《数学分析》华师大二版课本上的习题6.docx
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《数学分析》华师大二版课本上的习题6
P.124习题
1.试讨论下列函数在指定区间内是否存在一点,使:
(1),
(2)
解
(1)因为在连续,在可导,且,所以由Rolle定理,,使得。
(2)因为,且不存在,故不存在一点,使
2.证明:
(1)方程(这里c为常数)在区间内不可能有两个不同的实根;
证明设,由于方程在内没有根,所以(由P.120,例1)方程在区间内不可能有两个不同的实根。
(2)方程(n为正整数)当n为偶数时至多有两个实根;当n为奇数时至多有三个实根。
证明设,于是。
当n为偶数时,n-1为奇数,故方程至多有一个实根(因为幂函数严格递增),从而方程至多有两个实根;
当n为奇数时,n-1为偶数,故由上述证明的关于偶数的结论有:
方程至多有两个实根,从而方程当n为奇数时至多有三个实根。
3.证明:
若函数和均在区间上可导,且,,则在区间上和只相差一常数,即(c为某一常数)
证明令,则在区间上可导,且,由推论1,存在常数c,使得,即
4.证明
(1)若函数在上可导,且,则
(2)若函数在上可导,且,则
(3)对任意实数,都有
证明因为在上可导,所以在上满足Lagrange中值定理的条件,于是,使得
(1)因为,所以,从而有
(2)因为,所以
(3)不妨设,正弦函数在上连续,在可导,于是,使得
5.应用拉格朗日中值定理证明下列不等式:
(1),其中
证明设,则在上连续且可导,所以在上满足Lagrange中值定理的条件,于是,使得,因为,所以,从而
(2),其中
证明设,则在上满足Lagrange中值定理的条件,于是,使得。
因为
,所以,从而。
6.确定下列函数的单调区间:
(1)
(2)
(3)(4)
解
(1),令,得
当时,,递增;当时,,递减。
(2)的定义域为。
,令,得
当时,,递减;当时,,递增。
(3)的定义域为。
,令,得
当时,,递增;当时,,递减。
(4)的定义域为。
,故在其定义域
递增。
7.应用函数的单调性证明下列不等式:
(1),
证明设,则在连续,且。
因为
,,故在严格单调递增,又因在连续,于是,从而,。
(2),
证明先证,为此证明:
。
设,则在连续,且。
因为,。
所以在严格单调递减,于是,从而,。
其次证明:
。
设,则在连续,且。
因为,。
所以在严格单调递增,又因在连续,于是,从而,。
(3),
证明先证:
,。
令,则在连续,且。
因为,。
所以在严格单调递减,又因在连续,于是,从而,。
其次证明:
,。
令,则在连续,且。
因为,。
所以在严格单调递增,又因在连续,于是,从而,。
8.以记由,,三点组成的三角形面积,试对应用罗尔中值定理证明拉格朗日中值定理.
证明因为,若在连续,在可导,则易见也在连续,在可导,且.故由罗尔定理知,存在,使得.而
故
.
P.132习题
1.试问函数在区间[-1,1]上能否应用柯西中值定理得到相应的结论,为什么?
解因为,故当时,,不满足柯西中值定理的条件,所以在区间[-1,1]上不能用柯西中值定理。
2.设函数在上可导,证明:
存在,使得
证明设,则在上连续并可导,且,由Rolle定理,存在,使得,从而
3.设函数在点处具有连续的二阶导数。
证明:
证明因为在点处具有连续的二阶导数,所以在点的某邻域内具有一阶导数,于是由洛必达法则,分子分母分别对求导,有
4.设。
证明存在,使得
证明设,,则都在连续,在可导,且都不等于0,。
由柯西中值定理,存在,使得,即
5.求下列不定式极限
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
解
所以
(8)
解因为,所以
(9)
解因为
所以
(10)
(11)
(12)
所以
P.141习题
1.求下列函数带佩亚诺型的麦克劳林公式
(1)
解,,
,……,
麦克劳林公式为:
(2)到含有的项
解因为,,所以。
在此式的两端,用莱布尼兹公式,分别对求阶导数,得
令得递推公式:
因为有,于是,。
又因为,,所以当为偶数时,
从而
(3)到含有的项
解,
,
,
,
,
2.按例4的方法求下列极限
(1)
(2)
(3)
3.求下列函数在指定点处带拉格朗日余项的泰勒公式:
(1),在处;
解;,;,;
,;。
所以
(2),在处
解;,;
,。
所以
,
P.146习题
1.求下列函数的极值
(1)
解,令得稳定点。
列表讨论:
0
+
0
+
0
-
↗
无极值
↗
极大值为
↘
(2)
解,令得稳定点。
列表讨论:
-1
1
-
0
+
0
-
↘
极小值为-1
↗
极大值为1
↘
(3)
解,令得稳定点。
列表讨论:
1
-
0
+
0
-
↘
极小值为0
↗
极大值为
↘
(4)
解,令得稳定点。
由于,,所以在有极大值
2.设
(1)证明:
是极小值点;
(2)说明的极小值点处是否满足极值的第一充分条件或第二充分条件。
证明
(1)对任何,有,故是极小值点。
(2)当时,有
,作数列
,,则,。
即在的任何右邻域内,既有数列中的点,也有数列中的点。
并且,,所以在内的符号是变化的,从而不满足极值的第一充分条件。
又因为
,,所以用极值的第二充分条件也不能确定的极值。
3.证明:
若函数在点处有(>0)(<0),则为的极大(小)值点。
证明设,,要证为的极大值点。
因为,所以由极限的保号性,存在的空心右邻域,使得,有,于是。
又因为,所以由极限的保号性,存在的空心左邻域,使得,有,于是。
取,从而,有,所以为的极大值点。
4.求下列函数在给定区间上的最大最小值:
(1)
解,令,得,()。
,,,。
于是在处取得最大值2,在处取得最小值-10。
(2),
解,令,得。
因为,,且。
于是在处取得最大值1,无最小值。
(3)
解,令,得。
因为,且,。
于是在处取得最小值,无最大值。
5.设在区间上连续,并且在上仅有唯一的极值点。
证明:
若是的极大(小)值点,则必是在上的最大(小)值点。
解设是的极大值点。
(用反证法)假设不是在上的最大值点。
于是存在,使得。
不妨设,则在闭区间上连续,从而在上有最小值点。
因为是的极大值点,所以,,于是是的极小值点,这与在上仅有唯一的极值点矛盾。
P.155习题
按函数作图步骤,作下列函数图象
(1)
解,令,得稳定点
,令,得
(2)
解定义域
,,令,得稳定点,令得
渐近线,
0
+
-
0
+
+
+
+
+
+
+
0
-
凸增
凸减
极小值0
凸增
拐点
凹增
P.158总练习题
1.证明:
若在有限
开区间内可导,且
,
则至少存在一点,
使
证明令,则在内连续,在内可导,且。
于是由Rolle定理,至少存在一点,使,而在内有,,从而。
填空题
1.;
2.;
3.设则
4.;
5.若,则,
6.,
7.
(1)当时,
(2)当时,
(3)当时,
8.若函数,则
9.设函数在连续,则
10.若函数在连续,则
11.设在连续,且,则
12.设,则;
13.设,则;。
14.若函数,则
15.若函数,则
16.设,且存在,则
17.若函数,,,
则
18.设曲线与曲线相切,则
19.设函数在有连续导数,且,
则
20.设函数在上可导,且,,,
则
选择题
1.设,则()
(A)数列收敛;(B);
(C);(D)数列可能收敛,也可能发散。
2.设,且,则与()
(A)都收敛于(B)都收敛但不一定收敛于
(C)可能收敛,也可能发散;(D)都发散。
3.设数列收敛,数列发散,则数列()
(A)收敛;(B)发散;(C)是无穷大;(D)可能收敛也可能发散。
4.设,则数列是()
(A)无穷大;(B)无穷小;(C)无界量;(D)有界量。
5.设,则数列是()
(A)收敛列;(B)无穷大;(C)发散的有界列;(D)无界但不是无穷大。
6.当时,是()
(A)无穷小;(B)无穷大;(C)有界但不是无穷小;(D)无界但不是无穷大。
7.当时,为无穷大,为有界量,则是()
(A)无穷大;(B)有界量;(C)无界但不是无穷大;(D)以上都不对。
8.设,,则()
(A);(B);(C);(D)以上都不对。
9.设函数在上单调,则与
(A)都存在且相等;(B)都存在但不一定相等;
(C)有一个不存在;(D)都不存在
10.设,则()
(A)存在且等于;(B)不存在;
(C)存在;(D)可能存在,也可能不存在。
11.设,则()
(A)存在且等于;(B)存在且等于;
(C)不存在;(D)不一定存在,若存在即为。
12.设,则是的()
(A)连续点;(B)可去间断点;(C)跳跃间断点;(D)第二类间断点。
13.设在连续,且,有,则()
(A);(B);(C);(D)
14.若函数在的任一闭区间上连续,则()
(A)在上连续;(B)在上连续;
(C)在上不连续;(D)在上可能连续,也可能不连续。
15.若函数在上连续,则()
(A)在有界;(B)在无界;
(C)在的任一闭区间上有界;(D)在有界。
16.若,函数在上连续,则()
(A)在上一致连续;(B)在上连续;
(C)在上一致连续;(D)在上不一致连续。
17.定义域为,值域为的连续函数()
(A)可能存在;(B)不存在;(C)存在且唯一;(D)存在。
18.定义域为,值域为的连续函数()
(A)可能存在;(B)不存在;(C)存在且唯一;(D)存在。
19.定义域为,值域为的连续函数()
(A)可能存在;(B)不存在;(C)存在且唯一;(D)存在。
20.设是无界数列,则()
(A);(B);
(C);(D)存在的一个子列
21.设是奇函数,且,则()
(A)是的极小值点;(B)是的极大值点;
(C)在的切线平行于轴;(D)在的切线不平行于轴
22.设在存在左、右导数,则在()
(A)可导;(B)连续;(C)不可导;(D)不连续。
23.设在可微,记,则当时,()
(A)是的高阶无穷小;(B)与是同阶无穷小;
(C)与是等价无穷小;(D)与不能比较。
24.设,记,则当时,()
(A)是的高阶无穷小;(B)与是同阶无穷小;
(C)与是等价无穷小;(D)与不能比较。
25.设,则方程在上()
(A)没有根;(B)最多有两个根;(C)有且仅有三个根;(D)有四个根。
26.设在上二阶可导,且,
则在上()
(A)单调增;(B)单调减;(
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