授课章节第一章实数集与函数doc.docx

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第一章实数集与函数

§1.1实数

教学目标：

使学生掌握实数的基本性质.

教学重点：

（1）了解实数的有序性、稠密性和封闭性；

（2）牢记并熟练运用实数绝对值的有关性质以及几个常见的不等式.教学难点：

实数集的概念及其应用.

教学方法：

讲授.（部分内容自学）

教学过程：

一、实数及其性质

有理数

（-）实数

:

叹嘗纟（阳为整数且q主0）或有限小数和无限小数.负分数,p

无理数:

用无限不循环小数表示.

R={x\兀为实数}--全体实数的集合・

问题：

有理数，无理数的表示不统一，这对统一讨论实数是不利的.为以下讨论的需要,我们把“有限小数”（包括整数）也表示为“无限小数”.为此作如下规定：

对于正有限小数x=an.其中0

兀=绳坷an_}9999；对于正整数x=a^则记兀=（q）-1）.9999；对于负有限小数（包括负整数）y,则先将-），表示为无限小数，现在所得的小数之前加负号.0=0.0000

例：

2.001^2.0009999

3T2.9999

-2.001T-2.009999

-3t-2.9999

利用上述规定，任何实数都可用一个确定的无限小数来表示.但新的问题又出现了：

在此

规定下，如何比较实数的大小？

（-）两实数大小的比较

1、定义1：

给定两个非负实数x=q）qan,y=hn.其屮d（）,%为非负整数，%乞伙=1,2,）为整数，05畋59,05如59・若有色"扌=1,2,,则称兀与）,相等，记为

x=y；若a{）>b{}或存在非负整数/，使得cik=bk,k=\,2,，/,而%>$+】，则称尢大于y或y小

Tx,分别记为x〉y或）yx.对丁•负实数x、y,若按上述规定分别有-x=-y或-兀>-厂则

分另U称为y与兀

规定：

任何非负实数大于任何负实数.

3、实数常用性质

1）封闭性：

实数集R对一四则运算是封闭的.即任意两个实数的和、差、积、商（除数不为0）仍是实数.

2）有序性：

任意两个实数必满足下列关系之一：

ab,a=b・

3）传递'性：

ac^>a>c・

4）P可基米德'性：

\/a,bwR,b>aN使得na>b・

5）稠密性：

两个不等的实数之间总有另一个实数.

6）实数集R与数轴上的点有着一一对应关系.

例2・设\fa,beR，证明：

若对任何正数有a

提示：

反证法.利用“有序性”，取e=a-b.

二、绝对值与不等式（分析论证的基本工具）.

（一）绝对值的定义

实数Q的绝对值的定义为\a\=[^

[-aa<0

（-）几何意义

从数轴看，数d的绝对值Idl就是点Q到原点的距离.认识到这一点非常有用，与此相应，lx-6/l表示就是数轴上点兀与Q之间的距离.

（三）性质

1）|a|=|-«l>O;|a|=O«a=O（非负性）;

2）-\a\

3）\a\-h0）；

4）对任何a,bwR^\a\-\b\^a±b\<\a\+\b\（三角不等式）;

5）\ab\=\a\-\b\；

6）纟上（20）.

b\b\

3.

几个重要不等式

⑵均值不等式：

对\/°［卫2,…4丘RS记

有平均值不等式:

H（^.）

（3）Bernoulli不等式：

（在中学已用数学归纳法证明过）

Vx>-1,有不等式（1+x）n>1+ha;ngN.

当兀〉一1JI兀hO,a?

GNH/2>20^,有严格不等式（1+x）n>1+HX

证由1+兀>0且1+兀hO,=>（1+兀）"+斤一1=（1+兀）"+1+1+—+1>

>n彳（1+兀）"=z?

（1+x）.n（1+x）n>1+斤尤

（4）利用二项展开式得到的不等式：

对V/z>0,由二项展开式

Z1八“1,n（n-1）,2斤（斤一1）（〃一2）73"

（1+h）=1+nh+h~+h+•••+〃，

2!

3!

有（1+〃）">上式右端任何一项.

§1.2数集和确界原理

教学目标：

使学生掌握确界原理，建立起实数确界的清晰概念.

教学要求：

（1）掌握邻域的概念；

（2）理解实数确界的定义及确界原理，并在有关命题的证明中正确地加以运用.

教学重点：

确界的概念及其有关性质（确界原理）.

教学难点：

确界的定义及其应用.

教学方法：

讲授为主.

教学过程：

先通过练习形式复习上节课的内容，以检验学习效果，此后导入新课.

上节课中我们对数学分析研究的关键问题作了简要讨论；此后又让大家自学了第一章§1.1实数的相关内容•下而，我们先来检验一下自学的效果如何！

1、证有：

（l）|x-I|+|x-2|>l；

（2）|x-1|+|x-2|4-|x-3|>2.

2、证明：

||x|-|y||^x-y|.明:

对任何xwR

3、设a,bwR，证明：

若对任何正数£有a+b

4、设兀〉y,证明：

存在有理数厂满足y

一、区间与邻域

（一）区间（用来表示变量的变化范围）

设且avb・

（二）邻域

联想：

“邻居”•字面意思：

“邻近的区域”・（看左图）•与a邻近的“区域”很多，至U底

哪一类是我们所要讲的“邻域”呢？

就是“关于a的对称区间”；如何用数学语言来表达呢?

1、a的6邻域：

设。

丘尺5>0,满足不等式|x-的全体实数x的集合称为点a的/邻

域，记作U@;C,或简记为U（a）,即

U（a;6）={兀|x-a\<5}二（g_5,g+5）.

2、点a的空心（S邻域

U°{a\8）=|x|0<|x-a\<=（a-5,d）kJ（a,G+5）U°（a）.

3、a的/右邻域和点a的空心〃右邻域

U+（q;5）=[a,°+/）U+（a）=^xa

U°（a;/）=（a,a+5）（7°（0）={xavx

4、点a的5左邻域和点a的空心5左邻域

U_（a;3）-{a-8,a]U_（a）=a-8

=（q-/,q）t/°（6f）=a-8

5、00邻域，+oo邻域，Y0邻域

U（°°）={x||x|>M},（其中M为充分大的正数）；

（/（+oo）={xx>M},U（-<»）=|x|x<-M}

二、有界集与无界集

什么是“界”？

定义1（上.下界人设S为/?

中的一个数集•若存在数M{L）,使得一切xgS都有xL）,则称S为有上（下）界的数集.数M（D称为S的上界（下界）；若数集S既有上界，又有下界，则称s为有界集.

闭区间、（a,b）（a,b为有限数）、邻域等都是有界数集，

集合E=b|y=sinx,xg（-oo,+oo）}也是有界数集.

若数集S不是有界集，则称S为无界集.

（一00,+00）,（-oo,0）,（0,4-co）等都是无界数集，

集合E=fy\y=^“（0,1）}也是无界数集.

三、确界与确界原理

1、定义

定义2（上确界）设S是R中的一个数集，若数〃满足：

（1）对一切xgS,有（即0是S的上界）；

（2）对任何qv“，存在AqWS,使得xQ>a（即"是S的上界中最小的一个）,则称数〃为数集S的上确界，记作7=supS.

命题1M=supE充要条件

1）M是E上界，

2）V6?

>0,3ygExf>M-e・

证明必要性，用反证法•设2）不成立，则日勺>°，使得FxwE，均有与“是上确界矛盾.

充分性，用反证法•设M不是E的上确界，即日必'是上界，但M>Mf.令£=刈-旳、（）,由2）,使得xf>M-s=Mf9与AT是E的上界矛盾.

定义3（下确界）设S是R中的一个数集，若数g满足：

（1）对一切兀wS,有xhg（即g是S的下界）；

（2）对任何0>g,存在x0g5,使得x0

（即§是S的下界中最大的一个），则称数§为数集S的下确界，记作^=infS.

命题2g=infS的充要条件：

1）&是S下界；

2）0£>0,xoeS9^x（）<^+e.

上确界与下确界统称为确界.

例3

（1）S=|l+^^|,贝UsupS=,infS=二

（2）E={yy=sinx,xe（0,^）}.则supE=,infE=.

命题3

注：

非空有界数集的上（或下）确界是唯一的.

设数集人有上（下）确界，则这上（下）确界必是唯一的.

证明设tj=supA,?

jr=supA且t/h”'，则不妨设q

〃=supA二>A有兀S〃r/f=supA=>对〃<“'，3x0g>4使77<如，矛盾.

E={-5,0,3,9,11}则有infE=-5・

开区间仏◎与闭区间S，列有相同的上确界"与下确界Q.

1、集与确界的关系：

确界不一定屈于原集合.

2、确界与最值的关系：

设E为数集.

（1）E的最值必属于E,但确界未必，确界是一种临界点.

（2）非空有界数集必有确界（见下面的确界原理），但未必有最值.

（3）若maxE存在，必有maxE=supE.对下确界有类似的结论.

3、确界原理：

定理1（确界原理）一个非空的，有上（下）界的集合，必有上（下）确界.

§1.3函数概念

教学目标：

使学牛深刻理解函数概念.

教学要求：

（1）深刻理解函数的定义以及复合函数、反函数和初等函数的定义，熟悉函数的各

种表示方法;

（2）牢记基木初等函数的定义、性质及其图象•会求初等函数的存在域，会分析初等函数的复合关系.

教学重点：

函数的概念.

教学难点：

初等函数复合关系的分析.

教学方法：

课堂讲授，辅以提问、练习、部分内容可自学.

一、函数的定义

（-）定义

定义1设D,MuR,如果存在对应法则使对VxeD,存在唯一的一个数yeM与之对应，则称/是定义在数集D上的函数，记作（兀|Ty）.

函数/在点兀的函数值，记为/（兀），全体函数值的集合称为函数/的值域，记作/（D）.即

/（£>）={y\y=/（x）,xgD}.

（2）几点说明

（1）函数定义的记号中“f.DiM”表示按法则/建立D到

M的函数关系，x|Ty表示这两个数集中元素之间的对应关系，也

记作•习惯上称兀自变量，y为因变量.

（2）函数有三个要素，即定义域、对应法则和值域.当对应法则和定义域确定后，值域便自然确定下来.因此，函数的基本要素为两个：

定义域和对应法则.所以函数也常表示为：

£.由此，我们说两个函数相同，是指它们有相同的定义域和对应法则.

例如：

1）/（x）=1,xg/?

g（x）=l,xw7?

\{0}.（不相同，对应法则相同，定义域不同）

2）（p{x）=|x|,xg/?

=V?

xeR.（相同，对应法则的表达形式不同）.

（3）函数用公式法（解析法）表示吋，函数的定义域常取使该运算式子有意义的自变量的全体，通常称为存在域（自然定义域）.此时，函数的记号中的定义域D可省略不写，而只用对应法则/来表示一个函数•即“函数『=/（%）”或“函数/”・

（4）“映射”的观点来看，函数/本质上是映射，对于awD,畑称为映射fVa的象.g称为/（Q）的原象.

（5）函数定义中，VxeD,只能有唯一的一个y值与它对应，这样定义的函数称为“单值

函数”，若对同一个兀值，可以对应多于一个y值，则称这种函数为多值函数.本书中只讨论单值函数（简称函数）.

二、函数的表示方法（―）主要方法：

解析法（分式法）、列表法和图象法.z

（-）可用“特殊方法”来表示的函数

1、分段函数：

在定义域的不同部分用不同的

0

公式来表示.

O

1乂〉

例如sg^n=%©=,,（符号函数）

-1

（借助于Sgnx可表示f（x）=\x\,即/（x）=|x|=xsgnx）.

2.用语言叙述的函数.（注意；以下函数不是分段函数）

例

（1）y=[X]（取整函数）

比如：

[3.5]二3,[3]=3,[-3.5]=-4.

常有[刎5兀＜比+1,及05兀一[力＜1

D（x）=

1,当兀为有理数,

（）,当x为无理数,

（Dirichlet）

与此有关一个的函数=的图形是一条大锯，画出图看一看.

这是一个病态函数，很有用处，却无法画出它的图形.它是周期函数，但却没有最

小周期，事实上任一有理数都是它的周期.

（3）丽=+当"；叱孑为假分数人（Riemman函数）

0,当兀=0,1和（0,1）内的无理数.

三、函数的四则运算

给定两个函数f,xwD\,g,xwD2,记D=D^D2,并设定义/与g在D上的和、差、

积运算如下：

F（x）=/（x）+^（x）,xgD；G（x）=/（x）-^（x）,xg£＞；H（x）=f（x）g（x）,xeD.

若在D屮除去使g（x）=0的值，即令D=D\{x|g（兀）工0,兀丘2}工0，可在D上定义/与g

的商运算如下；L（x）=^,xeD.g（x）

注：

1）若D=D5m，则/与g不能进行四则运算.

2）为叙述方便，函数/与g的和、差、积、商常分别写为：

/+gj_g,/p,Z.

8

四、复合运算（―）引言

在有些实际问题中函数的自变量与因变量通过另外一些变量才建立起它们之间的对应关系.

例：

质量为m的物体自由下落，速度为v,则功率E为

E=—mv2

2

抽去该问题的实际意义，我们得到两个函数/（p）=|mv2,v=gz,把叩）代入/,即得f«t））=^ng2r・

这样得到函数的过程称为“函数复合”，所得到的函数称为“复合函数”•

问题：

任给两个函数都可以复合吗？

考虑下例;

y=f（u）=arcsinw,wgD=[-1,1],w==2+x2,xeE=/?

・

就不能复合，结合上例可见，复合的前提条件是“内函数”的值域与“外函数”的定义域的交集不空（从而引出下面定义）.

（二）定义（复合函数）

设有两个函数y=/X况）,uw£）,u=g（兀），兀wE,记E={x|/（x）gZ）|nE,若E工0，贝I」对每

一个xeE,通过g对应D内唯个值u,而弘又通过/对应唯个值y,这就确定了一个定义在E上的函数，它以x为自变量，丿因变量，记作y=f（g（x）\x^E或y=（fg）O）,xuE.简记为/g.称为函数/和g的复合函数—并称/为外函数，g为内函数,u为中间变量.

（3）例子

例1y=f（u）=4u.u=g（x）=\-x2.求（/ogXX）=/[

（%）•]并求

定义域.

例2

（1）

/（1-A：

）=X2+无+1,

fM=

■

⑵

f

Xd

=X+0・

则

JC

/«=（

）

A.X2,

B.x2+1,

C・x2-2,

D・x~+2.

例讨论函数

y=f（u）=e[0,-hx>）与函数况=g（x）=

=>/1-x2,xg7?

能

否进行复合，求复合函数.

（4）说明

1、复合函数可由多个函数相继复合而成.每次复合，都要验证能否进行？

在哪个数集上进行？

复合函数的最终定义域是什么？

例女口：

y=sinw,w=5/v,v=l-x2,复合成：

y=sinJ1-,xw[-1,1].

2、不仅要会复合，更要会分解.把一个函数分解成若干个简单函数，在分解时也要注意定义域的变化.

1〉'=log“（0,1）ty=log“u.u=Jz,z=l-x\

2y=arcsina/F+iTy=arcsin/u=jF+l.

3y=2sinvTy=2",u=『,y=sinx・

五、反函数（―）引言

在函数y=/（x）中把兀叫做自变量，y叫做因变量•但需要指出的是，自变量与因变量的地位并不是绝对的，而是相对的，例如：

/（w）=V^,w=r2+l,那么况对于.f来讲是自变量，但对/来讲，“是因变量.

习惯上说函数y=f（x）^x是自变量，y是因变量，是基于y随兀的变化现时变化.但有时我们不公要研究），随兀的变化状况，也要研究兀随y的变化的状况.对此，我们引入反函数的概念.

（_）反函数概念

定义设/：

Xtr是一函数，如果V西，冷丘乂，由（或由/Ul）=/（^2）^^1=^）,则称/在x上是1-1的.

若Y=f（X）f称/为满的.

若是满的-I的，则称/为1-1对应.

/：

xtr是i-i的意味着『=/（%）对固定丿至多有一个

解兀，f.X^Y是1-1的意味着对护丫，少=/（兀）有且仅有一个解X.

定义设/：

x->Y是1—1对应.。

訂，由y=/（x）唯一确定一个XwX,由这种对应法则所确定的函数称为>'=/（兀）的反函数，记为x=jYy）.

反函数的定义域和值域恰为原函数的值域和定义域

f：

X—Y广1：

ytx

显然有

f~\f=I:

X^X（恒等变换）fof~[=I:

Y^Y（恒等变换）

（广丁

从方程角度看，函数和反函数没什么区别，作为函数，习惯上我们还是把反函数记为y=/"（“），这样它的图形与丿=/（兀）的图形是关于对角线

“兀对称的.

严格单调函数是1T对应的，所以严格单调函数有反函数.

0<%<1

\

但i-i对应的函数（有反函数）不一定是严格单调的，看下面例子

它的反函数即为它自己.

实

际求反函数问题可分为二步进行:

1.确定/：

xty的定义域x和值域丫，考虑1-1对应条件.固定兀丫，解方程fM=y得出x=f-\y）t

2、按习惯，白变量兀、因变量互换，得y=f']M.

ex-卫y=sh{x）=

例求2：

RTR的反函数.

-X

e—ey=

解固定儿为解2，令方程变为

2zy=z2-1

z2—2zy—1=0

z=y±&+]（舍去y_Jy2+]）

得xln（y+Jb+l）,即y=ln（x+J»+l）=曲心）,称为反双曲正弦.

定理给定函数）匸/（力，其定义域和值域分别记为x和y,若在丫上存在函数g（y）,使

得gg））=兀,则有g（y）=f~\y）,

分析：

要证两层结论：

一是丁=/（兀）的反函数存在，我们只要证它是1-1对应就行了；二是要证巩刃=广'0）.

证要证丁=/（兀）的反函数存在，只要证/（朗是x到y的i-i对应.

V^1,兀2丘乂，若/（西）=/（勺），则由定理条件，我们有

g（/3））=西,g（f（x2））=x2^x}=x2f即广XtY是1—1对应.

再证g（y）=f~\y）.v,使得尸/（兀）•由反函数定义*厂（刃，再由定

理条件

g（y）=g（/（兀））=兀=>g（y）=f~]（y）.

3、注释

（1）并不是任何函数都有反函数，从映射的观点看，函数.f有反函数，意味着/是D与.f（D）

Z间的一个一一映射，称广I为映射/的逆映射，它把/（P）D；

（2）函数/与厂互为反函数，并有:

厂（/（兀））三/（厂（兀））三）,"/（£>）.

（3）在反函数的表示x=f~l（y）,ye/（D）中，是以y为自变量，x为因变量.若按习惯做法用

兀做为自变量的记号，y作为因变量的记号，则函数/的反函数广|可以改写为

y=f~\x）,xef（Dy

应该注意，尽管这样做了，但它们的表示同一个函数，因为其定义域和对应法则相同，仅是所用变量的记号不同而已•但它们的图形在同一坐标系中画出时有所差别.

六、初等函数

（-）基本初等函数（6类）

常量函数

y=C（C为常数）；

幕函数

y=xa（a^R）；

指数函数y=a\a>0卫工1）；

对数函数

y=loagx4>

三角函数

y=sirr尸cgf写，rg^c；

反三角函数y=arcsinx,y=arccosx.y-arctgx,y-arcctgx.

注：

幕函数y=x"（€ze/?

）和指数函数y=a\a>O.a^l）都涉及乘幕，而在中学数学课程中只给了有理指数乘幕的定义.下面我们借助于确界来定义无理指数幕，便它与有理指数幕一起构成实指数乘幕，并保持有理批数幕的基本性质.

定义2给定实数。

>04工1,设兀为无理数，我们规定：

'sup｛八厂为有理数｝，当。

>1时，

axr

inf｛tzr|厂为有理数｝，当0vav1时.

（二）初等函数

定义3由基本初等函数经过在有限次四则运算与复合运算所得到的函数，统称为初等函数.

J严長]

女[1：

y=2sinx+cos2x,y=sin（—）,y=1og“兀——，y=|兀|・

xx

不是初等函数的函数，称为非初等函数.如Dirichlet函数、Riemann函数、取整函数等都是非初等函数.

注：

初等函数是木课程研究的主要对象•为此，除对基木初等函数的图象与性质应熟练掌握夕卜，述应常握确定初等函数的定义域.确定定义域时应注意两点.

例2.求下列函数的定义域.

（1）y=—^-；

（2）=In|sinx|.

Vx-\

（三）初等函数的几个特例

设函数/（兀）和g（x）都是初等函数，贝I」

（!

）|/（无）|是初等函数，因为I/（劝I=J（/O））2•

（2）O（x）=max{/（x）,g（x）}和^（x）=min{/（x）,g（x）}都是初等函数,

因为①（兀）=max{/（x）,g（x）}=+[/（x）+g（x）+|/（x）一g（x）|],

0（x）=min{/（x）,g（x）}=[f（x）+g（x）-|/（x）-g（x）|].

（3）幕指函数（/（x）Xu）（/（x）>0）是初等函数，因为

（/（朗严）=0如严=严5）.

§1.4具有某些特性的函数

教学目标：

熟悉与初等函数性态有关的一些常见术语;深刻理解有界函数、单调函数的定义;理解奇偶函数、周期函数的定义；会求一些简单周期函数的周期.

教学重点：

函数的有界性、单调性.

教学难点：

周期函数周期的计算、