第15讲 逻辑问题.docx

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第15讲逻辑问题

第十五讲逻辑问题

在日常生活中，有些问题常常要求我们主要通过分析和推理，而不是计算得出正确的结论。

这类判断、推理问题，就叫做逻辑推理问题，简称逻辑问题。

这类题目与我们学过的数学题目有很大不同，题中往往没有数字和图形，也不用我们学过的数学计算方法，而是根据已知条件，分析推理，得到答案。

例1甲、乙、丙、丁四人同时参加全国小学数学夏令营。

赛前甲、乙、丙分别做了预测。

　　甲说：

“丙第1名，我第3名。

”

　　乙说：

“我第1名，丁第4名。

”

　　丙说：

“丁第2名，我第3名。

”

　　成绩揭晓后，发现他们每人只说对了一半，你能说出他们的名次吗？

分析与解：

我们以“他们每人只说对了一半”作为前提，进行逻辑推理。

　　假设甲说的第一句话“丙第1名”是对的，第二句话“我第3名”是错的。

由此推知乙说的“我第1名”是错的，“丁第4名”是对的；丙说的“丁第2名”是错的，“丙第3名”是对的。

这与假设“丙第1名是对的”矛盾，所以假设不成立。

　　再假设甲的第二句“我第3名”是对的，那么丙说的第二句“我第3名”是错的，从而丙说的第一句话“丁第2名”是对的；由此推出乙说的“丁第4名”是错的，“我第1名”是对的。

至此可以排出名次顺序：

乙第1名、丁第2名、甲第3名、丙第4名。

例2甲、乙、丙、丁在谈论他们及他们的同学何伟的居住地。

　　甲说：

“我和乙都住在北京，丙住在天津。

”

　　乙说：

“我和丁都住在上海，丙住在天津。

”

　　丙说：

“我和甲都不住在北京，何伟住在南京。

”

　　丁说：

“甲和乙都住在北京，我住在广州。

”

　　假定他们每个人都说了两句真话，一句假话。

问：

不在场的何伟住在哪儿？

分析与解：

因为甲、乙都说“丙住在天津，”我们可以假设这句话是假话，那么甲、乙的前两句应当都是真话，推出乙既住在北京又住在上海，矛盾。

所以假设不成立，即“丙住在天津”是真话。

　　因为甲的前两句话中有一句假话，而甲、丁两人的前两句话相同，所以丁的第三句话“我住在广州”是真的。

由此知乙的第二句话“丁住在上海”是假话，第一句“我住在上海”是真话；进而推知甲的第二句是假话，第一句“我住在北京”是真话；最后推知丙的第二句话是假话，第三句“何伟住在南京”是真话。

　　所以，何伟住在南京。

　　在解答逻辑问题时，有时需要将列表法与假设法结合起来。

一般是在使用列表法中，出现不可确定的几种选择时，结合假设法，分别假设检验，以确定正确的结果。

例3一天，老师让小马虎把甲、乙、丙、丁、戊的作业本带回去，小马虎见到这五人后就一人给了一本，结果全发错了。

现在知道：

（1）甲拿的不是乙的，也不是丁的；

（2）乙拿的不是丙的，也不是丁的；

　　（3）丙拿的不是乙的，也不是戊的；

　　（4）丁拿的不是丙的，也不是戊的；

　　（5）戊拿的不是丁的，也不是甲的。

另外，没有两人相互拿错（例如甲拿乙的，乙拿甲的）。

　　问：

丙拿的是谁的本？

丙的本被谁拿走了？

分析与解：

根据“全发错了”及条件

（1）～（5），可以得到表1：

　　由表1看出，丁的本被丙拿了。

此时，再继续推理分析不大好下手，我们可用假设法。

由表1知，甲拿的本不是丙的就是戊的。

　　先假设甲拿了丙的本。

于是得到表2，表2中乙拿戊的本，戊拿乙的本。

两人相互拿错，不合题意。

　　再假设甲拿戊的本。

于是可得表3，经检验，表3符合题意。

所以丙拿了丁的本，丙的本被戊拿去了。

例4甲、乙、丙、丁每人只会中、英、法、日四种语言中的两种，其中有一种语言只有一人会说。

他们在一起交谈可有趣啦：

（1）乙不会说英语，当甲与丙交谈时，却请他当翻译；

（2）甲会日语，丁不会日语，但他们却能相互交谈；

　　（3）乙、丙、丁找不到三人都会的语言；

　　（4）没有人同时会日、法两种语言。

　　请问：

甲、乙、丙、丁各会哪两种语言？

分析与解：

由

（1）

（2）（4）可得下表，其中丙不会日语是因为甲会日语，且甲与丙交谈需要翻译。

由下表看出，甲会的另一种语言不是中文就是英语。

　　先假设甲会说中文。

由

（2）知，丁也会中文；由

（1）知丙不会中文，再由每人会两种语言，知丙会英、法语（见左下表；由

（1）（4）推知乙会中文和法语；再由（3）及每人会两种语言，推知丁会英语（见右下表）。

结果符合题意。

　　再假设甲会说英语。

由

（2）知，丁也会英语；由

（1）知丙不会英语，再由每人会两种语言，知丙会中文和法语（见左下表）；由

（1）（4）推知，乙会中文和日语；再由（3）及每人会两种语言，推知丁会法语（见右下表）。

右下表与“有一种语言只有一人会说”矛盾。

假设不成立。

所以甲会中、日语，乙会中、法语，丙会英、法语，丁会中、英语。

例5小王、小张和小李一位是工人，一位是农民，一位是教师，现在只知道：

小李比教师年龄大；小王与农民不同岁；农民比小张年龄小。

问：

谁是工人？

谁是农民？

谁是教师？

分析与解：

由题目条件可以知道：

小李不是教师，小王不是农民，小张不是农民。

由此得到左下表。

表格中打“√”表示肯定，打“×”表示否定。

　　因为左上表中，任一行、任一列只能有一个“√”，其余是“×”，所以小李是农民，于是得到右上表。

　　因为农民小李比小张年龄小，又小李比教师年龄大，所以小张比教师年龄大，即小张不是教师。

因此得到左下表，从而得到右下表，即小张是工人，小李是农民，小王是教师。

采用列表法，使得各种关系更明确。

为了讲解清楚，例题中画了几个表，实际解题时，不用画这么多表，只在一个表中先后画出各种关系即可。

需要注意的是：

①第一步应将题目条件给出的关系画在表上，然后再依次将分析推理出的关系画在表上；②每行每列只能有一个“√”，如果出现了一个“√”，它所在的行和列的其余格中都应画“×”。

　　在下面的例题中，“√”和“×”的含义是很明显的，不再单独解释。

例6刘刚、马辉、李强三个男孩各有一个妹妹，六个人进行乒乓球混合双打比赛。

事先规定：

兄妹二人不许搭伴。

　　第一盘：

刘刚和小丽对李强和小英；

第二盘：

李强和小红对刘刚和马辉的妹妹。

问：

三个男孩的妹妹分别是谁？

分析与解：

因为兄妹二人不许搭伴，所以题目条件表明：

刘刚与小丽、李强与小英、李强与小红都不是兄妹。

由第二盘看出，小红不是马辉的妹妹。

将这些关系画在左下表中，由左下表可得右下表。

　　刘刚与小红、马辉与小英、李强与小丽分别是兄妹。

例7张明、席辉和李刚在北京、上海和天津工作，他们的职业是工人、农民和教师，已知：

（1）张明不在北京工作，席辉不在上海工作；

（2）在北京工作的不是教师；

　　（3）在上海工作的是工人；

　　（4）席辉不是农民。

　　问：

这三人各住哪里？

各是什么职业？

分析与解：

与前面的例题相比，这道题的关系要复杂一些，要求我们通过推理，弄清人物、工作地点、职业三者之间的关系。

三者的关系需要两两构造三个表，即人物与地点，人物与职业，地点与职业三个表。

　　我们先将题目条件中所给出的关系用下面的表来表示，由条件

（1）得到表1，由条件（4）得到表2，由条件

（2）（3）得到表3。

　　因为各表中，每行每列只能有一个“√”，所以表（3）可填全为表（4）。

　　因为席辉不在上海工作，在上海工作的是工人，所以席辉不是工人，他又不是农民，所以席辉是教师。

再由表4知，教师住在天津，即席辉住在天津。

至此，表1可填全为表5。

　　对照表5和表4，得到：

张明住在上海是工人，席辉住在天津是教师，李刚住在北京是农民。

例8甲、乙、丙每人有两个外号，人们有时以“数学博士”、“短跑健将”、“跳高冠军”、“小画家”、“大作家”和“歌唱家”称呼他们。

此外：

（1）数学博士夸跳高冠军跳得高；

（2）跳高冠军和大作家常与甲一起去看电影；

　　（3）短跑健将请小画家画贺年卡；

　　（4）数学博士和小画家很要好；

　　（5）乙向大作家借过书；

　　（6）丙下象棋常赢乙和小画家。

　　你知道甲、乙、丙各有哪两个外号吗？

分析与解：

由

（2）知，甲不是跳高冠军和大作家；由（5）知，乙不是大作家；由（6）知，丙、乙都不是小画家。

由此可得到下表：

　　因为甲是小画家，所以由（3）（4）知甲不是短跑健将和数学博士，推知甲是歌唱家。

因为丙是大作家，所以由

（2）知丙不是跳高冠军，推知乙是跳高冠军。

因为乙是跳高冠军，所以由

（1）知乙不是数学博士。

将上面的结论依次填入上表，便得到下表：

　　所以，甲是小画家和歌唱家，乙是短跑健将和跳高冠军，丙是数学博士和大作家。

练习一

　　1.甲、乙、丙分别是来自中国、日本和英国的小朋友。

甲不会英文，乙不懂日语却与英国小朋友热烈交谈。

问：

甲、乙、丙分别是哪国的小朋友？

　　2.徐、王、陈、赵四位师傅分别是工厂的木工、车工、电工和钳工，他们都是象棋迷。

（1）电工只和车工下棋；

（2）王、陈两位师傅经常与木工下棋；

　　（3）徐师傅与电工下棋互有胜负；

　　（4）陈师傅比钳工下得好。

　　问：

徐、王、陈、赵四位师傅各从事什么工种？

　　3.李波、顾锋、刘英三位老师共同担负六年级某班的语文、数学、政治、体育、音乐和图画六门课的教学，每人教两门。

现知道：

（1）顾锋最年轻；

（2）李波喜欢与体育老师、数学老师交谈；

　　（3）体育老师和图画老师都比政治老师年龄大；

　　（4）顾锋、音乐老师、语文老师经常一起去游泳；

　　（5）刘英与语文老师是邻居。

　　问：

各人分别教哪两门课程？

　　4.A，B，C，D分别是中国、日本、美国和法国人。

已知：

（1）A和中国人是医生；

（2）B和法国人是教师；

　　（3）C和日本人职业不同；

　　（4）D不会看病。

问：

A，B，C，D各是哪国人

5.学校新来了一位老师，五个学生分别听到如下的情况：

（1）是一位姓王的中年女老师，教语文课；

（2）是一位姓丁的中年男老师，教数学课；

　　（3）是一位姓刘的青年男老师，教外语课；

　　（4）是一位姓李的青年男老师，教数学课；

　　（5）是一位姓王的老年男老师，教外语课。

　　他们每人听到的四项情况中各有一项正确。

问：

真实情况如何？

6．甲、乙、丙三人，一个总说谎，一个从不说谎，一个有时说谎。

有一次谈到他们的职业，

　　甲说：

“我是油漆匠，乙是钢琴师，丙是建筑师。

”

　　乙说：

“我是医生，丙是警察，你若问甲，则甲会说他是油漆匠。

”

　　丙说：

“乙是钢琴师，甲是建筑师，我是警察。

”

　　你知道谁总说谎吗？

7.甲、乙、丙、丁在比较他们的身高，

　　甲说：

“我最高。

”

　　乙说：

“我不最矮。

”

　　丙说：

“我没甲高，但还有人比我矮。

”

　　丁说：

“我最矮。

”

　　实际测量的结果表明，只有一人说错了。

请将他们按身高次序从高到矮排列出来。

8.红、黄、蓝、白、紫五种颜色的珠子各一颗，用布包着在桌上排成一行。

A，B，C，D，E五个人猜各包里的珠子的颜色。

　　A猜：

第2包紫色，第3包黄色；

　　B猜：

第2包蓝色，第4包红色；

　　C猜：

第1包红色，第5包白色；

　　D猜：

第3包蓝色，第4包白色；

　　E猜：

第2包黄色，第5包紫色。

结果每人都猜对了一种，并且每包只有一人猜对，他们各自猜对了哪种颜色的珠子？

练习一

　　1.甲是日本人，乙是中国人，丙是英国人。

　　2.徐是车工，王是钳工，陈是电工，赵是木工。

　　提示：

由

（2）（3）

（1）可画出下表：

　　3.李波教语文、图画，顾锋教数学、政治，刘英教音乐、体育。

　　提示：

由

（1）（3）（4）推知顾锋教数学和政治；由

（2）推知刘英教体育；由（3）（5）推知李波教图画、语文。

　　4.A是美国人，B是日本人，C是中国人，D是法国人。

提示：

由

（1）

（2）知，A，B都不是中国人和法国人；再由

（1）（4）知，D也不是中国人，所以C是中国人，进而推知D是法国人，可得下表。

最后由C是中国人及