沪科版九年级数学上第21章二次函数与反比例函数教案.docx
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沪科版九年级数学上第21章二次函数与反比例函数教案
第21章 二次函数与反比例函数
主题
二次函数与反比例函数
课型
新授课
上课时间
教学内容
21.1 二次函数;21.2 二次函数的图象和性质;21.3 二次函数与一元二次方程;21.4 二次函数的应用;21.5 反比例函数;21.6 综合理论 获取最大利润
教材分析
本章对二次函数和反比例函数的学习,进一步丰富了研究函数的内容和方法,搞好这部分内容的教学,对进入高中后,学生对初等函数的学习有重要的意义.
教学目的
1.知识与技能
理解二次函数和反比例函数的意义;掌握二次函数和反比例函数图象的画法;理解二次函数顶点坐标及最大值和最小值的意义;会根据不同的条件,确定二次函数或反比例函数的解析式,会用待定系数法;会把一些实际问题归结为二次函数或反比例函数问题,并会运用二次函数或反比例函数的性质加以解决.
2.过程与方法
〔1〕通过对实际问题情境的分析确定二次函数、反比例函数的表达式,并体会二次函数、反比例函数的意义;〔2〕会用描点法画出二次函数、反比例函数的图象,能从图象上认识二次函数、反比例函数的性质;〔3〕会根据公式确定图象的顶点、开口方向和对称轴〔公式不要求记忆和推导〕,并能解决简单的实际问题;〔4〕会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解;〔5〕能用反比例函数解决某些实际问题.
3.情感、态度与价值观
从学生感兴趣的问题入手,能使学生积极参与数学学习活动,对数学有好奇心和求知欲.把数学问题和实际问题相联络,使学生初步体会数学与人类生活的亲密联络及对人类历史开展的作用.通过学生之间互相交流合作,让学生学会与人合作,并能与别人交流思维的过程,培养大家的合作意识.
教学
重难点
重点:
1.二次函数和反比例函数的概念.
2.二次函数和反比例函数图象和性质,以及它们的应用.
3.培养学生在解决实际问题时建立函数模型的意识,并掌握建立函数模型的技能.
难点:
1.二次函数和反比例函数图象和性质,以及它们的应用.
2.解决实际问题时建立函数模型的意识,并掌握建立函数模型的技能.
知识构造
课题
21.1 二次函数
课时
1课时
上课时间
教学目的
1.知识与技能
理解二次函数的概念,掌握二次函数一般形式.
2.过程与方法
通过对实际问题的探究,纯熟地掌握列二次函数关系式和求自变量的取值范围.
3.情感、态度与价值观
注重参与,联络实际,丰富同学们的感性认识,培养同学们的良好的学习习惯.
教学
重难点
重点:
可以根据实际问题,纯熟地列出二次函数关系式,并求出函数的自变量的取值范围.
难点:
纯熟地列出二次函数关系式.
教学活动设计
二次设计
课堂导入
旧知回忆:
一次函数的一般形式是 y=kx+b〔k≠0〕 ,一元二次方程的一般形式是 ax2+bx+c=0〔a≠0〕 ,为什么a≠0?
当a=0时,方程不是一元二次方程 .
导入新课:
某正方形边长为x,面积为S,那么其面积S与边长x之间的函数关系式是什么?
它是一次函数吗?
为什么?
函数关系是S=x2,不是一次函数,为什么?
探究新知
合作探究
自学指导
知识模块一 二次函数的概念
阅读教材本课时的内容,答复以下问题:
1.问题①中40m是长方形的周长吗?
是 ,矩形面积S与其一边长x之间的函数关系式为 S=x〔20-x〕〔0 不是 ,原因: 右边不是x的一次式 . 2.问题②中,设增加x人,此时,共有 15+x 个装配工,每人每天可少装配 10x 个玩具,因此每人每天只装配 190-10x 个玩具,所以,增加人数后,每天装配玩具总数y可表示为 y=〔190-10x〕〔15+x〕 . 这个函数是一次函数吗? 不是 ,原因: 右边不是x的一次式 . 知识模块二 在实际问题中列二次函数的解析式 【例题】列出以下函数的关系式. 〔1〕一个圆柱的高等于底面半径的2倍,那么它的外表积S与底面半径r之间的关系式为 S=6πr2 . 〔2〕某工厂一种产品如今年产量是20件,方案今后两年增加产量,假如每年都比上一年的产量增加x倍,那么两年后这种产品的产量y将随方案所定的x的值而确定,y与x之间的关系应怎样表示? y=20〔1+x〕2 . 学生看书,老师巡视,催促每一位学生认真自学,鼓励学生质疑问难. 续表 探究新知 合作探究 合作探究 1.讨论 小组讨论自学指导中出现疑问的地方. 2.让学生归纳上面两个函数解析式具有哪些共同特征? 3.考虑: 解决列函数关系式这一类题的步骤. 老师指导 1.易错点: 二次函数是自变量的多项式,自变量的最高次数都是2,二次项系数不为0. 2.归纳小结: 一般地,表达式形如 y=ax2+bx+c 〔a,b,c是常数,且a≠0〕的函数叫做x的二次函数,其中x是自变量,a为 二次项系数 ,b为 一次项系数 ,c为 常数项 . 3.方法规律: 〔1〕二次函数必须满足三个条件: ①函数解析式必须是整式;②化简后自变量的最高次数必须是2;③二次项系数不为0. 〔2〕解决列函数关系式这一类题的步骤: ①审清题意,②找等量关系,③列函数关系式. 当堂训练 1.函数y=-2x2+3x-1的二次项系数、一次项系数、常数项依次是〔 〕 〔A〕-2,3,1〔B〕-2,3,-1〔C〕2,3,1〔D〕2,3,-1 2.将一根长为20cm的铁丝弯成一个矩形框架,设矩形的一边长为xcm,面积为ycm2,那么y与x之间的函数关系式为 ,其中自变量x的取值范围是 . 3.某厂今年一月份新产品的研发资金为a元,以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x,那么该厂今年三月份新产品的研发资金y〔元〕关于x的函数关系式为 . 板书设计 21.1 二次函数 知识模块一 二次函数的概念 知识模块二 在实际问题中列二次函数的解析式 教学反思 课题 21.2 二次函数的图象和性质 课时 第1课时 上课时间 教学目的 1.知识与技能 可以利用描点法作出y=ax2的图象,并能根据图象认识和理解y=ax2的图象和性质. 2.过程与方法 经历画二次函数y=ax2的图象和探究性质的过程,获得利用图象研究函数性质的经历. 3.情感、态度与价值观 经历、探究二次函数y=ax2图象性质的过程,培养观察、考虑、归纳的良好思维习惯. 教学 重难点 重点: 会画y=ax2的图象,理解其性质. 难点: 结合图象理解抛物线开口方向,对称轴,顶点坐标及根本性质. 教学活动设计 二次设计 课堂导入 旧知回忆: 〔1〕一次函数y=kx+b〔k≠0〕其图象是 一条经过〔0,b〕的直线 . 特别地,正比例函数y=kx〔k≠0〕其图象是 过原点的直线 . 〔2〕描点法画出一次函数的步骤,分为 列表 , 描点 , 连线 三个步骤. 〔3〕我们把形如 y=ax2+bx+c〔a≠0〕 的函数叫做二次函数. 探究新知 合作探究 自学指导 探究二次函数y=ax2图象性质 阅读教材P5~6页的内容,答复以下问题: 1.在画二次函数y=x2的图象时,自变量取了多少个值? 经历了多少步? 自变量取了7个值,经历了3步,分别是列表、描点、连线. 2.二次函数y=x2的图象是一条抛物线,它的对称轴是 y 轴,顶点〔最低点〕是 〔0,0〕 ,在对称轴的左侧,抛物线从左到右 下降 ,在对称轴的右侧,抛物线从左到右 上升 ,也就是说,当x<0时,y随x的增大而 减小 ;当x>0时,y随x的增大而 增大 . 3.观察y= x2,y=2x2的图象,答复它们的开口方向,对称轴和顶点坐标. 4.根据函数y= x2,y=2x2图象特点,总结y=ax2〔a>0〕的性质: 最高或最低点,图象何时上升、下降. 5.观察y=- x2,y=-2x2的图象,指出它们与y= x2,y=2x2图象的不同之处. 6.〔1〕a>0与a<0时,函数y=ax2图象有什么不同? 〔2〕|a|大小对开口大小有什么影响? 学生看书,老师巡视,催促每一位学生认真自学,鼓励学生质疑问难. 续表 探究新知 合作探究 合作探究 1.将阅读教材时“生成的问题〞和通过“自学指导〞得出的“结论〞展示在各小组的小黑板上.并将疑难问题也板演到黑板上,再一次通过小组间就上述疑难问题互相释疑. 2.各小组由组长统一分配展示任务,由代表将“问题和结论〞展示在黑板上,通过交流“生成新知〞. 老师指导 1.易错点: y=ax2图象的两端是无限伸展的,画的时候要“出头〞,a的绝对值越大,抛物线的开口越小. 2.归纳小结: a的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 a>0 向上 〔0,0〕 y轴 x>0时,y随x的增大而 ;x<0时,y随x的增大而 ;x=0时,y有 0 a<0 向下 〔0,0〕 y轴 x>0时,y随x的增大而 ;x<0时,y随x的增大而 ;x=0时,y有 0 3.方法规律: 解决二次函数y=ax2的性质的问题要熟记性质,同时注意多运用数形结合的思想方法来考虑. 当堂训练 1.假设〔-5,2〕在抛物线y=ax2上,那么以下各点一定也在该抛物线上的是〔 〕 〔A〕〔5,2〕〔B〕〔-2,-5〕 〔C〕〔-5,-2〕〔D〕〔0,2〕 2.函数y=5x2的图象开口向 ,顶点是 ,对称轴是 ,当x 时,y随x的增大而增大. 板书设计 第1课时 二次函数y=ax2的图象和性质 探究二次函数y=ax2图象性质 归纳性质 教学反思 课题 21.2 二次函数的图象和性质 课时 第2课时 上课时间 教学目的 1.知识与技能 会用描点法画出二次函数y=ax2+k的图象. 2.过程与方法 经历画二次函数y=ax2+k的图象和探究性质的过程,获得利用图象研究函数性质的经历,体会数形结合的思想方法. 3.情感、态度与价值观 经历、探究二次函数y=ax2+k图象性质的过程,培养观察、考虑、归纳的良好思维习惯. 教学 重难点 重点: 二次函数y=ax2+k的图象和性质. 难点: 函数y=ax2+k与y=ax2的互相关系. 教学活动设计 二次设计 课堂导入 旧知回忆: 1.画函数图象利用描点法,其步骤为 列表 、 描点 、 连线 . 2.二次函数y=ax2〔a≠0〕的图象是一条 抛物线 ,a>0时,它的开口向 上 ,对称轴是 y轴 ,顶点坐标是 原点〔0,0〕 ;在对称轴的左侧,y随x的增大而 减小 ;在对称轴的右侧,y随x的增大而 增大 ;当x=0时,y取最 小 值.a<0时有什么变化呢? 探究新知 合作探究 自学指导 知识模块一 二次函数y=ax2+k的图象 阅读教材P11~12,完成下面内容: 画出y=2x2+1,y=2x2-1图象,根据图象答复以下问题: 〔1〕抛物线y=2x2+1,y=2x2-1开口方向 向上 ,对称轴是 y轴 ,顶点坐标分别为 〔0,1〕,〔0,-1〕 . 〔2〕抛物线y=2x2+1,y=2x2-1与y=2x2之间有什么关系? 答: 可以发现y=2x2+1是由y=2x2向上平移一个单位长度得到的,而y=2x2-1是由y=2x2向下平移1个单位长度得到的. 知识模块二 二次函数y=ax2+k的性质 继续观察知识模块一中y=2x2+1,y=2x2-1图象,说说它们的增减性. 答: 两个图象都是当x<0时,y随x的增大而减小;当x>0时,y随x的增大而增大. 学生看书,老师巡视,催促每一位学生认真自学,鼓励学生质疑问难. 续表 探究新知 合作探究 合作探究 1.将阅读教材时“生成的问题〞和通过“自学指导〞得出的“结论〞展示在各小组的小黑板上.并将疑难问题也板演到黑板上,再一次通过小组间就上述疑难问题互相释疑. 2.各小组由组长统一分配展示任务,由代表将“问题和结论〞展示在黑板上,通过交流“生成新知〞. 老师指导 1.易错点: 抛物线y=ax2与y=ax2+k平移规律,运用y=ax2+k的性质时要注意数形结合思想. 2.归纳小结: 〔1〕抛物线y=ax2+k的图象 ①抛物线y=ax2+k的图象,当a>0时,开口方向 向上 ,对称轴是 y轴 ,顶点坐标是 〔0,k〕 . ②抛物线y=ax2沿着y轴上下平移可以得到y=ax2+k,当k>0时,y=ax2 向上 平移 k 个单位就可以得到抛物线y=ax2+k;当k<0时,抛物线y=ax2 向下 平移 k 个单位就可以得到抛物线y=ax2+k. 〔2〕二次函数y=ax2+k的图象和性质 ①开口方向: 当a>0时,开口 向上 ,当a<0时,开口 向下 . ②对称轴: y轴 . ③顶点坐标: 〔0,k〕 . ④增减性: 当a>0时,在对称轴左侧,y随x的增大而 减小 ,在对称轴右侧,y随x的增大而 增大 ;当a<0时,在对称轴左侧,y随x的增大而 增大 ,在对称轴右侧,y随x的增大而 减小 . ⑤最值: 当a>0时,抛物线有 最低 点,当x=0时,y有最小值是 k ;当a<0时,抛物线有 最高 点,当x=0时,y有最大值是 k . 3.方法规律: 解决二次函数y=ax2+k的性质的问题要熟记性质,同时注意多运用数形结合的思想方法来考虑. 当堂训练 1.抛物线y=-2x2+8的开口 ,对称轴为 ,顶点坐标是 ;当x 时,y有最 值为 ;当x<0时,函数值随x的增大而 ;当x>0时,函数值随x的增大而 . 2.将抛物线y=x2+1向下平移2个单位,得到抛物线解析式为 . 3.二次函数y=〔a-2〕x2+a2-2的最高点是〔0,2〕,那么a的值为 . 4.抛物线y=ax2+c与y=-3x2-2的图象关于x轴对称,那么a= ,c= . 板书设计 第2课时 二次函数y=ax2+k的图象和性质 探究二次函数y=ax2+k的图象 归纳二次函数y=ax2+k的性质 教学反思 课题 21.2 二次函数的图象和性质 课时 第3课时 上课时间 教学目的 1.知识与技能 使学生能利用描点法画出二次函数y=a〔x+h〕2的图象. 2.过程与方法 让学生经历二次函数y=a〔x+h〕2性质探究的过程,理解函数y=a〔x+h〕2的性质,理解二次函数y=a〔x+h〕2的图象与二次函数y=ax2的图象的关系. 3.情感、态度与价值观 经历、探究二次函数y=a〔x+h〕2图象性质的过程,培养观察、考虑、归纳的良好思维习惯. 教学 重难点 重点: 掌握二次函数y=a〔x+h〕2的图象和性质. 难点: 二次函数y=a〔x+h〕2的图象和性质的运用. 教学活动设计 二次设计 课堂导入 旧知回忆: 1.y=ax2+k是由y=ax2平移 |k| 个单位得到. 2.二次函数y=x2+5的图象是一条 抛物线 ,它的开口向 上 ,对称轴是 y 轴,顶点坐标是 〔0,5〕 ;在对称轴的左侧,y随x的增大而 减小 ,在对称轴的右侧,y随x的增大而 增大 ;当x= 0 时,y取最 小 值. 探究新知 合作探究 自学指导 知识模块 二次函数y=a〔x+h〕2的图象与性质 阅读教材P14~15,考虑并填写课本中的问题,然后完成以下问题: 抛物线y=〔x-1〕2和y=〔x+1〕2与y=x2之间有什么关系? 【例1】抛物线y= 〔x-2〕2的开口向 上 ,对称轴是 直线x=2 ,顶点坐标是 〔2,0〕 ,当x <2 时,y随x的增大而减小;当x =2 时,函数y获得最 小 值,值为 0 . 【例2】假如将抛物线y=3x2向右平移1个单位,那么所得的抛物线的表达式是〔 C 〕 〔A〕y=3x2-1〔B〕y=3x2+1 〔C〕y=3〔x-1〕2〔D〕y=3〔x+1〕2 合作探究 1.将阅读教材时“生成的问题〞和通过“自学指导〞得出的“结论〞展示在各小组的小黑板上.并将疑难问题也板演到黑板上,再一次通过小组间就上述疑难问题互相释疑. 2.各小组由组长统一分配展示任务,由代表将“问题和结论〞展示在黑板上,通过交流“生成新知〞. 续表 探究新知 合作探究 老师指导 1.易错点: 对于二次函数的图象,只要|a|相等,那么它们的形状一样,只是开口方向不同,且|a|越大,开口越小. 2.归纳小结: 〔1〕二次函数y=a〔x+h〕2〔a≠0〕的图象性质: 开口方向: a>0时,开口向 上 ,a<0时,开口向 下 ,顶点 〔-h,0〕 ,对称轴 x=-h .最值: a>0时,有 最小值y=0 .当a<0时,有 最大值y=0 .增减性: a>0且x>-h时,y随x的增大而 增大 ;x<-h时,y随x的增大而减小;a<0且x>-h时,y随x的增大而 减小 ,x<-h时,y随x的增大而 增大 . 〔2〕y=ax2和y=a〔x+h〕2的图象有如下关系: y=ax2 y=a〔x+h〕2. 3.方法规律: 〔1〕解决二次函数y=a〔x+h〕2〔a≠0〕的性质的问题要熟记性质,同时注意多运用数形结合的思想方法来考虑. 〔2〕由抛物线y=ax2的图象通过平移得到y=a〔x+h〕2的图象,左右平移的规律是〔四字口诀〕左加右减. 当堂训练 1.抛物线y= 〔x-2〕2的开口向 ,顶点为 ,对称轴是 ,当 时,y随x增大而减小;当x= 时,y有最 值为 . 2.抛物线y=2x2.假设抛物线不动,把y轴向右平移3个单位,那么在新坐标系下抛物线解析式为 . 3.抛物线y=3〔x-1〕2图象上有A〔-1,y1〕,B〔 y2〕,C〔2,y3〕三点.那么y1,y2,y3大小关系为 . 板书设计 第3课时 二次函数y=a〔x+h〕2的图象和性质 探究二次函数y=a〔x+h〕2的图象 归纳二次函数y=a〔x+h〕2的性质 教学反思 课题 21.2 二次函数的图象和性质 课时 第4课时 上课时间 教学目的 1.知识与技能 使学生理解函数y=a〔x+h〕2+k的图象与函数y=ax2的图象之间的关系.会确定函数y=a〔x+h〕2+k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标. 2.过程与方法 让学生经历函数y=a〔x+h〕2+k性质的探究过程,理解函数y=a〔x+h〕2+k的性质. 3.情感、态度与价值观 经历、探究二次函数y=a〔x+h〕2+k图象性质的过程,培养观察、考虑、归纳的良好思维习惯. 教学 重难点 重点: 二次函数y=a〔x+h〕2+k的图象与性质. 难点: 运用二次函数y=a〔x+h〕2+k的图象与性质解决简单的实际问题. 教学活动设计 二次设计 课堂导入 1.填空: 函数 开口方向 对称轴 顶点坐标 最值 y=3x2 向上 y轴或x=0 〔0,0〕 最小值0 y=-2x2+3 向下 y轴或x=0 〔0,3〕 最大值3 y=x2-4 向上 y轴或x=0 〔0,-4〕 最小值-4 y=0.6〔x-5〕2 向上 x=5 〔5,0〕 最小值0 y=-3〔x+1〕2 向下 x=-1 〔-1,0〕 最大值0 2.函数y= x2+1的图象由y= x2向 上 平移 1个 单位得到;函数y= 〔x-2〕2的图象由y= x2向 右 平移 两个 单位得到. 探究新知 合作探究 自学指导 知识模块一 二次函数y=a〔x+h〕2+k的图象与y=ax2之间的关系 阅读教材P16~17,完成下面内容: 1.在同一直角坐标系中,画出以下函数y= x2,y= 〔x-2〕2,y= 〔x-2〕2+1的图象. 2.观察它们的图象,答复: 它们的开口方向都向 上 ,对称轴分别为 y轴 、 直线x=2 、 直线x=2 ,顶点坐标分别为 〔0,0〕 、 〔2,0〕 、 〔2,1〕 .请同学们完成填空,并观察三个图象之间的关系. 【例题】说出抛物线y=2〔x+1〕2-3的开口方向、对称轴和顶点坐标,并指出它是由抛物线y=2x2通过怎样的平移得到的. 知识模块二 二次函数y=a〔x+h〕2+k的图象与性质 1.〔1〕a>0,开口向 上 ;a<0,开口向 下 ; 〔2〕对称轴是x= -h ;〔3〕顶点坐标是 〔-h,k〕 . 2.从二次函数y=a〔x+h〕2+k的图象可以看出: 假如a>0,当x<-h时,y随x的增大而 减小 ,当x>-h时,y随x的增大而 增大 ;假如a<0,当x<-h时,y随x的增大而 增大 ,当x>-h时,y随x的增大而 减小 . 续表 探究新知 合作探究 合作探究 1.将阅读教材时“生成的问题〞和通过“自学指导〞得出的“结论〞展示在各小组的小黑板上.并将疑难问题也板演到黑板上,再一次通过小组间就上述疑难问题互相释疑. 2.各小组由组长统一分配展示任务,由代表将“问题和结论〞展示在黑板上,通过交流“生成新知〞. 老师指导 1.易错点: 抛物线的增减性根据函数图象运用数形结合思想;二次函数的平移问题用到的知识点为: 二次函数的平移不改变二次项的系数;关键是根据上下平移改变顶点的纵坐标,左右平移改变顶点的横坐标得到新抛物线的顶点. 2.归纳小结: 一般地,抛物线y=a〔x+h〕2+k与y=ax2形状 一样 ,位置 不同 ,把抛物线y=ax2向上〔下〕向左〔右〕平移,可以得到抛物线y=a〔x+h〕2+k.平移的方向、间隔要根据 h、k 的值决定. 二次函数y=a〔x+h〕2+k的图象与性质 〔1〕①a>0,开口向 上 ;a<0,开口向 下 ; ②对称轴是x= -h ; ③顶点坐标是 〔-h,k〕 . 〔2〕从二次函数y=a〔x+h〕2+k的图象可以看出: 假如a>0,当x<-h时,y随x的增大而 减小 ,当x>-h时,y随x的增大而 增大 ;假如a<0,当x<-h时,y随x的增大而 增大 ,当x>-h时,y随x的增大而 减小 . 3.方法规律: 由抛物线y=ax2的图象通过平移得到y=a〔x+h〕2+k的图象,平移的规律是左加右减,上加下减. 当堂训练 1.将抛物线y=-8x2先向左平移2个单位,再向下平移4个单位后,得到抛物线的解析式为 . 2.抛物线y=-9〔x+2〕2-5的开口方向是 ,对称轴是 ,当x= 时,y有最 值 ,当 时,y随x的增大而增大,当 时,y随x的增大而减小. 3.假设一抛物线形状与y=2x2+7x一样,顶点坐标是〔4,-2〕,那么其解析式为 . 板书设计 第4课时 二次函数y=a〔x+h〕2+k的图象和性质 二次函数y=a〔x+h〕2+k的图象与y=ax2之间的关系 二次函数y=a〔x+h〕2+k的图象与性质 教学反思 课题 21.2 二次函数的图象和性质 课时 第5课时 上课时间 教学目的 1.知识与技能 〔1〕掌握用描点法画出函数y=ax2+bx+c的图象. 〔2〕掌握
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- 沪科版 九年级 数学 21 二次 函数 反比例 教案