全国中考数学试题分类解析汇编矩形菱形正方形.docx

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全国中考数学试题分类解析汇编矩形菱形正方形

20XX年全国中考数学试题分类解析汇编矩形、菱形、正方形

20XX年全国中考数学试题分类解析汇编

专题44：

矩形、菱形、正方形

一、选择题

1.（2012天津市3分）如图，在边长为2的正方形ABCD中，M为边AD的中点，延长MD至点E，使ME=MC，以DE为边作正方形DEFG，点G在边CD上，则DG的长为【】

（A

）1（B

）3-（C

（D

-1

【答案】D。

【考点】正方形的性质，勾股定理。

【分析】利用勾股定理求出CM的长，即ME的长，有DM=DE，所以可以求出DE，从而得

1

到DG的长：

∵四边形ABCD是正方形，M为边AD的中点，∴DM=2DC=1。

∴CM=

ME=MC=ED=EM－

DM=1。

∵四边形EDGF是正方形，∴

DG=DE=1。

故选D。

2.（2012安徽省4分）为增加绿化面积，某小区将原来正方形地砖更换为如图所示的正八边形植草砖，更换后，图中阴影部分为植草区域，设正八边形与其】

A.2aB.3aC.4aD.5a

【答案】A。

【考点】正多边形和圆，等腰直角三角形的性质，正方形的性质。

【分析】图案中间的阴影部分是正方形，面积是a，由于原来地砖更换成正八边形，四周一个阴影部分是对角线为a的正方形的一半，它的面积用对角线积的一半来计算：

a+2222221

2´1

2a´4=2a22

。

故选A。

3.（2012山西省2分）如图，已知菱形ABCD的对角线AC．BD的长分别为6cm、8cm，AE⊥BC于点E，则AE的长是【】

48

A

．B

．C．5

【答案】D。

【考点】菱形的性质，勾股定理。

1cm24D．5cm1

【分析】∵四边形ABCD是菱形，∴CO=2AC=3，BO=2BD=，AO⊥BO，

S菱形ABCD=1

2BD×AC=1

2´6´8=24

∴==5。

∴。

又∵S菱形ABCD=BC×AEAE=24

5，∴BC·AE=24，即（cm）。

故选D。

4.（2012陕西省3分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，OE⊥AB，垂足为E，若∠ADC=1300，则∠AOE的大小为【】

A．75°C．55°

【答案】B。

【考点】菱形的性质，直角三角形两锐角的关系。

B．65°D．50°

【分析】根据菱形的邻角互补求出∠BAD的度数，再根据菱形的对角线平分一组对角求出∠BAO的度数，然后根据直角三角形两锐角互余列式计算即可：

11

在菱形ABCD中，∠ADC=130°，∴∠BAD=180°－130°=50°。

∴∠BAO=2∠BAD=2×50°=25°。

∵OE⊥AB，∴∠AOE=90°－∠BAO=90°－25°=65°。

故选B。

5.（2012浙江台州4分）如图，菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为【】

A．1B

C．2D

＋1

【答案】B。

【考点】菱形的性质，线段中垂线的性质，三角形三边关系，垂直线段的性质，矩形的判定和性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。

【分析】分两步分析：

（1）若点P，Q固定，此时点K的位置：

如图，作点P关于BD的

对称点P1，连接P1Q，交BD于点K1。

由线段中垂线上的点到线段两端距离相等的性质，得

P1K1=PK1，P1K=PK。

由三角形两边之和大于第三边的性质，得P1K＋QK＞P1Q=P1K1

＋QK1=PK1＋QK1。

∴此时的K1就是使PK+QK最小的位置。

（2）点P，Q变动，根据菱形的性质，点P关于BD的对称点P1在AB上，即不论点P在BC上任一点，点P1总在AB上。

因此，根据直线外一点到直线的所有连线中垂直线段最短的性质，得，当P1Q⊥AB时P1Q最短。

过点A作AQ1⊥DC于点Q1。

∵∠A=120°，∴∠DAQ1=30°。

23=又∵AD=AB=2，∴P1Q=AQ1=AD·

cos300=。

综上所述，PK+QK

的最小值为。

故选B。

6.（2012江苏南通3分）如图，矩形ABCD的对角线AC＝8cm，∠AOD＝120º，则AB的长为【】

A．B．2cmC．2D．4cm

【答案】D。

【考点】矩形的性质，平角定义，等边三角形的判定和性质。

1

【分析】在矩形ABCD中，AO=BO=2AC=4cm，

∵∠AOD=120°，∴∠AOB=180°－120°=60°。

∴△AOB是等边三角形。

∴AB=AO=4cm。

故选D。

7.（2012江苏苏州3分）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC.若AC=4，

则四边形CODE的周长是【】

E

D

C

A.4B.6C.8D.10

【答案】C。

AB

【考点】矩形的性质，菱形的判定和性质。

【分析】∵CE∥BD，DE∥AC，∴四边形CODE是平行四边形。

1

∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD=4，OA=OC，OB=OD。

∴OD=OC=2AC=2。

∴四边形CODE是菱形。

∴四边形CODE的周长为：

4OC=4×2=8。

故选C。

1

8.（2012江苏徐州3分）如图，在正方形ABCD中，E是CD的中点，点F在BC上，且FC=4BC。

图中相似三角形共有【】

A．1对B．2对C．3对D．4对

【答案】C。

【考点】正方形的性质，勾股定理，相似三角形的判定。

【分析】根据正方形的性质，求出各边长，应用相似三角形的判定定理进行判定：

同已知，设CF=a，则CE=DE=2a，AB=BC=CD=DA=4a，BF=3a。

根据勾股定理，得

，

AE=，AF=5a。

CF=CE

DA=EF

AD=1

2,CF

EF=CE

EA=EF

AF=5DE

EF=DA

EA=AE

AF=5

∴DE。

∴△CEF∽△DEA，△CEF∽△EAF，△DEA∽△EAF。

共有3对相似三角形。

故选C。

9.（2012福建宁德4分）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，点E、F、G、H分别在矩形ABCD

的各边上，EF∥HG，EH∥FG，则四边形EFGH的周长是【】

A．B．C．2D．【答案】D。

【考点】矩形的性质，三角形中位线定理，平行四边形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质。

【分析】∵在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3

，∴AC=BD==

又∵点E、F、G、H分别在矩形ABCD的各边上，EF∥HG，EH∥FG，

∴不妨取特例，点E、F、G、H分别在矩形ABCD的各边的中点，满足EF∥HG，EH∥FG。

3∴CG=ｘ，CF=2，∴

FG=2。

∴四边形EFGH

的周长是D。

33

对于一般情况，可设CG=ｘ，则CF=2ｘ，DG=2－ｘ，BF=3－2ｘ。

FG=

CG由△CFG∽△CBD得BDCD=

x

2，∴FG=2x

。

33-

EFBF==

EF=3由△BEF∽△BAC得ACBC，∴2x

。

∴四边形EFGH的周长是2（EF＋EG）

=D。

10.（2012福建厦门3分）如图，在菱形ABCD中，AC、BD是对角线，若∠BAC＝50°，则∠ABC等于【】

A．40°B．50°C．80°D．100°

【答案】C。

【考点】菱形的性质，平行的性质。

1

【分析】∵四边形ABCD是菱形，∴∠BAC=2∠BAD，CB∥AD。

∵∠BAC=50°，∴∠BAD=100°。

∵CB∥AD，∴∠ABC+∠BAD=180°。

∴∠ABC=180°－100°=80°。

故选C。

11.（2012湖北宜昌3分）如图，在菱形ABCD中，AB=5，∠BCD=120°，则△ABC的周长等于【】

A．20B．15C．10D．5

【答案】B。

【考点】菱形的性质，等边三角形的判定和性质。

1419956

【分析】∵ABCD是菱形，∠BCD=120°，∴∠B=60°，BA=BC。

∴△ABC是等边三角形。

∴△ABC的周长=3AB=15。

故选B。

12.（2012湖北恩施3分）如图，菱形ABCD和菱形ECGF的边长分别为2和3，∠A=120°，

则图中阴影部分的面积是【】

A

．B．2C．3D

【答案】A。

【考点】菱形的性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。

【分析】如图，设BF、CE相交于点M，

∵菱形ABCD和菱形ECGF的边长分别为2和3，

CM=BCCM=2

2+3。

∴△BCM∽△BGF，∴GFBG，即3

解得CM=1.2。

∴DM=2﹣1.2=0.8。

∵∠A=120°，∴∠ABC=180°﹣120°=60°。

=∴菱形ABCD边CD上的高为2sin60°

=2×2

，2菱形ECGF边CE上的高为3sin60°

=3×2

1=。

1=∴阴影部分面积=S△BDM+S△DFM=2×

2×

0.8×2。

故选A。

13.（2012湖北黄冈3分）若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得四边形是矩形，则四边形ABCD一定是【】

A.矩形B.菱形C.对角线互相垂直的四边形D.对角线相等的四边形

【答案】C。

【考点】矩形的性质，三角形中位线定理。

【分析】如图，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，

根据三角形中位线定理得：

EH∥FG∥BD，EF∥AC∥HG。

∵四边形EFGH是矩形，即EF⊥FG，∴AC⊥BD。

故选C。

14.（2012湖北孝感3分）如图，在菱形ABCD中，∠A＝60º，E、F分别

是AB、AD的中点，DE、BF

相交于点G，连接BD、CG．给出以下结论，其中正确的有【】

①∠BGD＝120º；②BG＋DG＝CG；③△BDF≌△CGB

；④SDADE=4B2

．

A．1个B．2个C．3个D．4个

【答案】C。

【考点】菱形的性质，等边三角形的判定和性质，多边形∴△ABD是等边三角形。

又∵E是AB的中点，∴∠ADE＝∠BDE＝30º。

∴∠CDG＝90º。

同理，∠CBG＝90º。

在四边形BCDG中，∠CDG＋∠CBG＋∠BCD＋∠BGD=3600，∴∠BGD＝120º。

故结论①正确。

1

由HL可得△BCG≌△DCG，∴∠BCG＝∠DCG＝30º。

∴BG=DG=2CG。

∴BG＋DG＝CG。

故结论②正确。

在△BDG中，BG＋DG＞BD，即CG＞BD，∴△BDF≌△CGB不成立。

故结论③不正确。

∵DE=ADsin∠A=ABsin60º

=2AB，

SDADE=1

2×AB×DE=1

2×AB2=42

∴。

故结论④正确。

综上所述，正确的结论有①②④三个。

故选C。

15.（2012湖北襄阳3分）如图，ABCD是正方形，G是BC上（除端点外）的任意一点，DE⊥AG于点E，BF∥DE，交AG于点F．下列结论不一定成立的是【】

A．△AED≌△BFAB．DE﹣BF=EFC．△BGF∽△DAED．DE﹣BG=FG

【答案】D。

【考点】正方形的性质，直角三角形两锐角的关系，全等、相似三角形的判定和性质，完全平方公式，勾股定理。

【分析】∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，AD∥BC，

∵DE⊥AG，BF∥DE，∴BF⊥AG。

∴∠AED=∠DEF=∠BFE=90°。

∵∠BAF+∠DAE=90°，∠DAE+∠ADE=90°，∴∠BAF=∠ADE。

∴△AED≌△BFA（AAS）。

故结论A正确。

∴DE=AF，AE=BF，∴DE﹣BF=AF﹣AE=EF。

故结论B正确。

∵AD∥BC，∴∠DAE=∠BGF。

∵DE⊥AG，BF⊥AG，∴∠AED=∠GFB=90°。

∴△BGF∽△DAE。

故结论C正确。

AB

由△ABF∽△AGB得AG=AF

AB，即AB=AF×AG。

2

222222由勾股定理得，AF=AB-BG，FG=BG-BF。

2222222DE-BG）∴（

2=（AF-BG）=AF+BG-2AF×BG=AB-BF+BG-2AF×BG2222=AB+（BG-BF）-2AF×BG=AF×AG+FG-2AF×BG=FG+AF（AG-2BG）。

∵AG-2BG¹0（只有当∠BAG=300时才相等，由于G是的任意一点，∠BAG=300不一定），

2DE-BG）∴（不一定等于FG，即DE﹣BG=FG不一定成立。

故结论D不正确。

故选D。

2

16.（2012湖南长沙3分）下列四边形中，两条对角线一定不相等的是【】

A．正方形B．矩形C．等腰梯形D．直角梯形

【答案】D。

【考点】正方形、矩形、等腰梯形和直角梯形的性质

【分析】根据正方形、矩形、等腰梯形的性质，它们的两条对角线一定相等，只有直角梯形的对角线一定不相等。

故选D。

17.（2012湖南长沙3分）已知：

菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，OE∥DC交BC于点E，AD=6cm，则OE的长为【】

A．6cmB．4cmC．3cmD．2cm

【答案】C。

【考点】菱形的性质，三角形中位线定理。

【分析】∵四边形ABCD是菱形，∴OB=OD，CD=AD=6cm，

1

∵OE∥DC，∴OE是△BCD的中位线。

∴OE=2CD=3cm。

故选C。

18.（2012湖南张家界3分）顺次连接矩形四边中点所得的四边形一定是【】

A．正方形B．矩形

【答案】C。

C．菱形D．等腰梯形

【考点】矩形的性质，三角形中位线定理，菱形的判定。

【分析】如图，连接AC．BD，

1

在△ABD中，∵AH=HD，AE=EB，∴EH=2BD。

111

同理FG=2BD，HG=2AC，EF=2AC。

又∵在矩形ABCD中，AC=BD，∴EH=HG=GF=FE。

∴四边形EFGH为菱形。

故选C。

19.（2012四川成都3分）如图．在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，下列说法错误的是【】A．AB∥DCB．AC=BDC．AC⊥BDD．OA=OC

B

【答案】B。

【考点】菱形的性质。

【分析】根据菱形的性质作答：

A、菱形的对边平行且相等，所以AB∥DC，故本选项正确；

B、菱形的对角线不一定相等，故本选项错误；

C、菱形的对角线一定垂直，AC⊥BD，故本选项正确；

D、菱形的对角线互相平分，OA=OC，故本选项正确。

故选B。

20.（2012四川自贡3分）如图，矩形ABCD中，E为CD的中点，连接AE并延长交BC的

延长线于点F，连接BD．DF，则图中全等的直角三角形共有【】

A．3对B．4对C．5对D．6对

【答案】B。

【考点】矩形的性质，直角三角形全等的判定。

【分析】根据矩形的性质和直角三角形全等的判定，图中全等的直角三角形有：

△AED≌△FEC，△BDC≌△FDC≌△DBA，共4对。

故选B。

21.（2012四川泸州2分）如图，菱形ABCD的两条对角线相交于O

，若AC=6，BD=4，则菱形的周长是【】

A、24B、16

C

、D、【答案】C。

【考点】菱形的性质，勾股定理。

11

【分析】∵四边形ABCD是菱形，AC=6，BD=4，∴AC⊥BD，OA=2AC=3，OB=2BD=2，AB=BC=CD=AD。

∴在Rt△AOB

中，AB===

∴菱形的周长是：

4AB=4。

故选C。

22.（2012四川泸州2分）如图，矩形ABCD中，E是BC的中点，连接AE，过点E作EF⊥AE

AB

交DC于点F，连接AF。

设AD=k，下列结论：

（1）△ABE∽△ECF，

（2）AE平分∠BAF，（3）当k=1时，△ABE∽△ADF，其中结论正确的是

【】

A、

（1）

（2）（3）B、

（1）（3）C、

（1）

（2）

【答案】C。

D、

（2）（3）

【考点】矩形的性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数定义，正方形的判定和性质。

【分析】

（1）∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=∠C=90°。

∴∠BAE+∠AEB=90°。

∵EF⊥AE，∴∠AEB+∠FEC=90°。

∴∠BAE=∠FEC。

∴△ABE∽△ECF。

故

（1）正确。

EC=EF

AE.

BE=EF

AE。

（2）∵△ABE∽△ECF，∴AB∵E是BC的中点，∴BE=EC。

∴AB

BE

在Rt△ABE中，tan∠BAE=AB，

EF

在Rt△AEF中，tan∠EAF=AE，

∴tan∠BAE=tan∠EAF。

∴∠BAE=∠EAF。

∴AE平分∠BAF。

故

（2）正确。

AB=1

（3）∵当k=1时，即AD,∴AB=AD。

∴四边形ABCD是正方形。

∴∠B=∠D=90°，AB=BC=CD=AD。

AB=AE

EF=BC

EC=1

2。

∵△ABE∽△ECF，∴EC

13

∴CF=4CD。

∴DF=4CD。

∴AB：

AD=1，BE：

DF=2：

3.

∴△ABE与△ADF不相似。

故（3）错误。

故选C。

23.（2012辽宁本溪3分）在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AB=5，AC=6，过点D作AC

的平行线交BC的延长线于点E，则△BDE的面积为【】

A、22B、24C、48D、44

【答案】B。

【考点】菱形的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理和逆定理。

【分析】∵AD∥BE，AC∥DE，∴四边形ACED是平行四边形。

∴AC=DE=6。

BO=AB-AO=22

在Rt△BCO

中，，∴BD=8。

222又∵BE=BC+CE=BC+AD=10，∴DE+BD=BE。

∴△BDE是直角三角形。

∴SDBDE=1

2×DE×BD=24

。

故选B。

24.（2012辽宁大连3分）如图，菱形ABCD中，AC＝8，BD＝6，则菱形的周长为【】

A.20B.24C.28D.40

【答案】A。

【考点】菱形的性质，勾股定理。

【分析】设AC与BD相交于点O，

由AC＝8，BD＝6，根据菱形对角线互相垂直平分的性质，得AO=4，BO=3，∠AOB=900。

在Rt△AOB中，根据勾股定理，得AB=5。

根据菱形四边相等的性质，得AB=BC=CD=DA=5。

∴菱形的周长为5×4=20。

故选A。

25.（2012辽宁丹东3分）如图，菱形ABCD的周长为24cm，对角线AC、BD相交于O点，E是AD的中点，连接OE，则线段OE的长等于【】

A.3cmB.4cmC.2.5cmD.2cm

【答案】A。

【考点】菱形的性质，三角形中位线定理。

【分析】∵菱形ABCD的周长为24cm，∴边长AB=24÷4=6cm。

∵对角线AC、BD相交于O点，∴BO=DO。

11

又∵E是AD的中点，∴OE是△ABD的中位线。

∴OE=2AB=2×6=3（cm）。

故选A。

26.（2012辽宁丹东3分）如图,已知正方形ABCD的边长为4，点E、F分别在边AB、BC上，且AE=BF=1，CE、DF交于点

O.

下列结论：

4

①∠DOC=90°,②OC=OE，③tan∠OCD=3，④

A.1个B.2个C.3个D.4个SDODC=S四边形BEOF中，正确的有【】

【答案】C。

【考点】正方形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形】

»1.732，π取3.14）

（参考数据：

»1.414»

A.0.64B.1.64C.1.68D.0.36

【答案】A。

【考点】正方形和等边三角形的性质，勾股定理，扇形和三角形面积。

【分析】由图知，S阴影部分=SDAEF+SDCEF-S扇形AEF。

因此，由已知，根据正方形、等边三角形的性质和勾股定理，可得等边△AEF的边长为2，

Rt△AEF

；扇形AEF的半径为2圆心角为600。

S阴影部分=SDAEFSDCEF-S扇形AEF=1

2×21

2×60×p×2

3602-2

3∴p»0.64

。

故选

A。

28.（2012贵州黔南4分）如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是【】

A．AB=CDB．AD=BCC．AB=BCD．AC=BD

【答案】D。

【考点】矩形的判定。

【分析】已知四边形ABCD的对角线互相平分，则说明四边形是平行四边形，由矩形的判定定理知，只需添加条件是对角线相等或一个角是直角即可，即D正确。

而A、B两选项为平行四边形本身具有“对边相等”的性质，C选项添加后ABCD为菱形，运用排除法也知D正确。

故选D。

29.（2012山东枣庄3分）如图：

矩形ABCD的对角线AC=10，BC=8，则图中五个小矩形的周长之和为【】

A、14B、16C、20D、28

【答案】D。

【考点】平移的性质，勾股定理。

【分析】由勾股定理，得

AB==6，将五个小矩形的所有上边平移至

AD，所有下边平移至BC，所有左边平移至AB，所有右边平移至CD，

∴五个小矩形的周长之和=2（AB+CD）=2×（6+8）=28。

故选D。

30.（2012山东滨州3分）菱形的周长为8cm，高为1cm，则该菱形两邻角度数比为【】

A．3：

1B．4：

1C．5：

1D．6：

1

【答案】C。

【考点】菱形的性质；含30度角的直角三角形的性质。

【分析】如图所示，根据已知可得到菱形的边长为2cm，从而可得到高所对的

角为30°，相邻的角为150°，则该菱形两邻角度数比为5：

1。

故选C。

31.（2012山东日照3分）在菱形ABCD中，E是BC边上的点，连接AE交

BF

BD于点F，若EC=2BE，则FD的值是【】1111

（A）2（B）3（C）4（D）5

【答案】B。

【考点】菱形的性质，相似三角形的判定和性质。

【分析】如图，∵在菱形ABCD中，AD∥BC，且AD=BC，

BF=BE

AD。

∴△BEF∽△DAF，∴FD

又∵EC=2BE，∴BC=3BE，即AD=3BE。

BF=BE

AD=1

3。

故选B。

∴FD

32.（2012山东泰安3分）如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，对角线AC的垂直平分线分别交AD、AC于点E、O，连接CE，则CE的长为【】

A．3B．3.5C．2.5D．2.8

【答案】C。

【考点】线段垂直平分线的性质，矩形的性质，勾股定理。

【分析】∵EO是AC的垂直平分线，∴AE=CE。

设CE=x，则ED=AD﹣AE=4﹣x。

，

在Rt△CDE中，CE2=CD2+ED2，即x2=22+（4－x）2，解得x=2.5，即CE的长为2.5。

故选C。

33.（2012山东威海3分）如图，在»ABCD中，AE，CF分别是∠BAD和∠BCD的平分线。

添加一个条件，仍无法判断四边形AECF为菱形的是【】

A.AE=AFB.EF⊥ACC.∠B=600D.AC是∠EAF的平分线

【答案】C。

【考点】平行四边形的判定和性质，平行的判定和性质，角平分线的定义，菱形的判定。

【分析】根据菱形的判定逐一作出判断：

由已知在ABCD中，AE，CF分别是∠BAD和∠BCD的平分线，根据平行四边形和平行的判定和性质可判断四边形AECF