数学建模论.docx
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数学建模论
数
学
建
模
摘要
本文主要分析了假设在已知个人全年总收入的前提下,同时为了达到使个
人纳税符合国家政策规定税额,又满足个人缴纳的税款最少的目标,采用线性规划方法,提出了一种优化纳税模型。
在此基础上设计了求解算法,通过excel2003软件来实现并且完成了程序设计和实际应用的数据分析计算。
然后,根据税后的个人收入情况和个人选择的主体差异性,定制一个合理房贷方案。
最后,给出了题目中的具体算例的最优路径。
关键词:
excel2003软件;个人所得税;纳税优化;贷款方案;规划求解。
问题提出
个人所得税是调整征税机关与自然人(居民、非居民人)之间在个人所得税的征纳与管理过程中所发生的社会关系的法律规范的总称。
凡在中国境内有住所,或者无住所而在中国境内居住满一年的个人,从中国境内和境外取得所得的,以及在中国境内无住所又不居住或者无住所而在境内居住不满一年的个人,从中国境内取得所得的,均为个人所得税的纳税人。
2005年10月27日,第十届全国人大常委会第十八次会议再次审议《个人所得税法修正案草案》,会议表决通过全国人大常委会关于修改个人所得税法的决定,起征点1600元于2006年1月1日起施行。
2007年6月29日,第十届全国人民代表大会常务委员会第二十八次会议通过了《关于修改〈中华人民共和国个人所得税法〉的决定》,对个人所得税法进行了第四次修正。
2007年12月29日,十届全国人大常委会第三十一次会议表决通过了关于修改个人所得税法的决定。
个人所得税起征点自2008年3月1日起由1600元提高到2000元。
即工资、薪金所得,以每个月收入额(已按规定扣除“四金”)减除费用2000元后的余额,为应纳税所得额。
(“四金”是指:
养老保险金、 医疗保险金、失业保险金、住房公积金)
其具体征税方案如下:
一、每月工资应纳税计算方案:
月应纳税所得额=月工薪收入(已按规定扣除“四金”)-费用扣除标准(2000)
超额累进税率
级数
月应纳税所得额
税率(%)
速算扣除数
1
不超过500元部分
5
0
2
超过500元至2000元的部分
10
25
3
超过2000元至5000元的部分
15
125
4
超过5000元至20000元的部分
20
375
5
超过20000元至40000元的部分
25
1375
6
超过40000元至60000元的部
30
3375
7
超过60000元至80000元的部分
35
6375
8
超过80000元至100000元的部分
40
10375
9
超过100000元的部分
45
15375
例如:
如某人月工薪收入为3900元,则月应纳税所得额=3900-2000=1900元,当月应交个人所得税额=500×5%+(1900-500)×10%=165元;或当月应交个人所得税额=应纳税所得额×适用税率-速算扣除数=1900×10%-25=165元。
二、年终一次性奖金纳税计算方案:
1.先将雇员当月内取得的全年一次性奖金,除以12个月,按其商数确定适用税率和速算扣除数。
2.将雇员个人当月内取得的全年一次性奖金,按本条第1项确定的适用税率和速算扣除数计算征税。
例如:
某月份向其员工发放工资2400元,年终一次性奖金6000元,应缴个税为:
(2400-2000)×5%=20元,由于2400元已超过费用扣除额2000元,则计算年终奖税款时无需再减除差额,则年终奖部分的个税应税所得额为6000元,除以12后为500元,使用税率5%,速算扣除数为0,年终奖部分的应纳税额=6000×5%=300元,该员工当月应交纳个税=20+300=320元。
如果该员工当月工资薪金所得为1600元,低于税法规定的费用扣除额,应将全年一次性奖金减除差额后的余额,年终奖应纳税所得额=6000-400=5600元,除以12后为466.7元,适用税率5%,速算扣除数为0,即5600×5%=280元。
问题:
1、 请根据以上纳税方案,为某公司职员制定其每年收入分配方案使其年度纳税总额最少(假设其年收入为10万元,公司允许其自行决定每月收入和年终一次性奖金的分配数额)。
2、 请制定一张该公司职员年度收入最优分配方案表,年收入从3万元以
1000元为间隔到15万元。
3、 现假设该公司某夫妇年收入为12.5万元,及如果买住房住房公积金可以
年支配1.5万元,并打算贷款购买住房,住房公积金贷款利率与银行贷款利率如下表,其中住房公积金每对夫妇最多贷款额为50万元。
如果新房的售价为100万元,首付款必须30%。
请你替该夫妇制定一个合理的贷款方案,包括分几年还清、每月还款额和全年收入分配方案。
个人住房公积金贷款年利率表
贷款期限
5年以下(含)
5年以上
利率(%)
4.02
4.59
个人住房银行抵押贷款年利率表
贷款期限
1年
1至3年(含)
3至5年(含)
5年以上
利率(%)
5.31
5.40
5.76
5.94
问题分析
全年纳税总额p分为2部分,一部分为月工资部分的所需上交的税额f(x),另外一部分为年终奖部分所需上交的税额f(y)。
要使p最小的就是保证月工资纳税和年终奖纳税总额最少。
通过直观的分析,企业发放年终奖奖金以及员工每月工资的不均衡发放,必然导致个人所得税税负提高,实际到手的收人减少。
每月均匀发放工资薪金会降低个人所得税的税率,会减少应纳个人所得税金额。
企业在发放年终一次性奖金时应抓住税率临界点。
本方案即在寻找这个税率的临界点。
模型假设、建立与求解
问题一:
请根据以上纳税方案,为某公司职员制定其每年收入分配方案使其年度纳税总额最少(假设其年收入为10万元,公司允许其自行决定每月收入和年终一次性奖金的分配数额)
1、模型的符号说明:
x——月工资
y——年终奖
z——年收入
f(x)——月工资纳税额
f(y)——年终奖纳税额
p——全年纳税额
2、假设
(1)、个人的年总收入仅分为:
每月的月收入和年终奖的收入。
(2)、月收入不低于2000元。
(3)、月收入等额。
3、模型的建立
(1)、月工资纳税额与月工资之间的关系式如下所示:
(x-2000)╳5%2000≤x≤2500
(x-2000)╳10%-252500 (x-2000)╳15%-1254000 (x-2000)╳20%-3757000 f(x)=(x-2000)╳25%-137522000 (x-2000)╳30%-337542000 (x-2000)╳35%-637562000 (x-2000)╳40%-1037582000 (x-2000)╳45%102000 (2)、年终奖纳税额与年终奖之间的关系如下所示: y╳5%0 y╳10%-25500 y╳15%-1252000 y╳20%-3575000 f(y)=y╳25%-137520000 y╳30%-337540000 y╳35%-637560000 y╳40%-1037580000 y╳45%-15375100000 模型的求解针对个人的全年纳税,建立如下模型: p=12╳f(x)+f(y) 其中约束条件为: z=x╳12+y;(x,y>0) 在进行模型求解之前,我们首先要提出一个已被证明的论点,即: 假设没有年终奖,在税前年收入为定值Z元时,这时的Z=f(x)×12;将Z平均分配到12个月,即f(x)。 如果每月的工资可按员工意愿,则存在g1,g2,g3……g12。 当g1=g2=g3=……=g12时,所需上交的税额为最小。 本模型是基于每个月收入为一个定值且每月都相等。 4、求解 我们利用excel2003软件的“规划求解”工具进行求解,设计好公式后将数据输入,即可得出答案,求解过程如下图所示: 图一,程序运行结果 Excel求解说明: B3、C3为变量单元格 B5=sum(B3-B4) C5=sum(C3-C4) B6=IF(B5<=500,B5*5%,IF(B5<=2000,B5*10%-25,IF(B5<=5000,B5*15%-125,IF(B5<=20000,B5*20%-375,IF(B5<=40000,B5*25%-1375,IF(B5<=60000,B5*30%-3375,IF(B5<=80000,B5*35%-6375,IF(B5<=100000,B5*40%-10375,B5*45%-13375)))))))) C6=IF(C5/12<=500,C5*5%,IF(C5/12<=2000,C5*10%-25,IF(C5/12<=5000,C5*15%-125,IF(C5/12<=20000,C5*20%-375,IF(C5/12<=40000,C5*25%-1375,IF(C5/12<=60000,C5*30%-3375,IF(C5/12<=80000,C5*35%-6375,IF(C5/12<=100000,C5*40%-10375,C5*45%-13375)))))))) B9=SUM(12*B6+C6) 最终得出的最优解为: 最佳情况中的总税值为: 9775元 最佳情况月工资为: 4158.26元 最佳情况每月税额为: 198.74元 最佳情况年终奖为: 50100.91元 最佳情况年终奖应缴税额为: 7390.14元 模型改进: 以上讨论的是月收入大于2000元的分配情况,而当月收入低于2000元时,根据推理可知,月收入为2000时所需缴纳税额要比低于2000元时少,而当月收入为2000元时,所需缴纳税额为: (100000-12╳2000)╳35%-6375=20225元比9775元要大,因此月收入低于2000元时得不到最佳分配方案。 问题二: 请制定一张该公司职员年度收入最优分配方案表,年收入从3万元以1000元为间隔到15万元 在该题中,我们从3万元开始,以1000元为间隔计算从3万元到15万元的最佳收入分配方案,利用问题一的模型和方法,通过excel2003软件计算,可得出如下最佳分配方案列表: 表一: 职员年度收入最优分配方案表 年收入 月工资 月税额 年终奖 年终奖税额 全年总税额 30000 2499. 24. 0.6 0.00562498 300 31000 2313.36187 15.6680939 3239.65745 161.9828726 350 32000 2309.13990 15. 4290.32111 214.5160558 400 33000 2253.13420 12.6567103 5962.38951 298.1194757 450 34000 35000 36000 37000 38000 39000 40000 41000 42000 43000 44000 45000 46000 47000 48000 49000 50000 51000 52000 53000 54000 55000 56000 57000 58000 59000 60000 61000 62000 63000 64000 65000 66000 67000 68000 69000 70000 71000 72000 73000 74000 75000 76000 77000 78000 79000 80000 81000 82000 83000 84000 85000 86000 87000 88000 89000 90000 91000 92000 93000 94000 95000 96000 97000 98000 99000 100000 4158.257351 198.738602 50100.91179 7390.136768 9775 101000 102000 103000 104000 105000 106000 107000 108000 109000 110000 111000 112000 113000 114000 115000 116000 117000 118000 119000 120000 121000 122000 123000 124000 125000 126000 127000 128000 129000 130000 131000 132000 133000 134000 135000 136000 137000 138000 139000 140000 141000 142000 143000 144000 145000 146000 147000 148000 149000 10416.66804 1308.33360 23999.9835 2374.99835 18075.00165 150000 10500.00328 1325.000656 23999.960677 2374.996067 18275.00393 在这里,我们只列出了富有代表性的开始、中间和结尾几项,根据同样的方法,其他各项也是可以求出来的,在这里就不一一列出了。 附: 程序运行结果(30000、31000、150000) 问题三、现假设该公司某夫妇年收入为12.5万元,及如果买住房公积金可以年支配1.5万元,并打算贷款购买住房,其中住房公积金每对夫妇最多贷款额为50万元。 如果新房的售价为100万元,首付款必须30%。 请你替该夫妇制定一个合理的贷款方案,包括分几年还清、每月还款额和全年收入分配方案。 1、问题的分析 在个人收入时,要尽可能使个人所得税最少,同时又要使所缴纳的利息最少, 这就成了一个典型的多目标规划问题。 钱在银行存一天就有一天的利息,存的钱越多,得到的利息就越多。 同样, 对于贷款来说也一样,银行的贷款多用一天,就要多付一天的利息,贷款的金额越大,支付给银行的利息也就越多。 银行利息的计算公式是: 利息=资金额×利率×占用时间。 因此,利息的多少,在利率不变的情况下,决定因素只能是资金的实际占用 时间和占用金额的大小,而不是采用哪种还款方式。 这是铁定不变的道理! 在还 按揭贷款时,我们有等额本息付款和等额本金付款两种基本方式。 等额本息还款法,即借款人每月按相等的金额偿还贷款本息,其中每月贷款 利息按月初剩余贷款本金计算并逐月结清。 由于每月的还款额相等,因此,在贷 款初期每月的还款中,剔除按月结清的利息后,所还的贷款本金就较少;而在贷 款后期因贷款本金不断减少、每月的还款额中贷款利息也不断减少,每月所还的 贷款本金就较多。 这种还款方式,实际占用银行贷款的数量更多、占用的时间更 长,同时它还便于借款人合理安排每月的生活和进行理财(如以租养房等),对 于精通投资、擅长于“以钱生钱”的人来说,无疑是最好的选择! 等额本金还款法,即借款人每月按相等的金额(贷款金额/贷款月数)偿还贷 款本金,每月贷款利息按月初剩余贷款本金计算并逐月结清,两者合计即为每月 的还款额。 由于每月所还本金固定,而每月贷款利息随着本金余额的减少而逐月 递减,因此,等额本金还款法在贷款初期月还款额大,此后逐月递减(月递减额 =月还本金×月利率)。 此种还款方式,适合生活负担会越来越重(养老、看病、 孩子读书等)或预计收入会逐步减少的人使用。 等额本金还款法的计算公式 每季还款额=贷款本金÷贷款期季数+(本金-已归还本金累计额)×季利率 由此可见,随着本金的不断归还,后期未归还的本金的利息也就越来越少, 每个季度的还款额也就逐渐减少。 这种方式较适合于已经有一定的积蓄,但预期 收入可能逐渐减少的借款人,如中老年职工家庭,其现有一定的积蓄,但今后随着退休临近收入将递减。 通过上述我们可以知道,虽然等额本金法,算下来要比等额本息划算的多, 但是有一个问题,等额本金法每月的还款金额是递减的,而一般情况下,如果一味考虑节省利息选用等额本金法,也就是说目前的压力会比较大,该公司夫妇的收入理论上会是递增的,所以很多时候出于这种考虑,选择等额本息法对于该夫妇比较合理。 在本题中,我们也作该处理,即选用等额本息还款。 这样的话,上述多目标 规划问题就变成了单目标规划问题。 即把个人收入作为一个约束条件,把利息作为目标函数值。 2、模型假设 (1)这对夫妇的储存能力能够支付首付30万,对比公积金贷款和银行贷款采用多贷公积金,少贷银行; (2)假定公积金年支配用于储蓄; (3)假定公积金贷款50万,银行贷款20万; (4)实行先还银行,再还公积金的办法,那么公积金在此期间只需还贷利息(不纳入还款金额); (5)这对夫妇的收入是一样的,即每人每年收入都为62500元. 3、模型建立 根据最优收入分配方法,得出每人的收入情况: 总税收: 3525元; 月工资: 3714元; 月工资税收: 146.4元; 税后可支配工资: 3567.6元; 年终奖: 17931.77元; 年终奖的税收: 1768.18元; 税后可支配为: 16163.59元; 税后年收入为: 58974.79 由给出条件并经过运算,可分别得出公积金贷款和银行贷款年利率和月利率如下表所示: 表二: 年利率和月利率(公积金) 年利率 月利率 5年以下 4.02 0.329 5年以上 4.59 0.375 表三: 年利率和月利率(银行贷款) 年利率 月利率 1年 5.31 0.432 1至3年 5.40 0.439 3至5年 5.76 0.468 5年以上 5.94 0.482 4、模型求解 (1)全年收入方案 该夫妇总收入: 125000元 总纳税额: 7050元,税后余下的收入的30%——50%用于生活支出,其中有10%可用于投资或保险,40%——60%用于月供。 40%——60%范围为: 3931.7元——5891.7元,月供取其范围最佳。 采用excel2003中的PMT公式计算,得出运算过程如下图: PMT是计算等额本息的函数,由于其值为负数,加负号使其为正,B1代表月利率,C1代表月数,D1代表贷款本金。 图二,贷款年限和每月还款额之间的关系(银行贷款) 图三,贷款年限和每月还款额之间的关系(公积金贷款) 借款人每月按相等的金额偿还贷款本息,其中每月贷款利息按月初剩余贷款本金计算并逐月结清,由上图可以看出,通过对比,银行贷款还款年限取4年为宜,公积金贷款年限取10年为宜,此时的还款额最少,且符合月收入的40%—60%用于月供。 5、结果分析与评价 用理财的思路去考虑最为合理的收入使用分配应该是非常有必要的。 尤其 对于那些工作比较稳定,但收入平平的工薪阶层房贷者而言,过多的还款压力很 可能使其不堪重负,沦为“房奴”一族。 在本模型中充分考虑了该问题,将月供还贷压力降低到最低,同时考虑也考 虑了工薪阶层房贷者的生活压力及生活开支。
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