尼克尔森微观经济学.docx
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尼克尔森微观经济学
第三部分生第7章生产函数
探RTS的性质
探规模报酬不变的生产函数的性质
海位似生产函数V.S规模报酬
探替代弹性的性质
探技术进步
♦RTS递减的条件
二f(k,l)是拟凹函数
fki0是RTS递减的充分条件,但不是必要条件
♦规模报酬不变生产函数的性质
(:
)MPk和MPl是齐次零次性二MR(tk,tl)=MR(k,l)
(2)MPk和MPl仅与k/l有关令t=1/1二MP|(k/l,1)=MR(k,l)
(3)RTS仅与k/l有关二位似生产函数
♦位似生产函数V.S规模报酬
(1)位似生产函数
任何齐次函数的单调变换
F(k,l)=[f(k,l)]r其中f(k,l)为规模报酬不变的生产函数
(2)位似生产函数可以是任何一种规模报酬的情况
r1(规模报酬递增)/r=1(规模报酬不变)/—1(规模
报酬递减)
所有的Cobb-Douglas/CES/完全替代/固定比率的生产
函数都是位似的
♦替代弹性(Elasticityofsubstituten)的性质
(1)假设前提:
沿着等产量线;要素价格不变,其他可能的要素投入保持不变
(2)表达式:
c.d(lnk/l^d(lnk/l)
dRTSd(fl/fk)
Howtoproof?
(3)不同生产函数的替代弹性
完全替代(线性):
二/固定比率:
—0/
Cobb-Douglas:
:
-1
CES生产函数(q=[kpip]r/pp<1p=0r0)
1-=~
1-p
性质:
r1(规模报酬递增)/r<1(规模报酬递减)
「1(完全替代)/—」:
(固定比率)/—0
(Cobb-Douglas函数)
探技术进步
(1)生产函数:
q二A(t)f(k,l)
(2)G^Gaeq,kGkeq,lGl其中G二鱼型(变化率)
i
推导(课本201页)
(3)特例:
q二AeST—〉
q=A(e牟)〉(e勺)1J(分别考虑技术对劳动和资本的影响)
v-:
•(仁:
);
第8章成本函数
探成本最小化条件
探生产扩张曲线(ExpansionPath)
探成本函数的性质
探要素投入替代偏弹性(Partialelasticityofsubstitution)
探技术进步对成本的影响
♦成本最小化条件
(1)最小化的条件:
RTS二勺,
fkv
上二主即:
最后一美元的边际产量对于任何一种投入要素
wv
都一致
(2)拉格朗日乘子的涵义
.wv
扎==
flfk
实质:
边际成本,即增加一单位产量(约束)对成本的影响
♦生产扩张曲线(ExpansionPath)
(1)在等成本线的图上,不同产量水平下使得RTS=W的所有投入要
v
素组合的点的连线
(2)位似生产函数=•生产扩张曲线为直线
类似于位似偏好下,收入扩张曲线为直线
Cobb-Douglas/CES/完全替代/固定比率的生产扩张曲
线都为直线
(3)不存在劣等投入要素(吕:
:
:
0)的条件下,扩张曲线斜率为正
cl
♦成本函数的性质
(1)成本函数是要素价格的一次齐次性=C(tw,tr,q)二tc(w,r,q)
(2)成本函数是产量,要素价格的非减函数
直观证明:
假设要素价格从W0上升到W1,其成本函数是w的递减函数
贝S:
w0l*r0k*w1lr0k'
另外:
w*'•r°k'•w°l'•r°k'=w°l*•r°k*^。
1'・冰’(不满足成本最小化)
包络定理证明:
C=丄=,(=MC)亠0
cqcq
(3)成本函数是要素价格的凹函数
2
包络定理证明:
書「(丄)=“:
:
:
0
「V;v「V「V
图形解释(课本227页)
(4)AC是要素价格的一次齐次;且为要素价格的增函数
Proof:
ac=C,而C是要素价格的增函数
q
(5)MC也是要素价格的一次齐次;对于正常要素,MC是要素价格的增函数,对于劣等投入,MC贝为要素价格的减函数
Proof.we_汽_汽兰
cvcvdvdq(q£vcq
对于正常投入:
兰.0对于劣等投入:
兰:
:
:
0
cqcq
♦要素投入替代偏弹性(Partialelasticityofsubstitution)
(1)表达式:
編=卫皿
c(lnw/v)c(w/v)k/l
对于固定比率的生产函数:
乂=0
(2)对比替代弹性(;丁)
二基于生产函数的性质/skl基于成本最小化的前提
对于存在其他投入要素时,-不允许其他要素的投入量发
生改变;skl则允许其使用量发生变化
由于成本最小化要求-=RTS•,因此二和Skl在数值上是-
vfk
致的
♦技术进步对成本的影响
(1)假设
生产函数为:
q=A(t)f(k,l)k=k(t)l=l(t)
生产函数是规模报酬不变的
技术中性,即:
不影响要素的价格,从而不影响要素的要素投
入选择
(2)结论:
Ct(v,w,q)=Co(v,w,q)/A(t)
Proof:
Ct(v,w,q)=qCt(v,w,1)=qCo(v,w,1)/A(t)=Co(v,w,q)/A(t)
(3)技术进步不改变总成本的要素价格的弹性
第9章利润最大化探逆弹性法则
探利润函数性质
狐条件要素需求V.S要素需求
探生产者剩余
探利润最大化
探要素价格对要素需求的影响
♦逆弹性法则
(1)卩EC—(推导:
MC=P(1丄))
Pq,pq,p
(2)这个式子仅针对eq,p:
:
:
-1(富有弹性)有意义
(3)面对供给者的需求越有弹性,P与MC的差距越小(eq,pT閃,
P二MC)
♦利润函数性质
(1)利润函数是价格的一次齐次性=i(tp,tw,tv)=t-:
(p,w,v)
产量和要素需求是价格的零次齐次性
-■q(tp,tw,tv)二q(p,w,v)
(2)利润函数是产出价格P的非递减函数
直观证明:
假设利润函数是产出价格P的递减函数,产出价格
从Po上升到Pi
贝S:
p0q*-wl*-rk*pg'-wl'-rk
与利润最大化矛盾包络定理证明:
二(p,v,w)忙。
即
(3)利润函数是要素价格的非递增函数
直观证明:
假设利润函数是w的递增函数,要素价格从wo上升到w1
则:
pq*_w0l*_rk*cpq'—wj'_rk'
另夕卜:
pq'_wj'_rk':
:
pqw0lrk'二pq*-w0l*_rk*:
:
pqw0lrk'
与利润最大化矛盾
包络定理证明:
--(p,V,wK^ eV (4)利润函数是产出价格的凸函数 (定义): 只需证明 k二g,v,w)(1-k)二(P2,v,w)一二(kpr(1-k)p2,v,w) 包络定理证明: 三二丄(三)=a_Q 'V: V'V'V ♦条件要素需求V.S要素需求 (1)条件要素需求函数 : : C*c k V.V ©c 一一l : w;=w (2)要素需求函数 : 二(p,V,w)k -V 二(P,V,w)l cw ♦生产者剩余 (1)生产者剩余的定义: 生产者进行生产比没有生产所能得到的额 外收益 (2)短期生产者剩余PS=二@)—二血)=pa—vk—wh—(―vk)二pg—wh (3)短期生产者剩余PS二二(pi)-二(po)二二(口)-(-vk)二二(pi)vk p2p2" (4)二PS=welfare-gainq(p)dpdp=二(p2)-二(pj 、pi5cp ♦利润最大化 (1)问题描述: 二二pf(k,l)_(vk•wl) (2)利润最大化的条件: 一阶条件: MRR=MRxMR=pxMR=w 二阶条件: 二kk二fkk: : : 0二ii二fll: : : 0 iii二kk二fllfkk_fkl0(生产函数是拟凹函数)♦要素价格对要素需求的影响 (1)仅考虑劳动是唯一可变的要素(短期) (2)同时考虑存在两种可变要素(长期) Slutsky方程 substitution-effect■—(替代效应是负的, : w output-effe卄兰旦二兰込MC! 竺 ■q: w.q.MC: w 无论劣等投入或是正常投入,产出效应都是负的(所谓 要素需求是自身要素价格的负向函数 然而,不同要素价格对需求的影响是不确定的! ! ! (3)替代效应和产出效应的计算 substitution-effect=丨c(v',w,q*)-I(v,w,p)其中q*二q*(v,w,p)output-effect=l(v',w,p)-|c(v',w,q*) 注意: 替代效应是沿着等产量曲线计算的! ! ! 第四部分竞争市场 第10章局部均衡竞争模型 探市场均衡的数学模型 探长期均衡(针对: 成本不变的行业) 探长期供给曲线的形状 探市场中的企业数量分析探长期中的生产者剩余 ♦市场均衡的数学模型 (1)Qd二D(p,: )Qs二S(p,J 其中〉包括各种可能移动需求曲线的因素: 其他商品价格、收入、 偏好 [包括各种移动供给曲线的因素: 要素价格、技术 : p_De二乩匚 创Sp-DpP,aes,p~eD,p R_Sce「 邻Dp-SpP,初-也 推导: Qd=Qs=dQD二dQs=DpdpD.d-SpdpS: d: ♦长期均衡(针对: 成本不变的行业) (1)企业利润最大化要求: P二MC 长期利润为零: P二AC(这个条件只有当存在自由准入和退出时 成立) (2)求解步骤 Stcpl: 由AC二MC=q*和p*=ACmin Stcp2: QD(p*)二Q* Stcp3: Q*n_ q* ♦长期供给曲线形状 (1)成本不变行业(企业进入不影响要素价格)nCs,p=°° (2)成本增加行业(随着企业的进入AC和MC) LS向右上方倾斜,但比短期的供给曲线弹性更大 (3)成本减少行业(随着企业进入AC3和MCJ LS向右下方倾斜nes,pcO (4)对比: 短期供给弹性V.S长期供给弹性 短期: 供给曲线的弹性总是正的,ess,p0 长期: 供给曲线的弹性可以是正的,也可以是负的 ♦市场中的企业数量分析 引起了成本变化) .: q*r;MCJr;: AC: : MC】 [][] : v: q: : v: : v Proof: AC(v,w,q*)二MC(v,w,q*) (2)企业数量变化: 衍»n。 冬Q q1qo 的) 若: q1>q0(Q1£Q°),贝SnJ 若: ql ♦长期中的生产者剩余 (1)长期中的生产者剩余属于要素拥有者 对比: 短期(生产者剩余属于生产者) (2)不同情况下的生产者剩余的大小 不变成本的行业: PS=O(要素的供给曲线水平) 成本增加的行业: PS0(要素的供给曲线斜向上倾斜)不同的要素供给成本,使得较低成本的要素拥有者获得了生产者剩余 (3)长期生产者剩余的计算 对比: 短期生产者剩余(二者都是供给曲线之上,价格曲线之下的面积) 图形分析(课本308页) 要素价格最终由边际企业的成本决定! ! (4)经济租产生的原因 稀缺性(表现为: 要素的供给不是完全弹性的,即: 随着要素供给的增加,要素价格上升,斜向上倾斜的要素供给曲线) 解释: 不变成本的行业不存在长期生产者剩余 要素的供给是完全弹性的(仅存在唯一的供给价格) 第11章应用竞争分析(局部均衡下的社会福利分析) 探税负转移的数学推导 探关税的福利分析 ♦税负转移的数学推导(假设: 从量税) (1)dPDSp「0坐巳匚_0(eD乞0, dtSp-Dpes-$dtSp-Dpe^—eD es一0) 推导: dPD-dPs-dt以及dQD二dQs=DpdP。 =Spdp (2)dPs/dteD -dPD/dC_es 弹性越小的一方,税负转移越大;反之,弹性越大的一方,税 负转移越小 1dt (3)DW(—)2[eDes/(es—e。 )]P°q° Po 推导: eD二d^^hdQ二e°dPDQ。 /P。 二e°es/(es-e°)dtQ/RdP。 /P。 (需要用到: 业二dPD=」^dt) dte$-eDe$_eD 若es=0或eD=0,则DW=0(税收不会影响市场最终的交易量) 当eD和es较小时,DW也较小 ♦关税的福利分析 (1)定性分析 图形分析(课本328页) (2)定量分析(从价税: PR=(1t)PW)结合上图 2 DW1=0.5(Pr-Pw)(Q1-Q3)=-0.5teDPwQ^0 推导: Q一Q1Pr-FW丄 eD二te° 探供给的一般均衡 探一般市场均衡的条件及求解 探贸易对要素价格的影响 探帕累托有效的生产配置 探商品组合的帕累托有效配置(考虑生产和消费的关系) 探完全竞争市场的配置和帕累托有效配置 ♦供给的一般均衡 (1)EdgeworthBox(两种产出+两种要素) 坐标轴: 要素(L和F)的总量;Ox和Oy: 商品x和y 要素分配的有效性条件: RT&nRTSy(两种商品的等产量线相切) (2)生产可能性曲线(PPF(一个生产者+两种要素+两种产出) 商品组合满足两个条件 所需的要素总量恒定 要素在不同商品中的分配是有效的(RTSx-RTSy) PPF上的商品组合也就是EdgeworthBox上契约线的左右组合PPF的内涵: 要素如何组合生产以及如何在不同产出之间进行分配 对比: 其他几种不同内涵的PPF 一个生产者+一种要素+两种产出: 反映要素总量的恒 两个生产者+(一种要素)+两种产出: 反映不同生产 者的比较优势(即: 产出如何在不同人之 )产品转换率 间进行分配) (3)RPT(rateofproducttransformation 定义式: RPT=-巴(沿着PPF)dx 推导: 沿着PPF,由于投入要素总量一定,因此满足 C(x,y)=0 (4)解释: RPT为什么随着x的增加而增大(即: PPF是凹的) 原因1: 两种商品的生产都是规模报酬递减(MCx和MCy) 举例: X=f(lx)=l: 5;y=f(ly^l0.5;lxly=100 原因2: 某些要素对生产x或生产y更有利,随着产量增加被迫采用较不合适的要素,从而使得MCx 不满足要素同质性 原因3: 两种商品的要素密集型不同(所需的k/l的比例不同-契约曲线非直线) 利U用EdgeworthBox解释契约曲线的形状(课本338页)举例: x=k: 5l: 5;y=k0.25ly.75;L=100;K=100 如何求PPF(课本343页) 若不存在以上三种情况,即: 生产是规模报酬不变的/要素密集型相同/要素满足同质性,则PPF就是一条直 线! ! ♦一般市场均衡的条件及求解 (1)一般市场均衡的条件: 生产: RTSx=RTSy(反映在PPF以及RPTa-RPTb 消费: MRSa=MRSB RPT二MRS二空 Py u(x,y) (利润最大化+效用最大化+市场出 %=(Px -ACx)x* 清) (2)求解: 市场的均衡价格 Stepl: 根据PPF确定RPT Step2: 根据u(x,y)确定MRS Step3: MRS二RPT=x*/y* Step4: x*/y*代入PPF二x*和y* Step5: RTS=MRS二旦二(匕)* PyPy (3)求解: 预算约束(仅考虑单一的要素: 劳动;假设工资价格为w Stepl: Px=MCx=p; Step2: 二x=(px-ACx)x*(同理求出二y=(Py-ACy)y*) ** Step3: income=labor_incomeprofits二w(lxly)•(二x「y) ♦贸易对要素价格的影响 (1)图形解释(PPF+EdgeworthBox) 课本348页/338页 (2)分析: 贸易使得进口品(grain)的价格下降,出口品(制造品)的价格上升 假设: 进口品(grain)是资本密集型的,出口品(制造品)是劳动密集的 结论: 贸易使得资本的相对价格下降(Pk/R),资本的使用量 (K/L)相对上升 对资本拥有者不利,对劳动供给者有利 (3)Stolper-Samuelson定理(斯托尔伯-萨缪尔森定理) 论点: 某一商品相对价格上升,将导致该商品密集使用的生产要素的实际价格或报酬提高;另一种要素的报酬相对下降 在国际贸易中的应用: 出口行业(价格上升行业)中密集使用的生产要素的报酬提高;进口行业密集使用的生产要素的报酬降低 推导: 国际贸易使得进口行业的要素向出口行业流动;一方面造成出口对劳动需求的相对富余,另一方进口释放的劳动供给相对短缺;从而资本相对过剩,劳动相对不足。 故: 资本的相对价格下降;生产者转向使用资本,使得资本的使用量相对上升。 另外,这将推导劳动的边际产量增加,资本的边际产量减少,从而劳动的工资提高,资本的收益相对降低 ♦帕累托有效的生产配置 (1)生产有效的三层含义(ProductionEfficiency) 单一企业内部的资源配置的有效,即: 要素在不同产出之间的 分配 要素在企业之间分配的有效性 企业之间的产出协调的有效性,即: 不同的产出在企业之间的 分配 (2)单个企业内部的资源配置 两种要素+两种产出+单一企业 图形分析: EdgeworthBox 结论: RTSx=RTSy 数学证明: 最大化的条件为: fk/£二gk/g=RTSx二RTSy 结论: 要素的边际技术替代率对于两种产出都相同 (3)要素在企业之间的分配 两种要素+单一产出+两个企业 数学证明: maxx=右佔由)+f2(k2,J)s.tk|+k2=kh+l2=l 最大化的条件为: MPK厂MPK2MPL广MPL2 结论: 每一种要素的边际产出对于不同生产者而言是相同的 (4)企业之间的产出协调(产出在企业之间的分配)比较优势 两种产出+两个企业 数学证明: maxx「X2s.ty=仏为)•f2(x2)=y(其中f(x)为PPF 的函数) 最大化条件为: 二二圭二RPT,=RPT2 x1x2 结论: 两个企业的产品转换率相同 ♦商品组合的帕累托有效配置(考虑生产和消费的关系) (1)图形说明: RPT-MRS即: PPF和无差异曲线相切 (2)数学证明: maxu(x,y)stT(x,y)=O(其中T(x,y)为PPF的函数) ♦完全竞争市场的配置和帕累托有效配置 (1)完全竞争市场的配置所实现的关系 成本最小化: RTSx=RTSy二- yv 利润最大化: MPL厂MPL2二-MPK厂MPK2=Y PP 利润最大化(Pi=MCi): RPT;二匹^二旦二RPT2 MCyPy 消费者效用最大化: MRS二理(二RPT) Py (2)完全竞争市场V.S帕累托有效配置 完全竞争市场的配置所实现的关系满足帕累托有效配置的所 有条件,故: 完全竞争市场的配置是帕累托有效的(福利经 济学第一定理) (3)完全竞争市场不成立的几种原因 不完美竞争(垄断/寡头等)/外部性/公共品/信息不完 第五部分不完美竞争模型 第13章垄断竞争霏质量选择模型(对比: 垄断V.S完全竞争)探价格歧视 探垄断企业的定价 ♦质量选择模型(对比: 垄断V.S完全竞争) (1)垄断的质量选择的模型 论一致) 'Q空-Cx=0(决定质量X的选择) .XdX (2)完全竞争下的质量选择模型 Q*_一 maxSW=LP(Q,X)dQ-C(Q,X)(目标: 社会福利最大化)其中: MC(Q*)=P 最大化的条件为: $旦二”Px(Q,X)dQ-Cx=0 cX0 q*FS\八/ 令AV=(Px(Q,X)dQ)/Q贝S: AV・Q-Cx=0 0cX (3)垄断V.S完全竞争 垄断: 'Q-d^-CxCx=Q-dP 张dXdX 完全竞争: =AV—Cx=0二Cx=AV 次 即使垄断和完全竞争下选择的产量一致,二者选择的质量也是 不同的 ♦价格歧视 (1)一级价格歧视 垄断者的利润计算: (生产者剩余的计算) Stepl: P二MC(Q)=Q*(垄断者会选择与完全竞争一致的 产量) Q*, Step2: rp(Q)dQ(需求曲线之下的面积) Step3: -二R-C(Q*) 注: 若是计算PS,则 Q* PS=x+FC=R_AC(Q*)=J'(P_MC)dQ ■Q (其中Q'为企业进入市场的最低产量要求) (2)二级价格歧视(Two-parttariffs) 索价方式: T(q)=apq 条件: 若两个市场的一次性支付(a)相同,则q较大的市场的消费者不可以转卖给q较小的市场的消费者(前者的平均价格较低) 计算I: 存在两个市场(不同需求函数)的T(q)的确定 假设: a和p在两个市场一致,mc=c Step1: a二CS(qJmin=a=a(p) Step2: 把a=a(p)带入二=2a(^MC)(q1q2),—二0=p* Step3: 把p*带入a=a(p)=a*;把p*带入需求函数=qi* 计算II: 假设p在两个市场一致,但a允许不一致 定价策略为: p=mc,a=cSj 垄断者同一级价格歧视下一样,获得了最大的生产者剩余, 而消费者剩余为0 其他的定价方式(实现“自我选择”) 举例: (课本413页,难! ! ) (3)三级价格歧视(两个市场分别定价) 对比: 单一的定价方式 三级价格歧视下,垄断企业可以获得更高的利润 社会福利损失的比较是不确定的,一般认为只有当三级价格歧视下销售的总量增加时,其社会福利的损失才低于单一的定价方式,即: 社会福利水平较高 线性需求下,三级价格歧视相对于完全竞争市场的无效损失 比采取单一价格策略的无效损失大;但二者的总产量是一样 的! !
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- 尼克 微观经济学