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161高考中的导数综合应用
第六讲 高考中的导数综合应用(解答题型)
命题全解密
利用导数研究函数的单调性、极值与最值.利用导数解决不等式恒成立问题,利用导数证明不等式,利用导数解决方程解的有关问题.
常与不等式、函数、方程等知识交汇考查.
利用函数的最值法求不等式中的参数问题;利用分离参数法解决不等式中的参数问题;利用构造函数法证明不等式;利用数形结合法解决函数零点个数问题.
第一课时 利用导数研究函数的单调性、极值与最值问题
热点一 利用导数研究函数的单调性
例1 已知函数f(x)=ax3+x2(a∈R)在x=-处取得极值.
(1)确定a的值;
(2)若g(x)=f(x)ex,讨论g(x)的单调性.
利用导数研究函数单调性的一般步骤
(1)确定函数的定义域;
(2)求函数f′(x);
(3)①若求单调区间(或证明单调性),只需在函数f(x)的定义域内解(或证明)不等式f′(x)>0或f′(x)<0.②若已知函数的单调性求参数,只需转化为不等式f′(x)≥0或f′(x)≤0在单调区间内恒成立的问题求解.解题过程中要注意分类讨论;函数单调性问题以及一些相关的逆向问题,都离不开分类讨论思想.
已知函数f(x)=mlnx+x2-(m+1)x+ln(2e2)(其中e=2.71828…是自然对数的底数).
(1)当m=-1时,求函数f(x)在点P(2,f
(2))处的切线方程;
(2)讨论函数f(x)的单调性.
热点二 利用导数研究函数的极值与最值
例2 已知函数f(x)=ex-ax-a(其中a∈R,e是自然对数的底数,e=2.71828…).
(1)当a=e时,求函数f(x)的极值;
(2)当0≤a≤1时,求证f(x)≥0.
1.利用导数研究函数的极值与最值的一般思路和步骤
(1)求定义域;
(2)求导数f′(x);
(3)解方程f′(x)=0,研究极值情况;
(4)确定f′(x0)=0时x0左右的符号,定极值.
2.求函数y=f(x)在[a,b]上最大值与最小值的步骤
(1)求函数y=f(x)在(a,b)内的极值;
(2)将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a),f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.
已知函数f(x)=e1-x(2ax-a2)(其中a≠0).
(1)若函数f(x)在(2,+∞)上单调递减,求实数a的取值范围;
(2)设函数f(x)的最大值为g(a),当a>0时,求g(a)的最大值.
热点三 利用导数解决函数的实际问题
例3 某山区外围有两条相互垂直的直线型公路,为进一步改善山区的交通现状,计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路.记两条相互垂直的公路为l1,l2,山区边界曲线为C,计划修建的公路为l.如图所示,M,N为C的两个端点,测得点M到l1,l2的距离分别为5千米和40千米,点N到l1,l2的距离分别为20千米和2.5千米.以l2,l1所在的直线分别为x,y轴,建立平面直角坐标系xOy.假设曲线C符合函数y=(其中a,b为常数)模型.
(1)求a,b的值;
(2)设公路l与曲线C相切于P点,P的横坐标为t.
①请写出公路l长度的函数解析式f(t),并写出其定义域;
②当t为何值时,公路l的长度最短?
求出最短长度.
利用导数解决优化问题的五个步骤
(1)审题设未知数;
(2)结合题意列出函数关系式;
(3)确定函数的定义域;
(4)在定义域内求极值;
(5)下结论.
2014年1月,山东“两会”在省城济南召开,会上“人大代表”和“政协委员”就当前的“雾霾”发表自己的看法.某政协委员针对自己提出的“环保提案”对某处的环境状况进行了实地调研.据测定,该处的污染指数与附近污染源的强度成正比,与到污染源的距离成反比,比例常数为k(k>0).现已知相距36km的A,B两家化工厂(污染源)的污染强度分别为a,b(a>0,b>0),它们连线上任意一点C处的污染指数y等于两化工厂对该处的污染指数之和.设AC=x(km).
(1)试将y表示为x的函数;
(2)若a=1时,y在x=6处取得最小值,试求b的值.
课题6 利用导数研究函数的极值最值问题
设函数f(x)=(a∈R).
(1)若f(x)在x=0处取得极值,确定a的值,并求此时曲线y=f(x)在点(1,f
(1))处的切线方程;
(2)若f(x)在[3,+∞)上为减函数,求a的取值范围.
利用导数求函数在某一区间上的极值最值的模型示意图如下:
1.设a∈R,函数f(x)=x2e1-x-a(x-1).当a=1时,求f(x)在内的极大值.
2.已知函数f(x)=ln(ax+1)+,x≥0,其中a>0.
(1)若f(x)在x=1处取得极值,求a的值;
(2)求f(x)的单调区间;
(3)若f(x)的最小值为1,求a的取值范围.
1.已知函数f(x)=+-lnx-,其中a∈R,且曲线y=f(x)在点(1,f
(1))处的切线垂直于直线y=x.
(1)求a的值;
(2)求函数f(x)的单调区间与极值.
2.已知函数f(x)=(x2-ax+a)ex-x2,a∈R.
(1)若函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,求a的取值范围;
(2)若函数f(x)在x=0处取得极小值,求a的取值范围.
3.设函数f(x)=.
(1)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(1,f
(1))处的切线方程;
(2)当x≥0时,f(x)的最大值为a,求a的取值范围.
4.已知函数f(x)=ln(x+1)--x,a∈R.
(1)当a>0时,求函数f(x)的单调区间;
(2)若存在x>0,使f(x)+x+1<-(a∈Z)成立,求a的最小值.
5.已知函数f(x)=ex-ax(a∈R,e为自然对数的底数).
(1)讨论函数f(x)的单调性;
(2)若a=1,函数g(x)=(x-m)f(x)-ex+x2+x在(2,+∞)上为增函数,求实数m的取值范围.
6.已知函数f(x)=-ex(a>0).
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)求函数f(x)在[1,2]上的最大值;
(3)若存在x1,x2(x1<x2),使得f(x1)=f(x2)=0,证明:
<ae.
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- 161 高考 中的 导数 综合 应用
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