34行测数学运算平均数问题解题技巧.docx
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34行测数学运算平均数问题解题技巧
【“平均数”问题解题技巧】
甲班和乙班,在数学期终考试中,考一样的题目,哪一个班考得好呢?
把每一个班所有人的得分加起来,然后除以这个班的人数,就得出这个班的平均分数.哪一个班平均分数高,就算哪一个班考得好.
篮球队员的身材都很高,一个队里还是有高有矮,哪个篮球队身材更高呢?
把一个队所有队员的身高数加起来,再除以全队人数,就算出这个队的平均身高.通常,用平均身高来衡量一个球队的身材高矮.
要衡量"若干个数"的大小,常用的办法就是求它们的平均值.
求平均值有两种方法,我们通过一个例子来说明.
例1一学期中进行了五次数学测验,小明的得分是
95,87,94,100,98.
那么他的平均成绩是多少?
解:
方法1把所有分数加起来,除以次数,即
(95+87+94+100+98)÷5=94.8.
方法2先设一个基数,通常设其中最小的数,例如本题设87为基数,求其他数与87的差,再求这些差的平均值,最后加上基数,即
[(95-87)+(87-87)+(94-87)+(100-87)+(98-87)]÷5+87
=(8+0+7+13+11)÷5+87
=7.8+87
=94.8.
对若干个数求平均数,概括成以下两种方法.
方法1:
各个数的总和÷数的个数
方法2:
基数+每一数与基数的差求和÷数的个数.
这两种方法将形成两种解题思路.
方法2的好处是使计算的数值减小,减少计算量,特别便于心算.当然,也可以设其他的数为基数.进入中学后,学了负数,我们还可以设中间的那个数作为基数.方法2启示我们,求平均数就是把数之间的"差"扯平.
一、一些简单的问题
求平均数可以产生许多数学题,这一节将通过一些简单的例子,增加对"平均"这一概念的理解.
例2小明4次语文测验的平均成绩是89分,第5次测验得了97分,5次测验的平均成绩是多少?
解:
按照例1中的两种思路,有两种计算方法:
先算出5次成绩的总和,再求平均成绩,就有
(89×4+97)÷5=90.6(分).
从算每一次"差"的平均入手,就有
89+(97-89)÷5=90.6(分).
很明显,第二种方法计算简易.
例3小强4次语文测验的平均成绩是87分,5次语文测验的平均成绩是88.4分,问第5次测验他得了多少分?
解:
两种思路,两种计算方法:
从总分数(总成绩)来考虑.
第5次成绩=5次总成绩-4次总成绩
=88.4×5-87×4
=94(分).
从"差的平均"来考虑,平均成绩要提高
88.4-87.
因此,第5次得分应是
87+(88.4-87)×5=94(分).
请大家想一想,例2与例3这两个问题之间的关系.
例4小明前几次数学测验的平均成绩是84分,这一次要考100分,才能把平均成绩提高到86分,问这一次是第几次测验?
解:
平均每次要提高(86-84)分,这一次比原来的平均成绩多了(100-84)分,平均分摊在每一次上,可以分摊多少次呢?
(100-84)÷(86-84)=8(次).
因此这一次测验是第8次.
例5寒假中,小明兴致勃勃地读《西游记》,第一天读83页,第二天读74页,第三天读71页,第四天读64页,第五天读的页数,比五天中平均读的页数还多3.2页,问小明在第五天读了多少页?
解:
前四天,每天平均读的页数是
(83+74+71+64)÷4=73(页).
很明显,第五天读的页数比73页多,由此平均数就增加了.为了便于思考,画出下面的示意图:
图上"73"后面的虚线,表示第五天后增加的平均数,现在要用3.2去补足这些增加的平均数值,3.2共要补足四份,每份是
3.5÷4=0.8.
由此就知道,第五天读的页数是
73+0.8+3.2=77(页).
例6甲、乙、丙三人,平均体重63千克.甲与乙的平均体重比丙的体重多3千克,甲比丙重2千克.求乙的体重.
解:
甲与乙的平均体重比丙的体重多3千克,也就是甲与乙的体重之和比两个丙的体重多3×2=6(千克).已知甲比丙重2千克,就得出乙比丙多
3×2-2=4(千克).
从方法2知道
丙的体重+差的平均=三人的平均体重.
因此,丙的体重=63-(3×2)÷3
=61(千克).
乙的体重=61+4=65(千克).
例7下面是一串有规律的数
5,9,13,17,21,25,29.
从小到大排到,后一个数与前一个数的差都是4,求这串数的平均数.
解:
上面共有7个数,第2个数比第1个数多4,而第6个数比第7个数少4.因此,第1个和第7个的平均数(5+29)÷2=17,与第2个和第6个的平均数(9+25)÷2=17是相等的.同样道理,第3个和第5个的平均数也是17.由此,可以得出这串数的平均数,就是头、尾两数的平均值17.
当把一些数排列好前后次序,相邻的两个数,后一个减前一个的差都相等,这列数,就称为等差数列.例7中的这串数就是一个等差数列.等差数列可长可短,不论它有多少数,总有一个基本性质:
它的所有数的平均数,就是头、尾两数的平均数.很明显,当等差数列有奇数个数时,这一平均数恰好是最中间的这个数.当等差数列有偶数个数时,这一平均数也就是最中间两个数的平均数.
利用这一性质,我们很容易求一个等差数列的所有数之和,它等于平均数乘以数的个数.例7中7个数之和是
(5+29)÷2×7=119.
例8小强在前五天平均每天做了3.6道数学题,第四、五两天共做了5题.第六天,为了使后三天的平均数超过六天的平均数,第六天他至少要做多少题?
解:
(前三天题数÷3+后三天题数÷3)÷2=六天题数÷6.
因此,只要后三天平均数超过前三天平均数,也就是后三天做的题数,比前三天做的题数多,后三天的平均数就超过六天平均数了.
前三天做的题数是
3.6×5-5=13(题).
第四、五天已做了5题,13-5=8,小强第六天至
少要做9题.
答:
小强第六天至少要做9题.
二、部分平均与全体平均
例9某次考试,21位男同学的平均成绩是82分,19位女同学的平均成绩是87分,全体同学的平均成绩是多少?
解:
有两种求法:
方法1
男同学的总分数82×21=1722,
女同学的总分数87×19=1653,
全体同学的总分数1722+1653=3375,
全体同学的人数21+19=40,
全体同学的平均成绩3375÷40=84.375.
方法2
以男同学的平均成绩82分作为计算的基数,女同学每人平均多(87-82)=5(分),19人多了5×19=95(分),现在平均分摊给全体40人.
因此,全体同学的平均成绩是
82+(87-82)×19÷40
=82+95÷40
=84.375(分).
注意从部分的平均数,来求全体的平均数,不能简单地把部分平均数再进行求平均,如例9,(82+87)÷2=83.5,它不是全体的平均成绩.这一基本概念,大家必须弄清楚.
例10甲班52人,乙班48人.语文考试中,两个班全体同学的平均成绩是78分,乙班的平均成绩要比甲班的平均成绩高5分.两个班的平均成绩各是多少?
解:
两个班的全体人数是
52+48=100(人).
他们的分数总和是
78×100=7800(分).
以甲班同学的平均成绩为基数,乙班每人平均多了5分,如果乙班的分数总和少了5×48=240(分),乙班的平均成绩就与甲班的一样,因此甲班的平均成绩是
(7800-240)÷100=75.6(分).
乙班的平均成绩是
75.6+5=80.6(分).
例11女同学的人数是男同学人数的一半,男同学的平均体重是41千克,女同学的平均体重是35千克,全体同学的平均体重是多少千克?
解:
题目没有告诉我们女同学或男同学有多少人,怎么办?
设全体女同学是1组人,那么男同学就是2组人.
女同学的体重总和:
35×1组人数.
男同学的体重总和:
41×2组人数.
全体总人数:
(1+2)组人数.
全体同学平均体重是
(35×1+41×2)÷(1+2)=39(千克).
上面算式中每一项都有“组人数”,因此可以约掉.实际上和“1个女同学与2个男同学”的情形一样.
还有一种计算方法,以女同学体重为基数,2组人每人都多(41-35)千克,平摊给(2+1)组人,因此全体同学的平均体重是
35+(41-35)×2÷(2+1)=39(千克).
例12某班有50人,在一次数学考试后,按成绩排了名次.结果,前30名的平均分数比后20名的平均分数多12分.一位同学对“平均”的概念不清楚,他把前30名的平均成绩,加上后20名的平均成绩,再除以2,错误地认为这就是全班的平均成绩.这样做,全班的平均成绩是提高了,还是降低了?
请算出提高多少或降低多少.
解:
全班平均成绩降低了.
按照这位同学的计算,相当于把前30名同学比后20名同学平均多出的12分作了平分.因此相当于前30名同学每人少了6分,后20名同学每人多了6分,合起来全班的总分就少了
30×6-20×6=60(分).
全班的平均成绩也就降低了
60÷(30+20)=1.2(分).
例13某学校入学考试,确定了录取分数线.报考的学生中,只录取了
均分比录取分数线低26分.所有考生的平均成绩是70分.那么录取分数线是多少?
我们把录取学生的人数算作1,没有被录取的人数算作3.
以录取分数线作为基数,没有被录取的考生总共少了26×3分,录取的学生总共多了10×1分,合起来,总共少了
26×3-10×1(分).
对所有考生来说,每人平均少了
(26×3-10×1)÷(3+1)=17(分).
也就是每一考生的平均分70(分)比录取分数线少了17(分),因此录取的分数线是
70+17=87(分).
注意这道题可检验如下:
没有被录取的考生的平均成绩是87-26=61(分),被录取考生的平均成绩是87+10=97(分).全体考生的平均成绩是
61+(97-61)÷(3+1)=70(分),
或
(61×3+97×1)÷(3+1)=70(分).
由此就知道,上面解答是正确的.
例14某次数学竞赛原定一等奖10人,二等奖20人.现在将一等奖中最后4人调整为二等奖,这样得二等奖的学生平均分提高了1分,得一等奖的学生的平均分提高了3分.那么原来一等奖平均分比二等奖平均分多多少分?
解:
根据题意
前六人平均分=前十人平均分+3.
这说明在计算前十人平均分时,前六人共多出3×6=18(分),来弥补后四人的分数,因此后四人的平均分比前十名平均分少
18÷4=4.5(分).
当后四人调整为二等奖后,这时二等奖共有20+4=24(人),平均每人提高了1分,这由调整进来的四人来供给,每人平均供给
24÷4=6(分).
后四人平均分=(原二等奖平均分)+6.
与前面算出的前六人平均分比较,就知原来一等奖平匀分比原来二等奖平均分多
4.5+6=10.5(分).
我们可以画出示意图来说明上面的计算.
从前十名来说,前六名用二条虚线所夹部分,来弥补后四人的二条虚线所夹部分这一块的不足.
对二等奖来说,可以画出如下示意图:
三、从平均数求个别数
例15A,B,C,D四个数的平均数是38,A与B的平均数是42;B,C,D三个数的平均数是36,那么B是多少?
解:
A,B,C,D四个数的平均数是
(A+B+C+D)÷4
=(A+B)÷4+(C+D)÷4
=[(A+B)÷2+(C+D)+2]÷2.
这说明A与B的平均数,C与D的平均数,两者的再平均,就是四个数的平均数.
因此,C与D的平均数是
38×2-42=34.
题目已给出B,C,D三个数的平均数36,B是
34+(36-34)×3=40.
还有一个解法:
四个数的平均数是38,B,C,D三个数的平均数是36,还是按照例3中的计算,A是
36+(38-36)×4=44.
己知A与B的平均数是42,因此B是
42×2-44=40.
注意知道若干个数的平均数,也就是知道了它们的和,已知A,B,C,D四个数的和,又已知其中三个数B,C,D的和,自然能求出(做一次减法)第四个数A.又已知A与B的和,就很容易求出B,这就是例15的实质.
例16某次考试,A,B,C,D,E五人的成绩统计如下:
A,B,C,D的平均分75分.
A,C,D,E的平均分70分.
A,D,E的平均分60分.
B,D的平均分65分.
求A得了多少分.
解:
由A,C,D,E四人平均分和A,D,E三人平均分,按照例3的方法,就可求出C的得分:
60+(70-60)×4=100(分).
由A,B,C,D四人平均分和B,D两人平均分,按照例15,可以求出A与C平均分:
75×2-65=85(分).
上面已算出C得100分,因此A得
85×2-100=70(分).
例17某次考试,小英等7人的平均分是78分,其中最高得分是97分,最低得分是64分,小英得了88分,余下的4个人中有3个人得了相同的分数.分数各不相同的5个人的平均分是80分,其中还有一位同学与别人的得分都不同,他的得分是多少分?
解:
7个人的分数总和是
78×7=546(分).
分数各不相同的5个人平均分是80分,那么另2位分数相同的同学每人得分是
(546-80×5)÷2=73(分).
这位与别人的得分都不相同的同学,他的得分是
546-97-64-88-73×3=78(分).
例18A,B,C,D四个数,两两配对可以配成六对,先请你想一想,是怎样配对的.这六对数的平均数分别是
12,13,15,17,19,20.
原四个数的平均数是多少?
解:
每一个数与其他三个数可以配成三对,因此在上面六个平均数中,每个数都要被计算3次,每次计算中都用一个数的一半.因此,这六个平均数之和是A+B+C+D的3倍的一半.
那么A,B,C,D的平均数是
(12+13+5+17+19+20)×2÷3÷4
=96×2÷3÷4
=16.
还有另一种解法:
原四个数中,最小的两个数之和应是12×2,最大的两个数之和应是20×2.因此四数的平均数是
(12×2+20×2)÷4=16.
请大家思考,是否可以求出A,B,C,D四个数.
例19A,B,C,D四个数,每次去掉一个数,将其余三个数求平均数,这样计算了四次,得到下面四个数
23,26,30,33.
A,B,C,D四个数的平均数是多少?
30,33这四个数相加,恰好是A,B,C,D这四个数之和,它们的平均数是(23+26+30+33)÷4=28.
例20有四个数,每次选取其中三个数,算出它们的平均数,再加上另外的一个数,用这样的方法计算了四次,分别得到以下四个数
26,32,40,46.
那么原来四个数中,最大的一个数是多少?
解:
很明显,这道题与前一例题紧密相关.我们来看一看,26,32,40,46这四个数相加是什么.
每一个数有两部分,一部分是三个数的平均数,一部分是三个数之外的第四个数,把四个数的前一部分相加,根据前一例题,恰好得到四个数的和.把后一部分相加,也得到四个数的和.
因此26+32+40+46=四个数之和×2.
这四个数的和是
(26+32+40+46)÷2=72.
另外,每一个数乘以3,将是三个数之和加上第四个数的3倍,这也可以看成是四个数之和加上一个数的2倍.它减去四个数之和72后,就是其中一个数的2倍.
于是这四个数就可以按下面的计算求出:
(26×3-72)÷2=3,
(32×3-72)÷2=12,
(40×3-72)÷2=24,
(46×3-72)÷2=33.
四个数中最大的数是33.
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