电子科技大学中山学院高数复习题知识点整理docx.docx
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微积分复习题级知识点
一、填空题(共10个小题,每小题3分,共30分)
1.y=x2e2x+arctan3x9贝!
jdy-
(Pill,P94微分公式dy=f(x)dx)
2・lim(—1+空空)二P60,等价无穷小)
xtotanxsinxx
3|(8sin5x+5)•cosxdx=P190,例14)
4已知卜吨+")+2咖如,则虬(pi。
?
公式(3))
y=arctant-2In(l+12)必
1
Y
5.lim(l+-)sinx=(P52例4上面的第二个重要极限公式)
XT02
2
5.1.lim(cosx)cot*二
xtO
6.iim(「一+」一+••…+J—)二(P46夹逼准则,P55,3题)
nFIV+1ZT+2/T+刃
7.已知/(x)=(x2-4)(x+1)(x+3),则广(兀)有个零点.
8.[—-—dx-(P178不定积分公式)
3l+ex
9.微分方程/-5/+6^=0的通解是(P305表)
9.1微分方程y^-4y^+4y=0的通解是(P305表)
25
9.2微分方程y^+4y^—y=0的通解是(P305表)
4
10.一阶线性微分方程"+尸2厂的通解是(P286公式(5)
二、微分学部分(共4个小题,每小题7分,共28分)
1.函数/(兀)=i汙"号在点*0处是否连续,是否可导?
[tarrx,x>0
(P62连续定义,定理)
2.求曲线/+y2=4在点(-1,的)处的切线方程。
(P101隐函数求导,P81求导公式)
3•求y=e~x2的凹凸区间与拐点
(P150定理2凹凸性判别,拐点)
丄
4.证明:
当x>l时,有
(P138例5单调性证明不等式)
(P127例3拉格朗日中值定理证明不等式)
三、积分学部分(共5个小题,每小题6分,共30分)
(P200分部积分公式udv=⑷-Jvdii)
(不定积分公式)
2.】计算需
dx
(P194例21)被积函数有Jax+b,令t=4ax+b
(P194例21)被积函数有乔匸阪令t=y/ax+b
(P197积分公式上一段落,被积函数有』Q2-X?
的,^x=asint)
(参照复习资料例题解答)
5.求由y=sin=0,x=j=0所围成的平面图形的面积D,并求由D
绕x轴旋转一周所形成的旋转体的体积V(P249公式(3))
公式A=—fr(x)]dx)
(2.P248,旋转体体积公式卩=^[f(X)fdx
注意倍角公式及其它三角公式:
21+cos2x.21-cos2x
cosx=;sinx=
22
tan2x+l=sec2x;1+cot2x
=CSC2X
求由D绕兀轴旋转
周所形成的旋转体的体积V
四、综合(共2个小题,每小题6分,共12分)
1.求微分方程=2满足初始条件XD=1的特解(P276方程(4),axx
例1,可分离变量微分方程,整理将X的函数与dx放一边,Y的函数与
dy放一边)
1.1求微分方程yy-/2=0的通解。
(P295-P296例5)
2•证明:
设函数/⑴在区间(0,+co)上连续,并且单调增加,证明函数
①(兀)=Io在(0,+oo)上单调增加。
X
(定积分中值定理Cf(x)dx=/(^)(Z?
-a),a<^
Ja
3.设函数/(x)在区间(0,+oo)上可导,并且/(x)=sinx-J()r/(x-/Mr,求
/(兀)。
(方程两边求导,转化为微分方程,解微分方程可求f(x))
一、求导
1求导公式
(1)仪(X)土v(x)f=u(x)±v(x);
(2)
⑶斜
(v(x)H0).
u(x)v(x)-H(X)V,(X)
|w(x)•v(x)f=u(x)v(x)+«(x)vz(x);
2复合函数y=f[(p(x)]求导法则令w=(p(x),则y=f\u)•(p\x),
3参数方程求导
参数方程x"⑴,确定尸/(X)的导数字公式Lf=^(Odx
4曲线的切线方程,法线方程
/So)表示曲线F=/(X)在点Mgjg))处的切线的斜牽即/'(x())=tana,(汹倾角)
法线方程:
y-yQ=-
1
八兀0)
(兀一兀0)・
切线方程:
y-yQ=fXxQ)(x-xQ)・
4凹凸区间判别定理,拐点
如果/(x)在⑷引上连续,在(码方)内具有二阶导数,若在(偽方)内
(1)f\x)>0,则/(x)在[a,b]上的图形是凹的;
⑵八x)v0侧/(x)在[a.b]±的图形是凸的.
拐点定义连续曲线上凹凸的分界点称为曲线的拐点.
(5)ln(l+x)〜x,
(6)e-lr,(7)15十.
4连续
定义lim/(x)=/(x°)那末就称函数/(x)在点叫连续•
XT.5
(1)分段函数分断点的连续性
函数/(X)在Xo处连续O是函数/(x)在x0
处既左连续又右连续•
也肌足安满足:
(1)右极限lim=
⑵左极限limf(x)=/(x0)
XTX()
(2)分段函数分断点的可导性
定理函数/(X)在兀0处可导O是函数/(x)在X。
处左导数,右导存数并且相等.
也就是要满足:
(1)左导数厂(X。
)=lim/(x)7(%)
XT坊X—xo
⑵右导轉g)=lim心)_心X一xo
(3)判别左导数是否等于右导数
3.不定积分,定积分
积分类型
换元公式
第
换元积
分法
I.jf(ax-^-b)dx=丄『f(ax+b)d(ax-^-b)(aH0)2・打《)占必=*J7(x“)〃(x“)(“丰0)
3・Jf(lnx)-—dx=j/(lnx)rf(lnx)4..\f(ex)exdx=\f(ex)dex
5.^f(ax)axdx=^-\f{ax)dax
6.Jf(sinx)cosxdx=j/(sinx)dsinx
7Jf(cosx)•sinxdxf(cosx)dcosx
8.Jf(tanx)sec2xdx=j/(tanx)dtanx
9J/(cotx)csc2xdx=-J/(cotx)dcotx
10.j/(arctanx)—^-^dx=J/(arctanx)rf(arctanx)
11
II.jf(arcsinx)=dx二Jf(arcsinx)rf(arcsinx)
u=ax+b
u=
u=Inx
u-ex
u-ax
u-sinx
u-cosx
u-tanx
u-cotX
u=arctanx
u=arcsinx
第二换元法
(1)Va2-x2
(2)牯+兀2
令x=asin『;
令x=atanF;
令x=asect.
(3)J宀/分部积分
Judv=mv-1vdu.
求面积
曲边梯形由连续曲线
/(x)(/(x)no八
轴与两条直线x
x=b所
成。
曲边梯形面积公式A=[7(x)dx
Ja
ab
平面图形面积公式
eh
旋转4面体积
一般地,如果旋转体是由连续曲线y=f(x\直线X=a.x=b及X轴所围成的曲边梯形绕X轴旋转一周而成的立体,体积为多少?
r=J\[/(x)]2dx
4.微分方程
1.可分离变量微分方程
g(y)^y=f(x)dx
解法:
1•要先判断是一阶的,然后将•/写成字,再讲x的函数与厶OX
相乘,丿函数与妙相乘,放在的两边
2•两边分别积分就可以求解
2•—阶线性非齐次微分方程解法
学+P(x)尸g)
dx
公式尸占g[j0(x)e"gdx+C]
3•二阶常系数齐次线性微分方程解法
1•求妙=0对应的特征方程r2+pr+q=0的特征根根据P305的表写成对应的通解。
4•二阶微分方程
/=f(y,y)特点:
不显含x的二阶微分方程
解法:
1设y=p(y)则/=
dp
2代入原方程得到新函数P(y)的一阶方程,
p^-=f(y^p\
3•求关于函数P°)的一阶微分方程(一般为:
可分离变量,一阶
线性非齐次微分方程)
5.证明题
定积分中值定理
J^/(x)dx=/(§)(方_伉)・(a5§5b)
基本求导公式
(10匕x)z=—
xina
(Inx/=-
X
基本积分公式
(1)\kAx=kx+C(k
(2)jx^dx
斗+C(“T;
“+1
rdx
(3)f—=lnx+C;
Jx
(5)j-^==dr=arcsinx+C;⑹J
(7)|sinxdx=-cosx+C;⑻J
(4)f=arctanx+C;
J1+0
cosxdx=sinx+C;
=[sec2xdx=tanx+C;COJTXJ
=jesc2xdx=-cotx+C;
(10)jsecxtanxdx=secjv+C;
(11)fescxcotxdx=-cscx+C;
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