,则点P在圆外。
⑵当(x1-a)^2+(y1-b)^2=r^2时,则点P在圆上。
⑶当(x1-a)^2+(y1-b)^2 圆与直线的位置关系判断 平面内,直线Ax+By+C=0与圆x^2+y^2+Dx+Ey+F=0的位置关系判断一般方法是: 1.由Ax+By+C=0,可得y=(-C-Ax)/B,(其中B不等于0),代入x^2+y^2+Dx+Ey+F=0,即成为一个关于x的一元二次方程f(x)=0。 利用判别式b^2-4ac的符号可确定圆与直线的位置关系如下: 如果b^2-4ac>0,则圆与直线有2交点,即圆与直线相交。 如果b^2-4ac=0,则圆与直线有1交点,即圆与直线相切。 如果b^2-4ac<0,则圆与直线有0交点,即圆与直线相离。 2.如果B=0即直线为Ax+C=0,即x=-C/A,它平行于y轴(或垂直于x轴),将x^2+y^2+Dx+Ey+F=0化为(x-a)^2+(y-b)^2=r^2。 令y=b,求出此时的两个x值x1、x2,并且规定x1 当x=-C/A 当x1 半径r,直径d 在直角坐标系中,圆的解析式为: (x-a)^2+(y-b)^2=r^2; x^2+y^2+Dx+Ey+F=0 =>(x+D/2)^2+(y+E/2)^2=(D^2+E^2-4F)/4 =>圆心坐标为(-D/2,-E/2) 其实只要保证X方Y方前系数都是1 就可以直接判断出圆心坐标为(-D/2,-E/2) 这可以作为一个结论运用的 且r=根号(圆心坐标的平方和-F) <二>椭圆的标准方程 椭圆的标准方程分两种情况: 当焦点在x轴时,椭圆的标准方程是: x^2/a^2+y^2/b^2=1,(a>b>0); 当焦点在y轴时,椭圆的标准方程是: y^2/a^2+x^2/b^2=1,(a>b>0); 其中a>0,b>0。 a、b中较大者为椭圆长半轴长,较短者为短半轴长(椭圆有两条对称轴,对称轴被椭圆所截,有两条线段,它们的一半分别叫椭圆的长半轴和短半轴或半长轴和半短轴)当a>b时,焦点在x轴上,焦距为2*(a^2-b^2)^0.5,焦距与长、短半轴的关系: b^2=a^2-c^2,准线方程是x=a^2/c和x=-a^2/c,c为椭圆的半焦距。 又及: 如果中心在原点,但焦点的位置不明确在X轴或Y轴时,方程可设为mx^2+ny^2=1(m>0,n>0,m≠n)。 即 F点在Y轴 标准方程的统一形式。 椭圆的面积是πab。 椭圆可以看作圆在某方向上的拉伸,它的参数方程是: x=acosθ,y=bsinθ 标准形式的椭圆在(x0,y0)点的切线就是: xx0/a^2+yy0/b^2=1。 椭圆切线的斜率是: -by0/ax0,这个可以通过很复杂的代数计算得到。 椭圆的一般方程 Ax^2+By^2+Cx+Dy+E=0(A>0,B>0,且A≠B)。 椭圆的参数方程 x=acosθ,y=bsinθ。 椭圆的极坐标方程 (一个焦点在极坐标系原点,另一个在θ=0的正方向上) r=a(1-e^2)/(1-ecosθ) (e为椭圆的离心率) 平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数2a(2a>|F1F2|)的动点P的轨迹叫做椭圆。 即: │PF1│+│PF2│=2a 其中两定点F1、F2叫做椭圆的焦点,两焦点的距离│F1F2│=2c<2a叫做椭圆的焦距。 长轴长|A1A2|=2a;短轴长|B1B2|=2b。 第二定义 平面上到定点F的距离与到定直线的距离之比为常数e(即椭圆的离心率,e=c/a)的点的集合(定点F不在定直线上,该常数为小于1的正数) 其中定点F为椭圆的焦点,定直线称为椭圆的准线(该定直线的方程是x=±a^2/c[焦点在X轴上];或者y=±a^2/c[焦点在Y轴上])。 椭圆的面积公式 S=π(圆周率)×a×b(其中a,b分别是椭圆的长半轴,短半轴的长)。 或S=π(圆周率)×A×B/4(其中A,B分别是椭圆的长轴,短轴的长)。 椭圆的周长公式 椭圆周长没有公式,有积分式或无限项展开式。 椭圆周长(L)的精确计算要用到积分或无穷级数的求和。 如 L=∫[0,π/2]4a*sqrt(1-(e*cost)²)dt≈2π√((a²+b²)/2)[椭圆近似周长],其中a为椭圆长半轴,e为离心率 椭圆离心率的定义为椭圆上焦距与长轴的比值,(范围: 大于0小于1) 椭圆的准线方程 x=±a^2/c 椭圆的离心率公式 e=c/a(0 离心率越大,椭圆越扁平;离心率越小,椭圆越接近于圆形。 椭圆的焦准距: 椭圆的焦点与其相应准线(如焦点(c,0)与准线x=+a^2/c)的距离为b^2/c 椭圆焦半径公式 焦点在x轴上: |PF1|=a+ex|PF2|=a-ex(F1,F2分别为左右焦点) 椭圆过右焦点的半径r=a-ex 过左焦点的半径r=a+ex 焦点在y轴上: |PF1|=a-ey|PF2|=a+ey(F1,F2分别为上下焦点) 椭圆的通径: 过焦点的垂直于x轴(或y轴)的直线与椭圆的两交点A,B之间的距离,数值=2b^2/a 椭圆的斜率公式 过椭圆上x^2/a^2+y^2/b^2=1上一点(x,y)的切线斜率为-(b^2)X/(a^2)y 三角形面积公式 若有一三角形两个顶点在椭圆的两个焦点上,且第三个顶点在椭圆上 那么若∠F1PF2=θ,则S=(b^2)tan(θ/2)。 椭圆的曲率公式 K=ab/[(b^2-a^2)(cosθ)^2+a^2]^(3/2) 编辑本段点、直线与椭圆的关系 点与椭圆位置关系 点M(x0,y0)椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1 点在圆内: x0^2/a^2+y0^2/b^2<1 点在圆上: x0^2/a^2+y0^2/b^2=1 点在圆外: x0^2/a^2+y0^2/b^2>1 直线与椭圆位置关系 y=kx+m① x^2/a^2+y^2/b^2=1② 由①②可推出x^2/a^2+(kx+m)^2/b^2=1 相切△=0 相离△<0无交点 相交△>0可利用弦长公式: A(x1,y1)B(x2,y2) |AB|=d=√(1+k^2)[(x1+x2)^2-4x1*x2]=√(1+1/k^2)[(y1+y2)^2-4x1*x2] 编辑本段椭圆参数方程的应用 求解椭圆上点到定点或到定直线距离的最值时,用参数坐标可将问题转化为三角函数问题求解 x=a×cosβ,y=b×sinβa为长轴长的一半 <三>双曲线 双曲线 双曲线(Hyperbola)是指与平面上两个定点的距离之差的绝对值为定值的点的轨迹,也可以定义为到定点与定直线的距离之比是一个大于1的常数的点之轨迹。 双曲线是圆锥曲线的一种,即圆锥面与平面的交截线。 双曲线在一定的仿射变换下,也可以看成反比例函数。 定义 定义: 我们把平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于一个常数(常数为2a)的轨迹称为双曲线。 定义1: 平面内,到两个定点的距离之差的绝对值为常数(小于这两个定点间的距离[1])的点的轨迹称为双曲线。 定点叫双曲线的焦点 定义2: 平面内,到给定一点及一直线的距离之比为大于1的常数的点的轨迹称为双曲线。 定点叫双曲线的焦点,定直线叫双曲线的准线 定义3: 一平面截一圆锥面,当截面与圆锥面的母线不平行,且与圆锥面的两个圆锥都相交时,交线称为双曲线。 定义4: 在平面直角坐标系中,二元二次方程f(x,y)=ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0满足以下条件时,其图像为双曲线。 1.a、b、c不都是零. 2.b^2-4ac>0. 双曲线的标准方程 1,焦点在X轴上时为: x^2/a^2-y^2/b^2=1 2,焦点在Y轴上时为: y^2/a^2-x^2/b^2=1 双曲线的简单几何性质 1、轨迹上一点的取值范围: │x│≥a(焦点在x轴上)或者│y│≥a(焦点在y轴上)。 2、对称性: 关于坐标轴和原点对称。 3、顶点: A(-a,0),A'(a,0)。 同时AA'叫做双曲线的实轴且│AA'│=2a. B(0,-b),B'(0,b)。 同时BB'叫做双曲线的虚轴且│BB'│=2b. F1(-c,0)F2(c,0).F1为双曲线的左焦点,F2为双曲线的右焦点且│F1F2│=2c 对实轴、虚轴、焦点有: a^2+b^2=c^2 4、渐近线: 焦点在x轴: y=±(b/a)x. 焦点在y轴: y=±(a/b)x.圆锥曲线ρ=ep/1-ecosθ当e>1时,表示双曲线。 其中p为焦点到准线距离,θ为弦与x轴夹角。 令1-ecosθ=0可以求出θ,这个就是渐近线的倾角。 θ=arccos(1/e) 5、离心率: 第一定义: e=c/a且e∈(1,+∞). 第二定义: 双曲线上的一点P到定点F的距离│PF│与点P到定直线(相应准线)的距离d的比等于双曲线的离心率e. d点│PF│/d线(点P到定直线(相应准线)的距离)=e 6、双曲线焦半径公式 (圆锥曲线上任意一点P(x,y)到焦点距离) 左焦半径: r=│ex+a│ 右焦半径: r=│ex-a│ 7、等轴双曲线 一双曲线的实轴与虚轴长相等即: 2a=2b且e=√2 这时渐近线方程为: y=±x(无论焦点在x轴还是y轴) 8、共轭双曲线 双曲线S'的实轴是双曲线S的虚轴且双曲线S'的虚轴是双曲线S的实轴时,称双曲线S'与双曲线S为共轭双曲线。 几何表达: S: (x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1S': (y^2/b^2)-(x^2/a^2)=1 特点: (1)共渐近线;与渐近线平行得线和双曲线有且只有一个交点 (2)焦距相等 (3)两双曲线的离心率平方后的倒数相加等于1 9、准线: 焦点在x轴上: x=±a^2/c 焦点在y轴上: y=±a^2/c 10、通径长: (圆锥曲线中,过焦点并垂直于轴的弦) d=2b^2/a 11、过焦点的弦长公式: d=2pe/(1-e^2cos^2θ) 12、弦长公式: d=√(1+k^2)|x1-x2|=√(1+k^2)(x1-x2)^2=√(1+1/k^2)|y1-y2|=√(1+1/k^2)(y1-y2)^2 双曲线的标准公式与反比例函数 X^2/a^2-Y^2/b^2=1(a>0,b>0) 而反比例函数的标准型是xy=c(c≠0) 但是反比例函数图象确实是双曲线轨迹经过旋转得到的 13.双曲线内、上、外 在双曲线的两侧的区域称为双曲线内,则有x^2/a^2-y^2/b^2>1; 在双曲线的线上称为双曲线上,则有x^2/a^2-y^2/b^2=1; 在双曲线所夹的区域称为双曲线外,则有x^2/a^2-y^2/b^2<1。 双曲线参数方程 双曲线的参数方程: x=a*secθ(正割)y=b*tanθ(a为实半轴长,b为虚半轴长,θ为参数。 ) <四>抛物线 平面内,到一个定点F和一条定直线l距离相等的点的轨迹(或集合)称之为抛物线。 抛物线的标准方程 y2=2px(p>0)(开口向右); y2=-2px(p>0)(开口向左); x2=2py(p>0)(开口向上); x2=-2py(p>0)(开口向下); 在抛物线y2=4cx(c>0)中,焦点是F(c,0),准线l的方程是x=−c; 在抛物线y2=-4cx(c>0)中,焦点是F(-c,0),准线l的方程是x=c; 在抛物线x2=4cy(c>0)中,焦点是F(0,c),准线l的方程是y=−c; 在抛物线x2=-4cy(c>0)中,焦点是F(0,-c),准线l的方程是y=c;[1] (c=焦点至顶点之距离的绝对值) 依据基础定义的公式 抛物线上任意点P(x,y)至准线ax+by+c之距离与P至焦点C(C1,C2)的距离恒等, 故得: 抛物线
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