居余马线性代数第三章课后习题.docx
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居余马线性代数第三章课后习题
第三章课后习题及解答
将1,2题中的向量:
•表示成的线性组合:
1•:
一1,2,1,1T,:
厂1,1,1,1T,:
2=1,1,-1,-1T,:
3二1,-1,1,-1I4二1,-1,-1,1T.
2・:
=0,001,:
!
=1,1,0,1,:
2二2,1,31,:
3二1,1,0,0,:
4二0,1,-1,-1.
解:
设存在k1,k2,k3,k4使得〉二k「1k^2k^3k^4,整理得
k1k2k3k4=1
k1
k^-k3-k4
k1
-k?
k3-k4
=1
&-k2-k3k4=1
5111
解得«=—,k2=—,k3_-一,k4--—-
44445
所以-=—冷
4
设存在匕*2*3*4使得二-kr1k^2k^3k^4,整理得
k12k2k^0,k1k2k3k^0,
3k2~'k4=0,k1k^~k4=1.
解得k1=1,k2二0,k3--1,k4=0.所以「「一八3.
判断3,4题中的向量组的线性相关性:
3.:
“=:
'1,1,1丁,:
2=0,2,5丁,:
3=[1,3,6T.
4.r=(1,-1,2,4)T「2二0,3,1,2T,飞二3,0,7,14T.
解:
3.设存在k|,k2,k3使得k-!
k2:
2k3:
3=0,即
k1k3=0
*匕+2k2+3k3=0,由
«+5k2+6k3=01
解得k1,k2,k3不全为零,
故:
1,:
2,〉3线性相关.
4.设存在匕,k2,k3使得k111k212k3=0,即
k+3k3=0
—&+3k2=0
2k1k27k3=0
4k12k214k3=0
可解得k1,k2,k3不全为零,故
:
1,:
2,:
3线性相关.
5.论述单个向量〉(a1,a2^-,an)线性相关和线性无关的条件.
解:
设存在k使得k-=0,若:
-0,要使k-=0,当且仅当k=0,故,单个向量线性无关的充要条件是--0;相反,单个向量:
-(Q,a2,…,an)线性相关的充要条件是
:
-=0.
6.证明:
如果向量组线性无关,则向量组的任一部分组都线性无关
证:
设向量组〉1,〉2,-,〉n4,〉n线性无关,利用反证法,
:
i2,,:
ir(h—n)
>1,>2,…,:
n”,n
7.a1^l2
ki,k2
kT(一讪心2)k2(二2)=0
(kik2):
i(ki
:
'l/'2
kik2
ki-k?
=0
-0
一1丿
-1
:
'1,
>1*2「1一>2
-?
2/'1
―〉2」1
〉2「1
8.
:
'l/'2,
:
s
a11
ai2
ais
a21
a22
a2s
a1=
a31
・■
tt2=
a32
-
…Qs=
a3s
a
laksJ laks (j=12,s)所组成的k-m维向量,证明: ⑴若'冷,、丫-2,…,、'-s线性无关,则怙,卜‘2,…,b's线性无关; ⑵若: 1,: 2,…,: s线性相关,则〉1,〉2「,〉s线性相关. 证: 证法1, (1)设A=0i,〉2,…,〉s,Bh]7i,: 2,…,: s,因为〉1,〉2「,〉s线性无关,所以齐次线性方程AX=0只有零解,即r(A)二s,且r(B)二s,■-1/-2r-,■-s线性无 关• 证法2,因为〉1,〉2,—,亠线性无关,所以齐次线性方程AX=0只有零解,再增加方程的 个数,得BX=0,该方程也只有零解,所以r「2,-,1s线性无关. ⑵利用反证法可证得,即假设^,: 七,…,: '线性无关,再由 (1)得「厂2,…,飞线性无 关,与「,: 2,…,: s线性相关矛盾. 9.证明: >1*2,>2*3,>3*1线性无关的充分必要条件是〉1「2「3线性无关• ■Z10r 证: 方法1,(ct1+Ot2,ct2+a3,G3=(ct1^(2^t3)110 <011」 1 因为G仆勺,〜线性无关,且1 0 01 10=2=0,可得>1二2「2*3,〉3二1的秩为3 11 所以>1*2」2〉3」3•>1线性无关•线性无关;反之也成立 方法2,充分性,设〉1」2「3线性无关,证明>1*2,〉2*3」3*1线性无关• (k1k3)®(k1k2): 2(k2k3)二3=0 因为: ■1^-2^-3线性无关,所以 k|+k3=0 +k2=0,可解得kj=k2=k3=0,所以a^a2^t2+Ct3^f.3线性无关. k2k3=0 必要性,(方法1)设>1•〉2「2•〉3,〉3•>1线性无关,证明〉1,〉2「3线性无关, 假设: -1/'2/'3线性相关,则〉1,〉2,〉3中至少有一向量可由其余两个向量线性表示,不妨 设冷可由: .2,〉3线性表示,则向量组: •4心2,〉2匕3,〉3"勺可由〉2,〉3线性表示,且 32,所以>1比2,〉2*3,〉3心1线性相关,与>1心2,〉2心3,〉3*1线性无关矛盾,故〉1」2,: 3线性无关. 方法2,令-1=「1八-: J2,■^~■'^'-: J3,'3='3',设存在«,k? k3使得 kv1k^2k^^0,由打八1*2「2八2*3,订八3*1得 勺J(耳」2+%)02=2(+陶-%)03丄(B厂鷺-加,代入 222 kv1k^2k3: 3=0得, k1丄(I-■-3)k21(: 1「2-k3(-S「2「3)=0,即 222 (kk2—k3)|(七k2k3)匕(K—k2k3)”0 |ki*k2-k3=0 Bi,%,%—匕+k2+k3=0 k〔—k? +kg=0 k[二k2二k3二0 〉1,〉2,>3 10. 1GiS,…,°mm>2 : 3 ct1= a2』,3= T ◎ U丿 口1,口2,°3°1,°2,口3 2ai,°2,…,%mn2 %,口2,°3口1,口203 ⑶%,口2 1-2 k1,k2 匕%+优+k2g2+打=0 : 1 01P2 k1,k2 k"+k2a2=0kd+k2B2 k1,k2 t1,t2 =0鮎优+上2^2=0 ⑷. : '1 -a2+ot2-□3+a3-°^=0 >2,>2一>3,>3一〉1 〉1,〉2,>3,>4 : 1*2,〉2*3,〉3*4,〉4*1 M■: '2^'2 *3,>3*4,〉4*1 ⑹. ■■1/'2/'3, : '1*2,〉2*3, : '1/'2/'3, : n : '1/'2/'3, -1 : <: '2/'2 *3, 〉n」*n,〉n*1 11. kv1 >1*2,>2*3, m3,>4 〉1」2」3,: 4 : n kv1k^2k3: 3k「4=0. ki,k2,k3,k4 所以该命题成立 12.若>1,…「r线性无关,证明: -/r线性无关的充分必要条件是'■不能 由: j,: 2…,: r线性表示. 证: 必要性,假设-能由_: 冷,二2,…,则: ,-X,二2,…,-“线性相关与 : 〉1,〉2,—,〉r线性无关矛盾,故: 不能由〉l,〉2,—,〉r线性表示• 充分性,设存在k0,k1,k2,kr使得k0P+kp1+k2G2+k^t3+…+krOr=0, 若ko=0,则1能由>1,>2,>3,…,〉r线性表出,矛盾,所以ko=0, 因此,k「1•k2〉2•k3〉3•k「r=0,又因为〉1」2,…「r线性无关, 所以k1=k2二…=kr=0,故,: ,>1,^2,…,〉r线性无关. 13.求下列向量组的秩及其一个极大线性无关组,并将其余向量用极大线性无关组线性表 示: (1)二=(6,4,1,9,2),: 七=(1,0,2,3,-4),: 乜=(1,4,一9,一6,22),: 厂(7,1,0,-1,3); (2)-=(1,-1,2,4),: 2=(0,3,1,2),J=(3,0,7,14),: 4=(2,1,5,6),: 飞=(1,-1,2,0); (3)G1=(1,1,1), 。 2=(1,1,0), ◎3=(1,0,0), (1,2-3). 6 1 1 7、 q 0 1 0、 4 0 4 1 0 1 -5 0 解: (1)&T血 TT\ 。 3,。 4)= 1 2 -9 0 TT 0 0 0 1 9 3 -6 -1 0 0 0 0 <2 -4 22 3丿 <0 0 0 0丿 所以, 向量组的秩为 3,码,。 2,口4 为 •个极大线性无关组, "1 —5 2. : -1/'2/-4为一个极大线性无关组,且 〉3二3〉1皿;2,〉5=〉4-「"I-「2. (3)类似 (1),可求得向量组的秩为 3,1,2,〉3为一个极大线性无关组, 14.设向量组: 1=(1,-1,2,4),2=(0,3,1,2),3二 (3,0,7,14),5二(2,1,5,6),4二(1,-1,2,0),5二(2,1,5,6). (1) 证明1,2线性无关; (2) 求向量组包含],\的极大线性无关组• 1, (1) 证: 设存在k1,k2,使得k11-k1J=0, 求得 «=k? =0,所以1,2线性无关; (2) 2,3,4 广1 0 3 1 2 广1 0 3 0 仁 -1 3 0 -1 1 T■"T 0 1 1 0 1 2 1 7 2 5 0 0 0 1 1 <4 2 14 0 6」 <0 0 0 0 0丿 7二 所以,1,2,4为包含1, 2的一个极大线性无关组 15.设A,B皆为n阶矩阵, r(A)_n,r(B)_n,证明: (1) =r(A)r(B); (2) _r(A)r(B),C为任意n阶矩阵. 证: (1)设 r(A)二「1,r(B)二D,则存在n阶可逆矩阵P,Q,P,Q, PAQ= 'En0) ri PBQ 'Er <0 0、 0A '丨 P人0 16. AB 0、 'P AC-r(A), E「2 0 0 0> BQ r(AB)乞min(r(A),r(B)). AB mn,ns *1-2 'bn b21 bi2 b22 bn1 bn2 r(AB)"(B) 1.A,B r(AB)=AB mn,nm (AB)X=0 r(AB)乞min(r(A),r(B))乞n: m Ar2二r(A)r(B). -r(A)r(B). b1s b2s bns : : m AB =0 =r(A) (AB)X=0 18.设A是一个sn矩阵,B是由A的前m行构成的mn矩阵•证明: 若A的行向量组的 秩为r,则r(B)_r•m「s. : 'm "mdl 证: 设_: 订=(a-\i,色2,…,am),i=1,2,…,s. 设r(B)二p,于是,B的行向量组的极大线性无关组丨n,冷2,…,〉\*含P个向量。 因此, A的行向量组的一个极大线性无关组是向量组〔%,〉^,…,〉ip,〉m・1,…,〉s'的一个子集,所 以它所含向量个数 从而,r(B)二p_rm-s. 求下列(19—22题)矩阵的秩,并指出该矩阵的一个最高阶的非零子式: 广12345' 00—1—2-3 19.. 00004 卫012-1』 ‘1 2 3 4 5、 1 q 2 3 4 5、 解: 0 0 -1 -2 -3 2 0 0 -1 -2 -3 TT 0 0 0 0 4 4 0 0 0 0 -2 2 0 1 2 T」 3 <0 0 0 0 0」 所以,矩阵的秩为3。 1 3 5 0 -1 -3 --4式0为一个最高阶的非零子式。 0 0 4 (1 3 0 0 1丿 广1 -1 2 1 0 1 -1 2 1 0' 2 -2 4 -2 0 4 0 3 0 0 1 解: T…T 3 0 6 -1 1 3 0 0 0 —4 0 3 0 0 1 ■■ 2 0 0 0 °」 20. 3 0 6 -1 1 所以, 矩阵的秩为 3。 -1 =12+0为一个最高阶的非零子式。 3 2 -1 -3 -2 2 -1 3 1 -3 14 5 -5 6 1」 21. 2 -1 -3 -2' q 3 -4 9 3、 解: 2 -1 3 1 -3 TT 0 -7 13 —17 -9 5 -5 6 1> e 0 —2 -13 一2」 所以,矩阵的秩为3。 3 2 -1 2 -1 3 — : -14式0为一个最咼阶的非零子式。 4 5 -5 '1 1 0 0、 2 1 1 0 22. 0 2 1 1 <0 0 2 1丿 23. (1 —1=0 r(A): : : n. AX A^j=0,j=1,2,,s AX=0 I=0 24.A,B AB (1 =0 r(A): : n r(A): : n. r(A)=r,r(B)=p 「° A—0,j r(A)= RAQ1 Er 0 F2BQ2= Ep0 00 r(A) =r(B) RAQ-i= Er <0 =F2BQ2 AB=0 AB=0 "0 1,2,…,S r(B). R,B,Q1,Q2 「Ep0 \00」 (P2)丄RAQQz'uB,令(Rj/RhP’QjQ: =Q,故,PAQ=B 因此,A与B相抵• 必要性,因为A与B相抵,所以,存在可逆矩阵P,Q,使得PAQ=B, 因此,r(A)二r(B). 25.设A是m> 存在n= 证: 因为r(A)二m,所以,存在可逆矩阵P,Q,使得PAQ=: 〔lm0,所以有 AQ=P」Im0, AQIm0=(PJ0), (1) (1)右端乘nxm阶矩阵T」P,得AQT=lm,令QT=B,丿 故, AB 26.证明: 若n阶方阵A的秩为r,则必有秩为n-r的n阶方阵B,使得BA=0. 证: 因为n阶方阵A的秩为r,所以AT的秩为r,则ATX=0的基础解系含有n-r个线性无关的解向量,取这n-r个线性无关的解向量X,,…,Xn_r为Bt的列向量,则r(BT)=n-r-r(B).因此,该命题得证. 27.证明: 任何秩为r的矩阵可以表示为r个秩为1矩阵之和,而不能表示为少于r个秩为1的矩阵之和. 证: 设A为秩为r的矩阵,则存在可逆矩阵 P,Q使得PAQ二 Er0 00「 所以,A吒0] …,Br为秩为1的矩阵 二P」(BiBJQ」二P」BrQ」,其中 因此,任何秩为r的矩阵可以表示为r个秩为1矩阵之和. 后部的证明,(反证法)假设A为秩为r的矩阵,能表示为少于r个秩为1的矩阵之和,不妨设A能表示为p个秩为1的矩阵之和,其中,pr,设A=(B^i-Bp),其中 B,…,Bp是秩为1的矩阵.r(A)汀(B)亠•亠r(Bp)=p: : : r,与r(A)=r矛盾. 28.求下列齐次线性方程组的一个基础解系及一般解: X—x2+5x3—X4=0 Xr+x2_2x3+3X4=0 (1) 3%_x2+8x3+x4=0 x13x2「9x37x4二0 解: 11 3-1 J3 5-1 -23 T 81 -97」 3 10—1 2 01-72 2 0000 I。 000』 取x3,x4为自由未知量,令 x3=1,x4=0和x3=0,%=1,得原方程组的一个基础解系为 X1*2,7,1,0)T; X2十1,-2,0,1)丁, 因此, ,z_3' 2 "-1' 7 -2 X=k1X1+k2X2=k1 2 +k2 0 1 <0」 U丿 般解为 其中k1,k2为任意常数 2 1 -8 2 1 2 -2 -3 -7 2 1 11 12 34 -5 J -5 2 16 3」 1 0 19 _百 3 -8 1 2 0 1 7 -8 25 ~8 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 X3=°,X4=O,x5=1 X! =¥,78,1,0,0)t,X2 88 X3=1,x4=0,X5=0X3=0,X4^=0 32511 (8,t0,1,0)T,X3十齐,0,0讥 =k1X1k2X2k3X3 ri9、 /3\ /i、 8" 8 -2 7 25 i 8 _~8~ 2 1 +k2 0 +k3 0 0 1 0 <0j <0」 -ki ki,k2,k J+x2—8x3+2x4+x5=0 (2).丿 2论—2x2—3x3—7x4+2x5=0 x1+11x2-12x3+34x4-5x5=0 x1—5x2+2x3—16x4+3x5=0 29. [2x-i'7x23x3x4=6 1<3羽+5x2+2x3+2x4=4 9x14x2x37x4=2 '2731 6 ‘1940 8' 3522 4 TT 0-11-51 -10 ^9417 2> 卫000 0」 X2,X3 X。 =(8,0,0厂10)t 所以,方程组的一般解为X=X0k1X1k2X2,其中k1,k2为任意常数 Xi+X2+X3+X4+X5=7 3捲+2x2+x3+x4—3x5=-2 (2) x2+2x3+2沧+6x5=23 5x14x23x33x4-x5=12 *11111 7 ■‘10-1-1-5 -16" 3211-3 -2 01226 23 TT 01226 23 00000 0 ©433—1 12」 00000 0> 解: 取X3,X4,X5,为自由未知量,令X3=X5=0,得方程组的一个特解: X。 =(-16,23,0,0,0)T; 再取X3=1,X4=0,X5=0,X3=0,X4=1,X5=0和X3二0,X4=0,X5=1得其导出组的一个 基础解系: Xi=(1,-2,1,0,0)t,X2=(1,2,0,1,0)t,X3=(5,—6,0,0,1)t 所以,方程组的一般解为X=X0•kiXik2X2k3X3,其中ki,k2,k3为任意常数 30.讨论p,q取何值时,下列线性方程组有解、无解,有解时求其解 (p3)XiX22x3=p (1)pxi(p-1)X2X3=2p 3(p1)xipx2(p3)X3=3 S+3 1 2 p 'p+3 1 2 p 解: p P—1 1 2p TT _p2十p+3 0 3 _p2_3p+6 C(p+1) p p+3 3」 1P2(P-1) 0 0 p3+3p2_15p+9’ 所以,p=0或p=1时,该方程组无解, *p+312 p、 2 一p+p+303 2 -p_3p+6 2 1p(p—1)00 32 p+3p—15p+9j 有唯一解是 X1 p33p2-15p9 p2(p-1) X2 p312p-9 p2(p-1) X3 p3书2p_90 1 0 p2(pJ) 32 」p33p212p_9 P2(P」) p33p2_15p: : ;9 P2(P」) 32 _4p3p12p_9 P2(
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