高三数学 23函数的极限第一课时大纲人教版选修.docx

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高三数学23函数的极限第一课时大纲人教版选修

2019-2020年高三数学2.3函数的极限（第一课时）大纲人教版选修

课时安排

2课时

从容说课

从建构主义观点出发来引入函数极限的概念,建构函数的极限的定义.数列是一种特殊函数.我们已经研究了数列的极限的概念.本小节要解决当x→∞时,函数f（x）的极限；当x→x0时函数f（x）的极限,函数的左、右极限的概念.着重弄清下列三个问题：

（1）常数C与x不发生关系,为什么有或呢？

这是因为C=C·1x,所以可把常数看成“变化率”为0的函数,它实际上与自变量x是有关系的,f（x）=C,不论x取何值,其函数值都是C,其图象是一条水平直线（与x轴平行或重合）.

（2）“当x→x0时,函数f（x）的极限是A”,这一用语是否与f（x）在点x0处的情况有关？

这一用语仅与f（x）在点x0附近的函数值变化有关,而与f（x）在点x0处的情况无关.例如,函数f（x）=x3+3x2-1在点x0=1处有定义,而分式函数在点x0=-2处无定义,但它们当x→+1,x→-2时的极限都是存在的.

（3）是否所有函数都有极限呢？

学生容易糊涂,教师应该举例说明.

答案是否定的.例如,函数,当x→∞时的极限是不存在的.事实上,

当x→+∞时,f（x）的值恒等于1,所以f（x）的变化趋势是无限接近于1；

而当x→-∞时,f（x）的值恒等于-1,所以f（x）的变化趋势是无限趋近于-1.

因此,当x→∞时,f（x）的变化趋势不是无限趋近于同一常数,即当x→∞时,f（x）的极限不存在.

第七课时

课　　题

§2.3.1　函数的极限

（一）

教学目标

一、教学知识点

1.当x→+∞时,函数f（x）的极限的概念.

2.当x→-∞时,函数f（x）的极限的概念.

3.当x→∞时,函数f（x）的极限的概念.

4.常数函数f（x）=C的极限.

二、能力训练要求

1.从函数的变化趋势,理解掌握函数极限的概念.

2.会求当函数的自变量分别趋于+∞、-∞、∞时的极限.

三、德育渗透目标

1.培养学生以运动的眼光来看待数学问题的能力和极限思想.

2.培养学生从“特殊”到“一般”的归纳的能力.

教学重点

从函数的变化趋势来理解极限的概念,体会极限思想.这是本章内容的基础,也是本章后续内容（导数,积分）的基础.

教学难点

对极限概念如何从变化趋势的角度来正确理解.可以结合具体例子,通过比较数值的变化及图象,从中提炼、概括涉及极限的本质特征.

教学方法

启发式教学法.

教学过程

Ⅰ.课题导入

［师］什么是数列{an}的极限？

［生1］当项数n无限增大时,如果数列{an}的项an无限趋近于某个常数a,就说当n趋向于无穷大时,数列{an}的极限是a,记作或者当n→∞时,an→a.

［师］那么我们是否可以将an看成是n的函数？

即an=f（n）,自变量n∈N*,an就是一个特殊的函数.对于一般的函数f（x）,自变量x∈R,是否有同样的结论呢？

这节课就来研究当x→∞时,函数f（x）的极限.

Ⅱ.讲授新课

（一）举特殊例子

［师］我们先来看函数（x∈R,x≠0）,画出它的图象或者列表观察:

当x取正值并无限增大时和当x取负值并绝对值无限增大时,函数值的变化趋势.

［板书］（x∈R,x≠0）.

1.图象

图2－13

2.列表（请学生回答y的值）

x

1

10

100

1000

-10000

-100000

…

y

1

0.1

0.01

0.001

0.0001

0.00001

…

x

-1

-10

-100

-1000

-10000

-100000

…

y

-1

-0.1

-0.01

-0.001

-0.0001

-0.00001

…

［师］我们从图或表中可以发现什么呢？

当x取正值增大或x取负值绝对值增大时,函数值y如何变化？

［生2］从图中或表中可以看出,当x取正值增大时,y的值趋于0；当x取负值并绝对值增大时,y的值也趋于0.

［师］那我们如果也用数列中的极限符号怎么表示呢？

［板书］,.

（二）函数极限的定义

1.当自变量x取正值并且无限增大时,如果函数f（x）无限趋近于一个常数a.就说当x趋向于正无穷大时,函数f（x）的极限是a,记作f（x）=a,或者当x→+∞时,f（x）→a,

2.当自变量x取负值并且绝对值无限增大时,如果函数f（x）无限趋近于一个常数a,就说当x趋向于负无穷大时,函数f（x）的极限是a,记作f（x）=a或者当x→-∞时,f（x）→a.

3.如果f（x）=a且f（x）=a,那么就说当x趋向于无穷大时,函数f（x）的极限是a,记作f（x）=a,或者当x→∞时,f（x）→a.

4.常数函数f（x）=C（x∈R）,有f（x）=C.

注意：

f（x）存在,表示f（x）和f（x）都存在且两者相等.所以f（x）中的∞既有+∞,又有-∞的意义,而数列极限中的∞仅有+∞的意义.

（三）课本例题

［例1］分别就自变量x趋向于+∞和-∞的情况,

讨论下列函数的变化趋势.

（1）（老师板演）.

［师生共析］对于这个函数的图象能否作出,由图不难看出.

［师］解：

由图2－14可知,当x→+∞时,无限趋近于0,即；

当x→-∞时,无限趋近于+∞.

图2－14　　　　　　　　图2－15

（2）y=2x（学生板演）.

解：

由图2－15可知,当x→+∞时,y=2x无限趋近于+∞;当x→-∞时,y=2x无限趋近于0,即.

（3）

图2－16

解：

由图2－16可知,当x→+∞时,f（x）的值为1,即f（x）=1;

当x→-∞时,f（x）的值为-1,即f（x）=-1.

［师］当x→+∞时,f（x）不是无限趋近于某个常数a,而是f（x）的值等于常数a,那么函数f（x）当x→+∞时的极限也就是a.x→-∞时,情况也是如此.

Ⅲ.课堂练习

1.对于函数,填写下表并画出函数的图象,观察当x→∞时,函数y的变化趋势.

x

±1

±2

±3

±10

±102

±103

…

y

1

0.25

0.11

0.01

0.0001

0.000001

…

|y-0|

1

0.25

0.11

0.01

0.0001

0.000001

…

当x→∞时,无限趋近于0,即.

2.写出下列函数极限的值.

（1）；

图2－17

（2）；

图2－18

（3）；

图2－19

（4）.

图2－20

3.已知k∈N*,求.

解:

原式

.

Ⅳ.课时小结

本节学习了当x分别趋向于+∞、-∞、∞时,函数f（x）的极限,以及常数函数的极限,并且注意f（x）中的∞和数列极限中的∞的不同意义.以概念为依据,结合函数图象,学会求一些函数的极限.

Ⅴ.课后作业

（一）课本P83习题2.3　2

（1）

（2）（3）（4）.

（二）1.预习内容：

课本P79~83.

2.预习提纲：

（1）预习当x→x0时,函数f（x）的极限的概念.

（2）预习函数的左、右极限.

板书设计

§2.3.1　函数的极限

（一）

一、几个定义

1.当x→+∞时,函数f（x）的极限.

2.当x→-∞时,函数f（x）的极限.

3.当x→∞时,函数f（x）的极限.

4.常数函数f（x）=C的极限.

二、举特殊例子

1.图象

2.列表

3.记作

课本例题

例1.

（1）y=（）x

（2）y=2x

（3）

课堂练习

课后作业

2019-2020年高三数学2.3函数的极限（第二课时）大纲人教版选修

课　　题

§2.3.2　函数的极限

（二）

教学目标

一、教学知识点

1.当x→x0时,函数f（x）的极限的概念.

2.函数的左极限.

3.函数的右极限.

二、能力训练要求

1.理解函数在一点处的极限,并会求函数在一点处的极限.

2.已知函数的左、右极限,会求函数在一点处的左、右极限.

3.理解函数在一点处的极限与左、右极限的关系.

三、德育渗透目标

1.认识事物之间的相互联系与区别,培养学生的归纳能力.

2.要用运动的、联系的观点看问题.

教学重点

函数在一点处的极限与左、右极限.

教学难点

函数在一点处的极限的概念的理解,以及与函数的左、右极限之间的关系.要与函数的第一类极限即自变量趋向于无穷大区别开.

教学方法

建构主义方法,让学生在做中学.

教具准备

幻灯片三张

第一张：

两类极限的区别（记作§2.3.2A）.

第二张：

函数在一点处的极限与函数在该点的值的关系（记作§2.3.2B）.

第三张：

函数在一点处的极限与左、右极限的关系（记作§2.3.2C）.

教学过程

Ⅰ.课题导入

［师］上节课我们学习了当x趋向于∞即x→∞时,函数f（x）的极限.当x趋向于∞时,函数f（x）的值就无限趋近于某个常数a.我们可以把∞看成数轴上的一个特殊的点,那么如果对于数轴上的一般的点x0,当x趋向于x0时,函数f（x）的值是否会趋近于某个常数a呢？

先看几个具体的例子.

Ⅱ.讲授新课

（一）举例

［师］我们要考虑当x无限趋近于2时,函数y=x2的变化趋势,可以有哪些方法呢？

［生］画图和列表.

［板书］1.y=x2,当x→2时.（如图2－21）

图2－21

列表如下:

x

1.5

1.9

1.99

1.999

1.9999

1.99999

…

y=x2

2.25

3.61

3.96

3.996

3.9996

3.99996

…

|y-4|

1.75

0.39

0.04

0.004

0.0004

0.00004

…

x

2.5

2.1

2.01

2.001

2.0001

2.00001

…

y=x2

6.25

4.41

4.04

4.004

4.0004

4.00004

…

|y-4|

2.25

0.41

0.04

0.004

0.0004

0.00004

…

x

2.1

1.9

2.01

1.999

2.0001

1.99999

…

y=x2

4.41

3.61

4.04

3.996

4.0004

3.99996

…

|y-4|

0.41

0.39

0.04

0.004

0.0004

0.00004

…

［结论］

（1）x从表示2的点的左边无限趋近于2,|y-4|的值无限趋近于0,即y=x2的值无限趋近于4.

（2）x从表示2的点的右边无限趋近于2,则|y-4|的值无限趋近于0,即y=x2的值无限趋近于4.

（3）x从表示2的点的两侧交错地无限趋近于2,则|y-4|的值无限趋近于0,即y=x2的值无限趋近于4.

2.（x∈R,x≠1）.

［师］考虑x无限趋近于1但不等于1时,函数的变化趋势,只用图象,写出结论.

图2－22

（学生板演）图2－22.

［结论］

（1）x从1的左边无限趋近于1,则的值无限趋近于2.

（2）x从1的右边无限趋近于1,则的值无限趋近于2.

（3）x从1的两侧交错地无限趋近于1,则的值无限趋近于2.

3.分段函数

当x→0时的变化趋势.

图2－23

（学生板演）图2－23.

［结论］

（1）x从0的左边无限趋近于0,则y的值无限趋近于-1.

（2）x从0的右边无限趋近于0,则y的值无限趋近于1.

（二）函数在一点处的极限与左、右极限

1.当自变量x无限趋近于常数x0（但x不等于x0）时,如果函数f（x）无限趋近于一个常数a,就说当x趋近于x0时,函数f（x）的极限是a,记作x0f（x）=a或当x→x0时,f（x）→a.f（x）叫做函数f（x）在点x=x0处的极限.

2.如果当x从点x=x0左侧（即x＜x0）无限趋近于x0时,函数f（x）无限趋近于常数a,就说a是函数f（x）在点x0处的左极限,记作f（x）=a.

3.如果当x从点x=x0右侧（即x＞x0）无限趋近于x0时,函数f（x）无限趋近于常数a,就说a是函数f（x）在点x0处的右极限,记作f（x）=a.

4.常数函数f（x）=C在点x=x0处的极限有f（x）=C（分别给出幻灯片A、B、C）.

［注意］

（1）第一类函数极限f（x）中的自变量x是无限趋近于∞;第二类函数极限f（x）中的自变量x是无限地趋近于一个点x0.

（2）f（x）中x无限趋近于x0,但不包含x=x0,即x≠x0.所以函数f（x）的极限a仅与函数f（x）在点x0附近的函数值的变化有关,而与函数f（x）在点x0的值无关.

①点x0可以不属于函数f（x）的定义域.

如.

②点x0可以属于函数f（x）的定义域,但函数f（x）的极限与函数值f（x0）无关.

如

.

（3）是x从x0的两侧无限趋近于x0,是双侧极限.

、都是x从x0的单侧无限趋近于x0,是单侧极限.

同样,是双侧极限,

、是单侧极限.

.

.

函数f（x）的左、右极限存在,但它的极限不一定存在.只有当左、右极限都存在并且相等时,函数f（x）的极限才存在并且等于它的左极限（或右极限）.

图2－24

（三）课本例题

当时,写出下列函数的极限.（学生板演）

（1）y=x2;

解：

.

图2－25　　　　　　　图2－26

（2）y=sinx;

解：

.

（3）y=x;

解：

.

（4）y=5.

解：

∵y=5是常数函数,∴.

（四）精选例题

写出下列函数当x→0时的左、右极限,哪些有极限？

（1）

解：

∴f（x）在x=0处有极限,即.

（2）

解：

∴f（x）在x=0处无极限,即不存在.

（3）f（x）=（x≠-3）;

解：

∴f（x）在x=0处有极限,即.

（4）

解：

不存在,∴f（x）在x=0处无极限,即不存在.

Ⅲ.课堂练习

1.,讨论f（x）在x→0和x→1时的极限.

解:

∵,∴f（x）在x→0时的极限不存在.

又,,∴且f

（1）=1.

2.下列函数在x=0处的左、右极限各是什么？

哪些有极限？

（学生口答）

（1）

［生］在x=0处左极限为1,右极限为0,无极限.

（2）

［生］在x=0处左极限为0,右极限为0,极限为0.

（3）.

［生］在x=0处左极限为-1,右极限为1,无极限.

3.已知函数其中［x］表示不超过x的最大整数,给出下列判断:

①;②;③;④.其中正确的命题的个数有（　　）

A.1个B.2个　C.3个　D.4个

解析:

①,②,③

④,.

∴不存在.

综上所述,只有①③正确.故选B.

答案:

B

Ⅳ.课时小结

本节课主要学习了第二类函数极限.函数f（x）在点x=x0处的极限,左、右极限.要弄清极限与左、右极限的关系,第一类函数极限实质上是第二类函数极限的特例.要学会求一些简单函数的左、右极限和极限.

Ⅴ.课后作业

（一）课本P83习题2.4　2（5）~（8）,3.

（二）1.预习内容：

课本Ｐ84～Ｐ85.

2.预习提纲：

（1）预习函数极限的四则运算法则,理解极限运算与“+、-、×、÷”可交换顺序.

（2）预习由函数极限的四则运算法则推出的两个式子.

板书设计

§2.3.2　函数的极限

（二）

一、几个概念

1.f（x）在x=x0处的极限.

2.f（x）在x=x0处的左极限.

3.f（x）在x=x0处的右极限.

4.常数函数在x=x0处的极限.

二、举例

1.y=x2　x→2

画图

列表

结论

2.　（x→1）

图、结论

3.

图、结论

课本例题

课堂练习

课后作业