高考数学一轮复习热点题型归纳与高效训练试题34 一利用导数证明不等式原卷版文.docx
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高考数学一轮复习热点题型归纳与高效训练试题34 一利用导数证明不等式原卷版文.docx
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高考数学一轮复习热点题型归纳与高效训练试题34一利用导数证明不等式原卷版文
2021年高考理科数学一轮复习:
题型全归纳与高效训练突破
专题3.4高考解答题热点题型
(一)利用导数证明不等式
一、题型全归纳
题型一单变量不等式的证明
【题型要点】单变量不等式的证明方法
(1)移项法:
证明不等式f(x)>g(x)(f(x)<g(x))的问题转化为证明f(x)-g(x)>0(f(x)-g(x)<0),进而构造辅助函数h(x)=f(x)-g(x);
(2)构造“形似”函数:
对原不等式同解变形,如移项、通分、取对数;把不等式转化为左右两边是相同结构的式子的结构,根据“相同结构”构造辅助函数;
(3)最值法:
欲证f(x)<g(x),有时可以证明f(x)max<g(x)min.
类型一直接将不等式转化为函数的最值问题
【题型要点】将不等式转化为函数最值来证明不等式,其主要思想是依据函数在固定区间的单调性,直接求得函数的最值,然后由
或
直接证得不等式.
【例1】已知函数
.
(1)讨论
的单调性;
(2)当
时,证明
类型二 转化为两个函数的最值进行比较
【题型要点】
(1)在证明不等式中,若无法转化为一个函数的最值问题,则可以考虑转化为两个函数的最值问题.
(2)在证明过程中,等价转化是关键,此处f(x)min>g(x)max恒成立.从而f(x)>g(x),但此处f(x)与g(x)取到最值的条件不是同一个“x的值”.
【例2】(2020·福州模拟)已知函数f(x)=elnx-ax(a∈R).
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)当a=e时,证明:
xf(x)-ex+2ex≤0.
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