点线面位置关系例题与练习含答案.docx

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点线面位置关系例题与练习含答案

点、线、面的位置关系

●知识梳理

（一）.平面

公理1：

如果一条直线上有两点在一个平面内，那么直线在平面内。

公理2：

不共线的三点确定一个平面.．．．推论1：

直线与直线外的一点确定一个平面.推论2：

两条相交直线确定一个平面.推论3：

两条平行直线确定一个平面.

公理3：

如果两个平面有一个公共点，那么它们还有公共点，这些公共点的集合是一条直线

（二）空间图形的位置关系

1.空间直线的位置关系：

相交，平行，异面

1.1平行线的传递公理：

平行于同一条直线的两条直线互相平行。

1.2等角定理：

如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补。

1.3异面直线定义：

不同在任何一个平面内的两条直线——异面直线；

?

?

?

?

900?

?

；1.4异面直线所成的角：

（1）范围：

（2）作异面直线所成的角：

平移法.

2.直线与平面的位置关系：

包含，相交，平行

3.平面与平面的位置关系：

平行，相交

（三）平行关系（包括线面平行，面面平行）

1.线面平行：

①定义：

直线与平面无公共点.

?

//a?

a//b?

?

②判定定理：

③性质定理：

?

?

?

a?

//ba?

?

//?

aa?

?

?

?

?

?

?

b?

?

?

b?

?

2.线面斜交：

①直线与平面所成的角（简称线面角）：

若直线与平面斜交，则平面的斜线与该斜线在平面?

?

?

?

900?

?

内射影的夹角。

范围：

?

?

?

?

//?

?

?

；面面平行：

①定义：

3.

②判定定理：

如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么两个平面互相平行；

?

?

?

?

?

////?

b//,b?

b,a?

O,aa符号表述：

?

?

?

?

//?

a?

a?

.

符号表述：

判定2：

垂直于同一条直线的两个平面互相平行.?

?

//?

?

?

//?

?

?

?

?

?

a//?

ab//a?

））；（2③面面平行的性质：

（1?

?

?

?

a?

?

?

?

b?

?

（四）垂直关系（包括线面垂直，面面垂直）

1.线面垂直①定义：

若一条直线垂直于平面内的任意一条直线，则这条直线垂直于平面。

?

?

?

?

a?

l?

al?

l.

，则符号表述：

若任意都有，且

?

?

ba?

?

O?

ab

?

?

?

?

?

?

?

?

l?

lal?

a,?

l?

?

（②判定：

1（）；2）③性质：

?

?

al?

?

b?

l?

?

?

?

?

a//b?

a?

b,；

3.2面面斜交①二面角：

（1）定义：

【如图】?

?

的平面角?

－lOA?

l?

?

AOB是二面角OB?

l,?

AOB?

[0?

180?

]范围：

②作二面角的平面角的方法：

（1）定义法；

（2）三垂线法（常用）；（3）垂面法.

?

?

?

?

?

l?

?

?

90；的平面角为3.3面面垂直

（1）定义：

若二面角，则

?

?

a?

?

?

?

?

2）判定定理：

（?

?

?

a?

?

?

?

?

?

?

ABa?

?

?

?

?

?

?

a?

?

MON?

90MON?

?

，则②，二面角的一个平面角为（3）性质：

①若；?

?

?

a?

?

ABa?

?

●热点例析

【例1】热点一有关线面位置关系的组合判断

ababl，则（）β＝．?

α，?

β若，，α是两条异面直线，α，β是两个不同平面，∩lab分别相交，A．与lab都不相交．，与Blab中一条相交．，至多与Clab中的一条相交．，至少与Dlablalbababl至少与∥解析：

假设与与，从而，是异面直线矛盾，故均不相交，则∥∥，，ab中的一条相交．选，D.

热点二线线、线面平行与垂直的证明

ABCDABCDDDABCDABCDABADAD，－⊥平面＝，底面中，【例2】如图，在四棱台2是平行四边形，11111ABBAD＝60°.＝，∠11

BDAA⊥

（1）证明：

；1．BDCCA∥平面

（2）证明：

11BDDDDDABCDBDABCD.⊥平面⊥，且方法一：

因为，所以?

平面

（1）11ABDADBADAB，∠中，由余弦定理得又因为＝2＝60°，在△2222ADADBDABADAB－23＝·，＋cos60°＝222DDADDADBDABADBD＋∩＝，.所以⊥＝.所以又1ABDADD.

⊥平面所以11BDAAADDAAA.

又?

平面，故⊥1111ABCDABCDBDDD，（方法二：

因为如图⊥平面），且?

平面1DDBD.

所以⊥1

DGGAB．）如图（，连接的中点取．

ABDABADAGAD.中，由得＝2在△＝BAD＝60°，又∠ADGGDGB，所以△＝为等边三角形，因此DBGGDB.

故∠＝∠AGDGDB＝30°，＝60°，所以∠又∠ADBADGGDB＝60°＋30°＝90°，故∠＋∠＝∠BDAD.

所以⊥ADDDDBDADDA.＝又⊥平面∩，所以111AAADDAAABD.⊥平面又，故?

1111ACAC.

（2）如图，连接，11

EABDEAC.

＝∩设，连接11ABCDECAC.

因为四边形＝为平行四边形，所以

2ABADABACECACEC，知由棱台定义及∥＝2＝＝2且111111AECC为平行四边形．所以四边形11CCEA.

因此∥11?

ABDABDCCEA，，平面平面又因为?

1111CCABD.

∥平面所以11热点三面面平行与垂直的证明

ABCDADBCABBCADBCPABCDPAPB，为平面＝＝2，【例3】在直角梯形外一点，且中，＝∥，4⊥，，PDPCNCD的中点．为，＝

ABCDPCD⊥平面；求证：

平面

（1）EABPPCENE点的位置；若不存上是否存在一点∥平面在线段使得？

若存在，说明理由并确定

（2）在，请说明理由．MNPNMPMAB，连接，，

（1）证明：

取，中点CDABPNPM.

，⊥则⊥

ABMNBCABCDAB.又，∴为直角梯形，⊥⊥PMNABMNMPM.＝∩⊥平面，∴∵PNPMNABPN.

，∴⊥又?

平面ABCDPNABCD.

与∵相交，∴⊥平面ABCDPCDPNPCD.

⊥平面，∴平面平面?

又．

11PCPBEFBFBPCECPEFMFNE，＝上分别取点，，使，连接＝，，

（2）解：

假设存在．在，，

443EFBCEFBC＝则3.

∥＝且可求得

4MNMNBCEFMNEFMN.，∴且∵＝3且∥∥＝MNEFENFM.为平行四边形，∴∴四边形∥FMPAB，?

又∵平面1PCENEABPCEPC.

∥平面∴在线段＝上存在一点，此时使得

4

热点四折叠问题

?

AB，中，AP//BC，AP例4如图所示，在直角梯形ABCP1AP?

2?

PCD、、，，沿CDCBGAB=BC=分别为PC的中点，将PD，D是AP的中点，E折起，使F

2PD?

平面ABCD得．

（Ⅰ）求证：

AP//平面EFG；

P

D?

G?

EF的大小．）（Ⅱ求二面角

FPDA

F

E

D

A

E

C

B

G

GBC

．AC,BD:

连交于O点,连GO,FO,EO:

解（Ⅰ）证明11CDCDGOGOEF?

EF同理////,分别为PC,PD的中点,∴//,∵E,F

22

?

EO?

?

平面EFOG．四边形EFOG是平行四边形,

?

PA//EO

PC,AC的中点又在三角形PAC中,E,O分别为?

?

EO平面EFOG,平面EFOG,PA

?

PA//平面EFOG,即PA//平面EFG．

方法二）连AC,BD交于O点,连GO,FO,EO．

11CDPBGEEF//,∴同理//,PC,PDE,F∵分别为的中点

22

1ABCDEF?

又//AB,//

2

?

B,EEG?

EF?

PB?

AB?

PAB,平面EFG//平面?

//PA?

平面EFGPA又．平面PAB,xyz?

DDPDA,DC,为方向向量建立空间直角坐标系为原点D,以．方法三）如图以:

则有关点及向量的坐标为?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

.2,00,0,1,1C,0,2,0F,G1,2,0A,EP0,0,10,0,2,

?

?

?

?

?

?

1,EG?

10,1,,2,EF?

?

?

0,1AP?

?

2,0

?

?

zn?

x,yEFG的法向量为设平面?

0?

0?

ynx?

z?

EF?

?

?

?

.?

?

?

?

?

?

0?

?

0yx?

y?

z?

?

?

0EG?

n?

?

?

?

10n?

1,取．?

AP?

0?

?

2n?

0?

0?

1?

2An?

?

1,∵?

AP?

平面又EFG．平面EFG．AP//DCAD?

?

PD?

ABCDABCD,Ⅱ）由已知底面又∵是正方形面（DCD?

PD?

PD?

AD?

又?

DDA0,2,0?

?

AD?

PCDPCD平面,,的一个法向量向量=是平面?

?

n01,,?

EFG的法向量为又由（Ⅰ）方法三）知平面2Dn

.?

cosDA,n?

?

?

222n?

DA0.45DEF?

G?

结合图知二面角的平面角为

热点五线线角线面角面面角●

6ABCDABCD?

PPA与底面中，侧棱例5正四棱锥所成角的正切值为。

2ABCDPAD所成二面角的大小；

（1）求侧面与底面AE所成角的正切值；中点，求异面直线PD与E

（2）若是PB?

PAD的位置，并加以证明。

。

试确定点EFF，使得F侧面PBC（3）在侧面上寻找一点BDAC,ABCDOPA所成的角，∠PAO就是与底面，∴⊥面）连（1，则交于点，连POPOABCD6。

PAO=tan∴∠

2．

3。

tan∠PAO=

设AB=1，则PO=AO?

2ABCD?

PFOPAD与底面就是侧面，则OF⊥AD，所以，PF⊥AD，所以，设F为AD中点，连FO、PO所成二面角的平面角。

?

PO?

PFO?

tan?

?

3?

PFOPFO?

中，，∴在Rt。

3FO?

ABCDPAD与底面所成二面角的大小为即面

31//PDEO）的作法可知：

O为BD中点，又因为E为PD中点，所以，。

（2）由（1

?

2EOD?

所成的角。

就是异面直线PD与∴AE5522?

?

ODPOPD?

?

EOPDO?

在Rt中，。

∴。

24EO?

POAO?

AOAO?

BDAO?

PBD。

所以，由面。

可知：

，AOE?

，中在RtP

10AO2?

tan?

AEO?

。

5EO成的角的与AE所∴异面直线PD102正切是。

H

5EGFOBC连接交于点（3）延长，PGPGH中点，连接。

设为CDGH,EH。

GABCD?

P为四棱锥∵正四棱锥OFKGBCADF为且中点，中为所以，BA点，FG?

PGBCBC?

，。

∴

PFG面面PFGBC?

PBC∴面⊥。

。

∴?

?

PFO?

PFGPG?

PF?

，，∴为正三角形。

∵

3PBC面?

FHPG?

FH。

，∴∴FH////FKKEHEHEKFHE?

FK。

为平行四边形，及得四边形所以，，连EK，则由K取AF中点为PBC?

KE面。

∴学生练习●一、选择题?

?

?

nm,,,1．设是两条不同的直线，是三个不同的平面，给出下列四个命题：

?

?

?

?

?

?

?

?

nm?

?

m////?

/n?

m/m，则，，②若，则，①若

?

?

?

?

?

?

?

?

//?

?

n//m//m//n，则，，则③若④若，

其中正确命题的序号是（）

A．①和②B．②和③C．③和④D．①和④

a,b,c，则长方体体对角线长为（2．若长方体的三个面的对角线长分别是）

1

222222c?

a?

bca?

?

bA．B．2

32222222c?

ba?

c?

ab?

．．DC220,?

ABC?

30BCD,BD?

DC,BD?

DC,AC?

a?

ACA?

BCDC底面,中到平面3,则点．在三棱锥ABD的距离是（）

11．DA．B．5355ABCD?

ABCDACCEE垂直于（中，若）是4．在正方体的中点，则直线111111ADADACBD．C．DA．B．111P?

ABCABCPHH的（的高为），若三个侧面两两垂直，则5．三棱锥为△A．内心B．外心C．垂心D．重心

2A?

CD?

BABCDAC1的余弦值为（在四面体中，已知棱的长为），其余各棱长都为，则二面角6．

2311．DCA．．B．

3323aE,FSCABCS?

AB的中点，和中，各个侧面都是边长为四面体分别是的正三角形，则异面直线7．SAEF所成的角等于（）与000030456090．DC．A．B．二、填空题?

?

BA,cm64cmMAB为平面别分为的和距则，线段的中点到离离点1．面到平的距．________________________。

．从正方体的八个顶点中任取三个点为顶点作三角形，其中直角三角形的个数为2060，则此直线和平面内不经过斜足的所有直线所成的角中最大的角3．一条直线和一个平面所成的角为____________．是

6212，则侧面4．正四棱锥（顶点在底面的射影是底面正方形的中心）的体积为，底面对角线的长为。

_____与底面所成的二面角等于

AB?

4,PA?

8ABCP?

A作与,过5．在正三棱锥（顶点在底面的射影是底面正三角形的中心）中，PB,PCDE?

ADE的周长的最小值是的截面，则截面分别交于________

和三、解答题

PABCDABCDADCADACOAC的中1＝45°，1．如图，在四棱锥，－＝中，底面为为平行四边形，∠＝POABCDPOMPD的中点．，为＝点，2⊥平面，

ACMPB∥平面

（1）证明：

；．PACAD

（2）证明：

⊥平面

2．在正三棱柱ABC－ABC中，E∈BB，截面AEC与侧面AACC所成角为90°.1111111

（1）求证：

BE＝BE；1

（2）若AA＝AB，求平面AEC与平面ABC所成二面角的大小．1111111

PABCDPDABCDABCDPDDCADEPC的中，为＝43如图，在四棱锥－，中，⊥平面＝，底面为矩形，2＝点．

PCAD

（1）求证：

；⊥PDEA－的体积；

（2）求三棱锥AMEDMMACPA的长；若不存在，请说明理由．（3）在上是否存在一点，使得∥平面？

若存在，求出

答案一、选择题

?

?

m//n/m///n，而同平行同一个平面的两条直线有三种位置关系1．A③若，则，

?

?

?

?

?

?

//?

?

，而同垂直于同一个平面的两个平面也可以相交，，则④若222222222cz?

?

a,y?

z?

b,x?

x?

yzy,x,C设同一顶点的三条棱分别为，则2．

211222222222222c?

ab（a?

b?

c?

）?

c?

）（x?

y?

z?

a?

b，则对角线长为得

222V?

V作等积变换3．BABD?

A?

BCDCCEABCDBD上的射影在平面垂直于4．B

BC?

PA?

BC?

AH5．C

33EF12?

?

cos?

BFBE,?

EF?

?

CDACFE，取的中点取，的中点C6．

222BF3

2a0EFa?

45?

?

EFG?

GFGE?

SFCSBG中，取，在△的中点，则，7．C

22二、填空题A,Bcmcm15在平面的同侧和异侧两种情况或分1.

486?

46?

444个2.个；每个对角面有每个表面有个，共个，共090垂直时最大3.

60度4.

''A,E,A,DBCAA//ABC?

PPA沿着共线，且将正三棱锥侧面展开，则5.11

三、解答题：

略ABCDBDMO，中，连接.在平行四边形

（1）1．证明：

BDOOAC因为为为的中点，所以的中点．MOPBMPD.为∥的中点，所以又?

ACMACMPBMO，因为，?

平面平面ACMPB.

所以∥平面ACADADC，

（2）因为∠＝＝45°，且1＝ACADDAC.所以∠⊥＝90°，即

ADPOABCDPOADABCD.⊥平面，平面?

⊥，所以又

PACOACPOAD.，所以∩而＝⊥平面

，EG⊥面AC于G2[解析]

（1）取AC中点F，作111EG∥BF?

1?

之中点．?

G为AC?

BEGF为平行四边形?

FG⊥AC1111FG∥∥面AC?

BEBE?

11.

∴BE＝BE从而E为BB之中点．11点，连结，交CC于Q，交A的中心，过G作直线平行于ACAA于点P

（2）由

（1）知G为矩形ACC111111AEC与平面PEQ所成的角，EQ，则平面ABC∥平面PEQ，即求平面EP，111.45°GP＝AB，则ACCA为正方形，则∠A交线为∵EG，∴其平面角为∠AGP，因AA＝1111111

．PDADPDABCD证明：

因为，所以⊥平面⊥3．

（1）

．ADCDABCD是矩形，所以又因为四边形⊥．ADPCDPDCDD，所以＝因为⊥平面∩

．PCPCPCDAD平面⊥又因为，所以?

PCDAD⊥平面

（1）知，解：

（2）由PDEAAD－是三棱锥的高．所以

DCEPCPD＝因为＝为4的中点，且，

111?

?

?

?

SS×4×44.＝×＝所以＝

PDCPDE△△?

?

222811SVADAD.

＝×2×4＝2，所以·又＝＝

PDEAPDE△－333

DMEMACM，，连接解：

（3）取，的中点

ACMEPC因为是为的中点，的中点，．PAEM所以∥

DEMPADEMEMPAEDM.

，所以?

平面又因为平面?

∥平面，1112222DCACAMAD＝5，＝＋2＝＋4此时＝

222EDMPAACMAM的长为即在上存在一点，使得∥平面，且5.