cvpde11hw到第11次.docx
- 文档编号:24740891
- 上传时间:2023-06-01
- 格式:DOCX
- 页数:16
- 大小:67.46KB
cvpde11hw到第11次.docx
《cvpde11hw到第11次.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《cvpde11hw到第11次.docx(16页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
cvpde11hw到第11次
复变函数与数理方程作业题
数学科学系吴昊
2014年秋季
§1复变函数与积分变换
§1.1第01次课作业
刚刚开学,大家适应一下,本次课程不布置作业。
§1.2第02次课作业(10月9日提交)
习题1.1下列式子在复数平面上各具有怎样的意义?
(并给出具体过程)
z
(1)|z−a|=|z−b|(a,b为复常数),
(2)|z|+Rez≤1,(3)Re
(1)=2.
习题1.2计算下列数值(a,b,φ为实常数,x为实变量)
(1)ii,
(2)cosφ+cos2φ+···+cosnφ,(3)sin(a+ib),(4)cos(ix).
习题1.3
(1)用复变量表示过点(1,3),(−1,4)的直线的方程;
(2)设A,C∈R,B∈C,问方程Azz∗+BZ∗+B∗z+C=0在什么条件是圆方程,并求其圆心和半径。
习题1.4已知解析函数f(z)的实部u(x,y)或虚部v(x,y),求该解析函数
(1)u=ex
x2y2
siny,
(2)u=(x2+y2)2,f(∞)=0,(3)u=lnρ,f
(1)=0.
习题1.5指出下列多值函数的支点及其阶
(1)√(z−a)(z−b),
(2)ln(z−a).
§1.3第03次课作业(10月16日提交)
习题1.6
(1)已知函数ψ(t,x)=e2tx−t2,将x作为参数,t为复变数,试应用
柯西积分公式将.
表示为回路积分。
∂nψ
∂tn.t=0
=(−1)n
x2dn
edxne
−x2.
习题1.7计算下面积分
(1)I
dz
|z|=1cosz
(2)I
dz
z2+2z+4,
|z|=1
(3)I
z3coszdz,(4)I
(4+3)dz.
|z|=2
习题1.8用积分
计算积分
|z|=4
I
dz
|z|=1z+2
z+1
z+2i
∫π1+2cosθ
dθ.
05+4cosθ
习题1.9求下列幂级数的收敛圆
∞∞
(1)
1(zi)k,
(2)
k
k=1
klnk(z−2)k,
k=1
(3)
∑k=1
k!
(z)k,(4)
∑k=1
kk(z−3)k.
§1.4第04次课作业(10月23日提交)
习题1.10在指定点z0的邻域上将下列函数展开为泰勒级数
(1)√3z,z0=i,
(2)ln(1+ez),z0=0,
(3)(1+z)1/z,z0=0,(4)sin2z,z0=0.
习题1.11在挖去奇点z0的环域上或指定环域上将下列函数展开为洛朗级数
(1)z5e1/z,z0=0,
(2)1/z2(z−1),z0=1
(3)1/(z2−3z+2)在1<|z|<2或2<|z|<∞,(4)sin(1/z)在奇点,(5)ez/z在奇点,(6)1/z2(z2−1)2在0<|z|<1或1<|z|<∞.
§1.5第05次课作业(10月30日提交)
习题1.12确定下列函数的奇点,求出函数在各奇点的留数
(1)ez/(1+z),
(2)eiz/(z2+a2),
(3)1/(z3−z5),(4)z2n/(z+1)n,(5)e1/(1−z).
习题1.13计算下列回路积分
(1)I
(2)I
dz,(ℓ的方程是x2+y2−2x−2y=0),
(z2+1)(z−21)ℓ
zdz
.
|z|=22−sinz
习题1.14计算下列实变函数定积分
∫2πdx
∫2π
sin2xdx
(3)
∫2πcosxdx
(|ε|<1),(4)
∫2π
(a>b>0),
a+bcosx
cos2nxdx.
01−2εcosx+ε20
习题1.15计算下列实变函数定积分
∫∞dx
∫∞x2dx
(3)
∞x2+1
x6+1dx,(4)
∞x2m
x2n+1dx,(m §1.6第06次课作业(11月6日提交) 习题1.16计算下列实变函数定积分 ∫∞cosx∫∞ eimx (3)∫∞sinmxdx,(m>0,a>0),(4)∫∞xsinxdx. 习题1.17计算下列实变函数定积分 ∫2πdx ∫πadx (3) ∞x2+1 x4+1dx,(4) −∞ ∞cosmx ∞x2 (x2+a2)2dx, ∫∞sin2x §1.7第07次课作业(11月13日提交) { 习题1.18求下列函数的傅里叶变换 (1)f(x)=sinx,|x|≤π, 0,|x|>π. 1 (2)f(x)=a2+x2,a>0. (3)f(x)=sin3x.(4)f(x)=eiω0xu(x).(5)f(x)=1−2δ(x)+3δ′(x). 习题1.19求函数f(x)=xe−x2的傅里叶变换,并推证 ∫+∞−2 √−2 注: 该题必须写出具体推导过程,不能套用课本的例题结论。 习题1.20求下列函数的拉普拉斯变换 (1)f(x)=sh(αx), (2)f(x)=x2+3x+2, (3)f(x)=xneαx,(n为自然数),(4)f(x)=x2e−xsin3x, (5)f(x)= x ξe−2ξsin3ξdξ,(6)f(x)= 0 0,x<0, 8,0≤x<2, 6,x≥2. 习题1.21利用拉普拉斯变换的性质,计算下列积分 (1) ∞1−cosxe−x 0x dx, (2) ∞x3e−x 0 sinxdx,(3) ∞sin2x 2dx. 0 §2数理方程与特殊函数 §2.1第08次课作业(无需提交) 本次课程不安排作业。 §2.2第09次课作业(无需提交) 本次课程不安排作业。 §2.3第10次课作业(12月4日提交) 习题2.1设ℓ为参数,试求出方程 ∂2u∂2u2∂2u (ℓ+x)∂x2+2xy∂x∂y−y∂y2=0 的双曲型、椭圆型与抛物型的区域,并研究它们对ℓ的依赖性。 习题2.2试选取适当的辅助函数w(x,t),使得u(x,t)满足的方程 ∂tu−∂xxu+a∂xu+bu=f(x,t),a,b是常数 经过函数代换后u=vw,化成 ∂tv−∂xxv=f˜(x,t) 的形式。 的形式。 习题2.3试证明在自变量代换 ξ=x−αt,τ=t 下,方程具有形式 ∂tu+α∂xu=α2∂xxu ∂τu=α2∂ξξu. 习题2.4已知ui(x,t),(i=1,2,3),φ(x),ψ(x)和f(x,t)充分光滑,并且ui分别满足定解问题 Qu1=0,u1(x,0)=φ(x),∂tu1(x,0)=0, Qu2=0,u2(x,0)=0,∂tu2(x,0)=ψ(x), Qu3=f,u3(x,0)=0,∂tu3(x,0)=0. 这里Q=∂tt−a2∂xx为一维波动算子,假定u2=Mψ(x,t)给出上述定解问题的解,试证u1,u3可分别表为(其中fτ=f(x,τ)) ∫t 习题2.5接上题,若已求得 1∫x+at 试利用上式结论求u1,u3的表达式,并由此给出定解问题 Qu=f(x,t),u(x,0)=φ(x),∂tu(x,0)=ψ(x), 解u(x,t)的表达式。 习题2.6接上题,根据u(x,t)的表达式,试证明如下结论: (1)若φ(x),ψ(x)和f(x,t)分别满足 φ(−x)=−φ(x),ψ(−x)=−ψ(x),f(−x,t)=−f(x,t),x∈R, 则有 u(−x,t)=−u(x,t),x∈R. (2)若φ(x),ψ(x)和f(x,t)分别满足 φ(x+L)=φ(x),ψ(x+L)=ψ(x),f(x+L,t)=f(x,t),x∈R 这里L>0为某给定常数,则有 u(x+L,t)=u(x,t),x∈R. 习题2.7在半无界区域Q¯={0≤x<∞,0≤t<∞}上考虑定解问题 ∂ttua2∂xxu=f(x,t),0 u(x,0)=φ(x),0≤x<∞, ∂xu(0,t)=g(t),t>0. (1)选取适当的辅助函数w(x,t),使得经过函数代换后,函数v(x,t)在Q¯满足齐次边值的定解问题 ∂ttva2∂xxv=f1(x,t),0 v(x,0)=φ1(x),0≤x<∞, ∂xv(0,t)=0,t>0, 并且给出f1(x,t),φ1(x),ψ1(x)的具体形式; (2)对f1(x,t),φ1(x),ψ1(x)作开拓,试将半无界问题转化成初值问题,并给出初值问题的具体形式; (3)试导出半无界问题v(x,t)解的具体表达式(用f1(x,t),φ1(x),ψ1(x))表示; (4)试讨论f,g,φ和ψ在角点(0,0)需要满足什么条件,以保证解在定解区域Q内是二次可微连续的。 习题2.8已知三维波动方程为 ∂2u 2(∂2u ∂2u ∂2u) 将直角坐标转换成空间球坐标(r,θ,φ),试证明球坐标下的三维波动方程为 1∂2u 1∂ (2∂u) 1∂( ∂u) 1∂2u §2.4第11次课作业(12月11日提交) { 习题2.9如果已知下述常微分方程的初值问题 −y′′+y=0,x>0,y(0)=0,y′(0)=1, { 的解为y=Y(x),试通过它写出一般初值问题 −y′′+y=f(x),x>0,y(0)=a,y′(0)=b, 解的表达式(提示: 参考齐次化原理)。 习题2.10用特征线法求解下述Cauchy问题 (1)∂tu+2∂xu=0,t>0,−∞ 2∂tu=∂xuxu,t>0, x2 u(x,0)=2xe2,−∞ 习题2.11若u=u(x,y,z,t)是波动方程初值问题 ∂ttu−a2(∂xxu+∂yyu+∂zzu)=0,u(x,y,z,0)=f(x)+g(y), ∂tu(x,y,z,0)=φ(y)+ψ(z), 的解,试求解的表达式。 { 习题2.12试求解波动方程的古尔萨(Goursat)问题 ∂ttu−a2∂xxu=0, u|x−at=0=φ(x),u|x+at=0=ψ(x),φ(0)=ψ(0). { 习题2.13若u=u(x,t)是一维热传导方程初值问题 ∂tu−a2∂xxu=0,(x,t)∈R×R+ u(x,0)=φ(x),x∈R 的解,且φ(x)和f(x,t)分别满足 φ(−x)=φ(x),f(−x,t)=f(x,t),x∈R, 试证明 u(−x,t)=u(x,t),x∈R. { 习题2.14利用傅里叶变换方法求解以下定解问题 ∂tu−a2∂xxu−b∂xu−cu=f(x,t),−∞ 习题2.15求解下列积分方程 (1)φ(t)= ∫t (2) 0 t ∫ φ(τ)dτ+1, 0 习题2.16用积分变换法求解 ∂2u ∂x∂y =1,x>0,y>0, ≥ u(0,y)=y+1,y0, u(x,0)=1,x≥0.
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- cvpde11hw 11