嵌套函数零点问题徐明进教师版.docx
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嵌套函数零点问题徐明进教师版
嵌套函数零点问题
一、基础知识:
1、嵌套函数定义:
设),=/«),.=g(x),且函数g(M的值域为了«)定义域的子集,那么),通过/的联系而得到自变量X的函数,称),是X的嵌套函数,记为y=/[g(x)]2、嵌套函数函数值计算的步骤:
求y=g[/(x)]函数值遵循''由内到外”的顺序,一层层求出函数值。
例如:
已知/(x)=2\g(x)=Y—五,计算g[/
(2)]
解:
"2)=2?
=4.•.g[/
(2)]=g(4)=12
3、已知函数值求自变量的步骤:
若已知函数值求工的解,则遵循“由外到内”的顺序,一层层拆解直到求出x的值。
例如:
已知/("=2,&(戈)=/_2工,若g[/(x)]=O,求x,解:
令z=/(x),则8(/)=0=/-2/=0解得/=01=2
当p=0=/(x)=0=2'=0,则xe0;当f=2=/(x)=2=2、=2,则x=l;综上所述:
x=\
由上例可得,要想求出g[/(x)]=0的根,则需要先将/(x)视为整体,先求出/(x)的值,再求对应x的解,这种思路也用来解决嵌套函数零点问题,先回顾零点的定义:
4、函数的零点:
设/(x)的定义域为。
,若存在玉)eO,使得/(与)=0,则称x=x0为/("的一个零点
5、嵌套函数零点问题的特点:
考虑关于x的方程g[/(x)]=0根的个数,在解此类问题时,要分为两层来分析,第一层是解关于/(X)的方程,观察有几个/(X)的值使得等式成立:
第二层是结合着第一层/(x)的值求出每一个/(x)被几个x对应,将x的个数汇总后即为g[/(x)]=。
的根的个数
6、求解嵌套函数y=g[/(x)]零点问题的技巧:
(1)此类问题与函数图象结合较为紧密,在处理问题的开始要作出了(x),g(x)的图像
(2)若已知零点个数求参数的范围,则先估计关于/(x)的方程g[/(%)]=0中/(x)解的个数,再根据个数与/(x)的图像特点,分配每个函数值£(x)被几个x所对应,从而确定工(工)的取值范围,进而决定参数的范围
复合函数:
二、典型例题
1-丰1
例1:
设定义域为R的函数/(%)=|%-1|,若关于x的方程
\.x=1
f1(x)+bf(x)+c=。
由3个不同的解0工2,*3'则X:
+X;+X;=思路:
先作出了(X)的图像如图:
观察可发现对于任意的儿,满足%=/
(1)的X的个数分别为2个(%>0,%工1)和3个(%=1),已知有3个解,从而可得/(x)=l必为/2(x)+"(x)+c=0的根,而另一根为1或者是负数。
所以〃%)=1,可解得:
2=0,占=1,匕=2,所以x:
+x;+x;=5答案:
5
例2:
关于X的方程(――一小2一]卜2=0的不相同实根的个数是()
A.3B.4C.5D.8
思昭■:
可将k2一"视为一个整体,即(工)=卜2一1卜则方程变为产―3,+2=0可解得:
f=l或1=2,则只需作出,工)=k2-1]的图像,然后统计与1=1与,=2的交点总数即可,共有5个答案:
C
例3:
已知函数/(x)=lx+L-lx-[|,关于X的方程/2(x)+d/(x)|+Z?
=0XX
(。
力£/?
)恰有6个不同实数解,则。
的取值范围是思路:
所解方程/2(x)+a|/(x)|+z?
=o可视为|/(工)『+叩3卜/?
=0,故考虑作出
-,x>\
X
2x,0 —2x,—1«x<0 二x<-\ X 力(x)=2,0v4(x)v2,所以一。 =/(x)+力(x)e(2,4),解得-4v〃v—2: 答案: -4<6/<-2 2|r-,l-l,0 例4: 已知定义在H上的奇函数,当x>0时,f(x)=}1,则关于x的方 (x—2口>2 程6[/(x)丁-"x)—i=o的实数根个数为() A.6B.7C.8D.9 得/ (1)=]/(x)=_,,只需统计 思路: 已知方程6[/(x)[2—/(x)—l=0可解,丁=_! _,),=一,与y=/(X)的交点个数即可。 由奇函数可先做出x>0的图像,x>2时,/(%)=l/(x-2),则x<2,4]的图像只需将不£(0,2]的图像纵坐标缩为一半即可。 正半轴图像完成后可再利用奇函数的性质作出负半轴图像。 通过数形结合可得共有7个交点答案: B 【重要提醒】在作图的过程中,注意确定分段函数的边界点属于哪一段区间。 例5: 已知函数4x+3],若方程[/(x)T+"(x)+c=O恰有七个不相同的实根,则实数〃的取值范围是() 思路: 考虑通过图像变换作出/(x)的图像(如图),因为[/(x)[+zy.(x)+c=o最多只能解出2个/(x),若要出七个根,则/(x)=l/(x)<0,l),所以—。 /(式)+&(x)£(1,2),解得: "e(—2,—1),答案: B 正确的是()Mj ……时,有—〈。 时,…零点"Ma B.当00时,有3个零点: 当”0时,有2个零点MHI C.无论。 为何值,均有2个零点D.无论。 为何值,均有4个零点 思路: 所求函数的零点,即方程/[/(工)]=-1的解的个数,先作出/(x)的图像,直线 y=ca+l为过定点(0,1)的一条直线,但需要对。 的符号进行分类讨论,当。 >0时,图像21 如图所示,先拆外层可得力(X)=一二<0J;(x)=-,而工(x)有两个对应的x,力(工)也有两个对应的x,共计4个;当av0时,/(x)的图像如图所亦,先拆外层可得/(x)=l,且/(X)=! 只有一个满足的x,所以共一个零点。 结合选项,可判断出A正确,答案: A. 2 例7: 已知函数y=/(x)和y=g(x)在[-2,2]的图像如下,给出下列四个命题: (1)方程/[g(x)]=O有且只有6个根 (2)方程g[〃x)]=O有且只有3个根(3)方程/.[f(x)]=0有且只有5个根(4)方程g[g(x)]=O有且只有4个根 则正确命题的个数是() A.1B.2C.3D.4 思路: 每个方程都可通过图像先拆掉第一层,找到内层函数能取得的值,从而统计出x的总数。 (1)中可得g|(x)w(-2,-l),g2(x)=0,g3(x)e(l,2),进而©(x)有2个对应的x, g2(x)有3个,g3(x)有2个,总计7个,⑴错误; ⑵中可得力(x)e(—2,—l)/(x)e((M),进而£(x)有1个对应的x,力(x)有3个,总计4个, (2)错误: (3)中可得力(x)w(-2,T),£(x)=0/(x)«l,2),进而/(x)有1个对应的工, 力(x)有3个,力”)有1个,总计5个,(3)正确; (4)中可得: (x)e(-2,-1),(x)e(0,1),进而g[(x)有2个对应的X,g2(x)有2个,共计4个,(4)正确 则综上所述,正确的命题共有2个,答案: B. 已知函数f(x)在定义域(0,口)上是单调函数,若对任意xe(0,4-0),都有 /W--1=2,则的值是. 'L%」,⑸ 【答案】6 已知函数/(x)=/+2mx+"/一机+1,若方程/(/*))=0无实根,则〃z的取值范围为. 【答案】(一,一2) ex(X>0) 已知函数/*)=('"),则实数1k一2是关于x的方程/2(x)+/(x)+,=0. lg(T)(X<0) 有三个不同实数根的条件. 【答案】充要 因T-lv>0 设定义域为R的函数fM=\\'一,若关于x的方程+4x+4,x<0 /(力_(26+1)/(力+”=0有5个不同的实数解,则〃? = 【答案】6 y=2/2(x)—3/(x)+l的零点的个数为 【答案】7 ax+\,x<0 log2x,x>0 【答案】3 则下列关于函数y=/(/Cv))+1的零点个数的判断正确的 是() 4、当。 >0时,有4个零点: 当avO时,有1个零点 B、当〃>0时,有3个零点: 当。 <0时,有2个零点 C、无论。 为何值,均有2个零点D>无论。 为何值,均有4个零点【答案】A 【答案】D 则关于x的方程f2(x)+bf(x)+c=o有5个不 JX+-(XH0) 已知函数/(x)=X 0(x=0) 同的实数解的充要条件是() A、〃〈一2且c>0B、2且cvOC、bv-2且c=0D、人之一2且c=0 【答案】C 则函数y=/[/(x)+l]的零点个数为( 【答案】C ax+\,x<0 |lnx|,x>0 2时,关于x的方程/[/(x)]=a的实数解的 个数为() A、2 B、3 C、4 D、5 【答案】C 21+2 已知函数/(“=2 ,则函数物(x)=/[〃x)]_2/(x)二的零点个 2 数为( A、4 B、5 C、6 【答案】A D、7 已知函数/(*)=< |log5(l-x)|,X<1 —(x—2)+2,xNl 1 ,则方程/X+--2 =。 的实根个数不可能() A、8 B、7 C、6 D、5 【答案】D 已知/")是定义在R上的偶函数,对于任意的X£R,都有/'(2+x)+/(x)=。 ,当 xw[O,l]时,/(x)=-x2+l,若d/⑺]2-八(x)+3=0在区间[一1,5]上有5个根,则这 定义在r上的函数〃、)=<氐不,关于x的函数g(x)=/2(x)+va)+1有5个2 不同的零点X],工2,工3,羽,兑,贝Ijx: +X;+X;+X;+X;=() 设函数/'(x)=—竺一,若八/'卜)]=工恒成立,则实数。 的值为 2x+3 【答案】-3 设“X)是定义在(0,+8)上的单调函数,对于任意的x>0,有/(x)>— f/M+-=3,则/⑻=X 7 【答案】- 2 设函数/(可=匚石,71(6=/[/(%)],加(x)=<(/(x)), 则/刘7(-2)= 3 【答案】- 5 设函数f(x)=ax2+bx+c1a,b,ceR,a>0),则“f都恰好有两个零点”的() A、充分不必要条件B、必要不充分条件C、充分必要条件D、既不充分也不必要条件 已知函数/")=/+以,则“。 <0”是“/(/⑴)的最小值与/(X)的最小值相等”的() A、充分不必要条件B、必要不充分条件C、充分必要条件D、既不充分也不必要条件 【答案】A 已知函数/(x)的定义域为若对任意不巧w。 当王<七时,都有/区)工/(七),则称 函数/0)在0上为非减函数.设函数/(x)在[0,1]上为非减函数,且满足以下三个条件: VI11 ®/(0)=0;②/(: )=J(x): ③/(17)=2—/(X).则/(;)+/(;)=() 323o 35 A、1B、二C、2D、二 22 【答案】B JT%>0 已知函数/(x)=1J,若关于x的方程/2(x)—3/(x)+a=0(aeR)有8 ——2x+1,x«0 个不等的实数根,则。 的取值范围是() 119 A.(0,—)B,(一,3)C.(L2)D.(2,一) 434 【答案】D Ab<0Kc<0B.b>OKc<0C.b<0Hc=0£>7? >0Hc=0 【答案】C 关于%的方程(V—If-N-1+%=。 ,给出下列4个命题: ①存在实数k,使得方程恰有2个不同的实根: ②存在实数h使得方程恰有4个不同的实根: ③存在实数k,使得方程恰有5个不同的实根: ④存在实数k,使得方程恰有8个不同的实根。 其中假命题的个数是() AOBAC.2D.3 【答案】A 己知定义R的函数/(x)Txl-l,关于x的方程/2(幻一/3)一攵=0,给出下列四个命题 中真命题的序号有 ①存在出值使方程恰有2个不同的实根②存在k值使方程恰有4个不同的实根 ③存在女值使方程恰有5个不同的实根④存在k值使方程恰有8个不同的实根 【答案】①②③④ 己知函数/*)=1p一1| L=1, 关于X的方程/2(x)+/(x)+c=0有3个不同的实数解 *,4,X3,则占2+W? +&2= 【答案】5 已知函数/(%)=k一2|关于x的方程/-(x)+"(x)+c=O有5个不同的实数解L,x=2, xpx2,x3,x4,x5,则/(2+当+均+七+工5)=() A.lB.lC.—D.— 481216 【答案】B 已知函数/(x)=k—l],若关于X的方程/(/⑴)=〃? (〃[£/? )恰有四个互不相等的实数根匹,,占,,口,则X]勺工3工4的取值范围是. 【答案】(一3,0) 己知函数/&)=cos2x+asinx在区间(0,〃球内恰有8个零点,则实数。 的取值范围与最小正整数〃的值分别为() A(-l,l),2B.(-l,l),4C.[-l,l],2P.[-l,l],4 【答案】A
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