平面向量知识点总结精华.docx
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平面向量知识点总结精华
必修4平面向量知识点小结
一、向量的基本概念
1.向量的概念:
既有大小又有方向的量,注意向量和数量的区别.
向量常用有向线段来表示.
注意:
不能说向量就是有向线段,为什么?
提示:
向量可以平移.
举例1已知A(1,2),B(4,2),则把向量uAuBur按向量ar(1,3)平移后得到的向量是.结果:
(3,0)
2.零向量:
长度为0的向量叫零向量,记作:
0r,规定:
零向量的方向是任意的;
3.单位向量:
长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与uAuuBr共线uuur
的单位向量是uAuBur);
|AB|
4.相等向量:
长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量,相等向量有传递性;
5.平行向量(也叫共线向量):
方向相同或相反的非零向量ar、br叫做平行向量,记作:
ar∥br,
规定:
零向量和任何向量平行.注:
①相等向量一定是共线向量,但共线向量不一定相等;②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念:
两个向量平行包含两个向量共线,但两条直线平行不包含两条直线重合;
③平行向量无传递性!
(因为有r0);
④三点A、B、C共线uAuuBr、uAuCur共线.
6.相反向量:
长度相等方向相反的向量叫做相反向量.ar的相反向量记作ar.
举例2如下列命题:
(1)若|ar||br|,则arbr.
(2)两个向量相等的充要条件是它们的起点相同,终点相同.(3)若uAuBuruDuCur,则ABCD是平行四边形.
(4)若ABCD是平行四边形,则uAuuBruDuCuur.
(5)若arbr,brcr,则arcr.
(6)若ar//br,br//cr则ar//cr.其中正确的是.结果:
(4)(5)
二、向量的表示方法
1.几何表示:
用带箭头的有向线段表示,如AB,注意起点在前,终点在后;
2.符号表示:
用一个小写的英文字母来表示,如ar,br,cr等;
3.坐标表示:
在平面内建立直角坐标系,以与x轴、y轴方向相同的两个单位向量ir,rj为基底,则平面内的任一向量ar可表示为arxiryrj(x,y),称(x,y)为向量ar的坐标,ar(x,y)叫做向量ar的坐标表示.
结论:
如果向量的起点在原点,那么向量的坐标与向量的终点坐标相同.
三、平面向量的基本定理
定理设er1,er2同一平面内的一组基底向量,ar是该平面内任一向量,则存在唯一实数对(1,2),使ar1er12er2.
1)定理核心:
arλ1er1λ2er2;
(2)从左向右看,是对向量ar的分解,且
表达式唯一;反之,是对向量ar的合成.
(3)向量的正交分解:
当er1,er2时,就说arλ1re1λ2re2为对向量ar的正交分解.
举例3
(1)若ar(1,1),br(1,1),cr(1,2),则cr.结果:
1r3r
ab.
22
(2)下列向量组中,能作为平面内所有向量基底的是B
A.er1(0,0),er2(1,2)B.re1(1,2),er2(5,7)C.re1(3,5),er2(6,10)
D.er1(2,3),
1,3
24
(3)已知uAuDur,uBuEur分别是可用向量ar,br表示为.
(4)已知△ABC中,点值是.结果:
0四、实数与向量的积实数与向量ar的积是下:
△ABC的边BC,AC上的中线,且uAuDurar
4ra
2
果结
上
边
BC
在
D
uurB
uu2DuuurCD
uuur
uur
uu
uurCuuB则rburEuuB
的
uuruu
个向量,记作ar,它的长度和方向规定如
(1)模:
|ar||||ar|;
(2)方向:
当0时,ar的方向与ar的方向相同,当
方向与ar的方向相反,当0时,arr0,
注意:
ar0.
五、平面向量的数量积
1.两个向量的夹角:
对于非零向量ar,br,
)称为向量ar,br的夹角.
uuurr
作OAar,
ur
uu
把
rb
AOB(0
当0时,ar,br同向;当时,ar,br反向;当2时,ar,br垂
直.
2.平面向量的数量积:
如果两个非零向量ar,br,它们的夹角为,我们把数量|ar||br|cos叫做ar与br的数量积(或内积或点积),记作:
arbr,即arbr|ar||br|cos.
规定:
零向量与任一向量的数量积是0.注:
数量积是一个实数,不再是一个向量举例4
(1)△ABC中,|uAuuBr|3,|uAuuCr|4,|uBuCur|5,则
9.
uuuruuurABBC
果:
结果:
2)已知ar1,21,br0,12,crarkbr,drarbr,cr与dr的夹角为4,则k
1.
3)已知|ar|2,|br|5,arbr3,则|arbr|.结果:
23.
4)已知ra,rb是两个非零向量,且|ar||br||arbr|,则ar与arbr的夹角为30o.
结果:
3.向量br在向量ar上的投影:
|br|cos,它是一个实数,但不一定大于0.
举例5已知|ar|3,|br|5,且arbr12,则向量ar在向量br上的投影为.结果:
152.
5
4.arbr的几何意义:
数量积arbr等于ar的模|ar|与br在ar上的投影的积.
5.向量数量积的性质:
设两个非零向量ar,
(1)arbarb0;
(2)当ar、b同向时,arb|ar||b|,特别地,arbr|ar||br|是ar、br同向的充要分条件;当ar、br反向时,arbr|ar||br|,arbr|ar|件;
当为锐角时,arbr0,且ar、br不同向,充分条件;
当为钝角时,arbr0,且ar、br不反向;充分条件.
(3)非零向量ar,br夹角
br,其夹角为,则:
ar2
|br|是ar、br反向的充要分条
ab
ab
的计算公式:
cos
0是为锐角的必要不
0是为钝角的必要不
|ara||bbr|;④arbr|ar||br|.
举例6取值范围是
1)已知ar(,2),
___.结果:
br(3,2),如果ar与br的夹角为锐角,则的3或0且3;
(2)已知△OFQ的面积为S,且uOuFuruFuQur1,若12S23,则uOuFur,uFuQur夹角的取值范围是.结果:
4,3;
43
①用k表示arbr;②求arbr的最小值,并求此时ar与br的夹角的大小.结果:
①arbrk4k1(k0);②最小值为12,60o.
六、向量的运算
1.几何运算
(1)向量加法
运算法则:
①平行四边形法则;②三角形法则.r运算形式:
若uAuuBrar,uBuuCrbr,则向量uAuuCr叫做ar与b的和,即rruuuruuuruuurabABBCAC;
作图:
略.注:
平行四边形法则只适用于不共线的向量.
(2)向量的减法运算法则:
三角形法则.运算形式:
若uAuuBrar,uAuCurbr,则arbruAuBuruAuuCrCuuAur,即由减向量的终点指向被减向量的终点.
作图:
略.
注:
减向量与被减向量的起点相同.
举例7
(1)化简:
①uAuBuruBuCurCuuDur;②uAuuBruAuDuruDuuCur;③
uuuruuuruuuruuuruuuruuurr(ABCD)(ACBD).结果:
①AD;②CB;③0;
(2)若正方形ABCD的边长为1,uAuBurar,uBuCurbr,uAuCurrc,则|arbrcr|.
结果:
22;
(3)若O是△ABC所在平面内一点,且满足OuuBurOuuCuruOuBurOuuCur2uOuAur,则△ABC的形状为.结果:
直角三角形;
(4)若D为△ABC的边BC的中点,△ABC所在平面内有一点P,满足uPuAuruBuPurCuuPurr0,设||uuPAuuDuPurr||,则的值为.结果:
2;
(5)若点O是△ABC的外心,且uOuAuruOuuBruCuuOrr0,则
△ABC的内角C为.结果:
120o.
2.坐标运算:
设ar(x1,y1),b(x2,y2),则
(1)向量的加减法运算:
arb(x1x2,y1y2),arb(x1x2,y1y2).举例8
(1)已知点A(2,3),B(5,4),C(7,10),若uAuuPruAuuBr
uAuuCr(R),则当
时,点P在第一、三象限的角平分线上.结果:
21;
(2)已知A(2,3),B(1,4),且21uAuBur(sinx,cosy),x,y(2,2),则xy.结果:
6或2;
(3)已知作用在点A(1,1)的三个力F1(3,4),F2(2,5),F3(3,1),则合力FuruFur1uFur2uFur3的终点坐标是.结果:
(9,1).
(2)实数与向量的积:
ar(x1,y1)(x1,y1).
(3)若A(x1,y1),B(x2,y2),则uAuBur(x2x1,y2y1),即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标.
举例9设A(2,3),B(1,5),且uAuuCr13uAuBur,uAuDur3uAuBur,则C,D的坐标分别是
3
举例10已知向量ar(sinx,cosx),b(sinx,sinx),cr(1,0).
(1)若x3,求向量ar、cr的夹角;
3
(2)若x[38,4],函数f(x)arbr的最大值为12,求的值.结果:
(1)150o;842
2)21或21.
5)向量的模:
ar2|ar|2x2y2|ar|x2y2.举例11已知ar,br均为单位向量,它们的夹角为.结果:
13.
位向量,则P点斜坐标为(x,y).
1)若点P的斜坐标为(2,2),求P到O的距离|PO|;
2)求以O为圆心,1为半径的圆在斜坐标系xOy中的方程.
结果:
(1)2;
(2)x2y2xy10.七、向量的运算律
1.交换律:
ar
2.结合律:
ar
3.分配律:
(
rbr
ra
r
ra
)rbr
rarar
rarc)
rb
rbr
(rb
rb
(ra
r)rbrra
(r
r
举例13给出下列命题:
①(arbr)2|ar|22|ar||br||br|2;
ar
(bcr)arbarcr;②
ar(bcr)(arb)cr;
④若arbr0,则ar0r或brr0;⑤若arbrcrbr则arcr;⑥|ar|2ar2;⑦arar2bbar;
⑧(arbr)2ar2br2;⑨(arbr)2ar22arbrbr2.
其中正确的是.结果:
①⑥⑨.说明:
(1)向量运算和实数运算有类似的地方也有区别:
对于一个向量等式,可以移项,两边平方、两边同乘以一个实数,两边同时取模,两边同乘以一个向量,但不能两边同除以一个向量,即两边不能约去一个向量,切记两向量不能相除(相约);
(2)向量的“乘法”不满足结合律,即
八、向量平行(共线)的充要条件
ar//barb(arb)2(|ar||b|)2举例14
(1)若向量ar(x,1),相同.结果:
2.
(2)已知ar(1,1),b(4,x),ur果:
4.
uuuruuur
(3)设PA(k,12),PB(4,5),果:
2或11.九、向量垂直的充要条件
0.
(4,x),当x
x1y2y1x2rb
rb
ra
r
rbr|a
ar
r
2b,
uuur
PC
rv
ar
(bcr)(arb)cr,为什么?
时,ar与br共线且方向
2arb,且ur//vr,则x
(10,k),
则k
时,A,B,C共线.
y1y20.
|
ABACABAC
特别地uuuruuuruuuruuur.
|AB||AC||AB||AC|
举例15
(1)已知uOuAur(1,2),OuuBur(3,m),
(2)以原点O和A(4,2)为两个顶点作等腰直角三角形B的坐标是.结果:
(1,3)或(3,-1));
(3)已知nr(a,b)向量nrmr,且|nr||mr|,则mr的坐标是
(b,a).
十、线段的定比分点
1.定义:
设点P是直线P1P2上异于P1、P2的任意一点,若存在一个实数,使uPu1PuruPuPur2,则实数叫做点P分有向线段P1P2所成的比,P点叫做有向线段uPu1uPur2的以定比为的定比分点.
2.的符号与分点P的位置之间的关系
(1)P内分线段P1P2,即点P在线段P1P2上0;
(2)P外分线段uPu1uPu2r时,①点P在线段P1P2的延长线上P在线段P1P2的反向延长线上10.
注:
若点P分有向线段uPu1Puu2r所成的比为,则点P分有向线段uPu2uPur1所成的
x1x2uuur
uuuruuur若OAOB,则m
.结果:
OAB,B90,则点
3
2;
结果:
(b,a)或
1,②点
比为1.
举例16若点P分uAuBur所成的比为43,则A分uBuPur所成的比为.
结果:
73.
3
3.线段的定比分点坐标公式:
设P1(x1,y1),P2(x2,y2),点P(x,y)分有向线段uPu1uPu2r所成的比为,则定比分
x1x2
1y1y2
x1时,就得到线段P1P2的中点坐标公式
y
说明:
(1)的意义,即分别为分点,起点,终点的坐标.
(2)在具体计算时应根据题设条件,灵活地确定起点,分点和终点,并根据这些点确定对应的定比
举例17
(1)若M(3,2),N(6,1),且结果:
(6,37);
3
(2)已知A(a,0),B(3,2a),直线y1ax与线段AB交于M,且uAuMuur2uMuuBur,则ar.结果:
2或4.
十一、平移公式
如果点P(x,y)按向量ar(h,k)平移至P(x,y),则xxh,;曲线f(x,y)0按yyk.
向量ar(h,k)平移得曲线f(xh,yk)0.
说明:
(1)函数按向量平移与平常“左加右减”有何联系?
(2)向量平移具有坐标不变性,可别忘了啊!
举例18
(1)按向量ar把(2,3)平移到(1,2),则按向量ar把点(7,2)平移到点.结果:
(8,3);
(2)函数ysin2x的图象按向量ar平移后,所得函数的解析式是
ycos2x1,则ar.结果:
(,1).
4十二、向量中一些常用的结论
1.一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量,要注意运用;
2.模的性质:
|ar||br||arbr||ar||br|.
(1)右边等号成立条件:
(2)左边等号成立条件:
(3)当ar、br不共线|ar|3.三角形重心公式
在△ABC中,若A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),则其重心的坐标为
A(2,1)、B(3,4)、C(1,1),则△ABC的重
举例19若△ABC的三边的中点分别为心的坐标为.结果:
32,34.
33
5.三角形“三心”的向量表示
uuur1uuuruuuruuur
1)PG(PAPBPC)
3
G为△ABC的重心,特别地uPuuAruPuBuruPuCur0rG
为△ABC的重心.
uuuruuuruuuruuuruuuruuur
(2)PAPBPBPCPCPAP为△ABC的垂心.
uuuuruuuruuuuruuuruuuuruuur
(3)|AB|PC|BC|PA|CA|PB0P为△ABC的内心;向量uuuruuur
uuAuBuruuAuCur(0)所在直线过△ABC的内心.
|AB||AC|
6.点P分有向线段uP1uuPur2所成的比向量形式
设点P分有向线段P1P2所成的比为,若M为平面内的任一点,则uuuuruuuuruuuuruuuuruMuuPrMP1MP2,特别地P为有向线段uPu1uPur2的中点uMuuPrMP1MP2.12
7.向量uPuAur,uPuBur,uPuCur中三终点A,B,C共线存在实数,,使得uuuruuuruuur
PAPBPC且1.
举例20平面直角坐标系中,O为坐标原点,已知两点A(3,1),B(1,3),若点C满足OC1OA2OB,其中1,2R且121,则点C的轨迹是.结
果:
直线AB.
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