北师大版2018-2019学年七年级数学下册全册教案(含教学反思).docx

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1.1同底数幂的乘法

1.理解并掌握同底数幂的乘法法则；（重点）

2.运用同底数幂的乘法法则进行相关运算．（难点）

一、情境导入

问题：

2015年9月24日，美国国家航空航天局（下简称：

NASA）对外宣称将有重大发现宣布，可能发现除地球外适合人类居住的星球，一时间引起了人们的广泛关注．早在2014年，NASA就发现一颗行星，这颗行星是第一颗在太阳系外恒星旁发现的适居带内、半径与地球相若的系外行星，这颗行星环绕红矮星开普勒186，距离地球492光年.1光年是光经过一年所行的距离，光的速度大约是3×105km/s.问：

这颗行星距离地球多远（1年＝3.1536×107s）?

3×105×3.1536×107×492＝3×3.1536×4.92×105×107×102＝

4.6547136×10×105×107×102.

5 7 2

问题：

“10×10×10×10”等于多少呢？

二、合作探究

探究点：

同底数幂的乘法

【类型一】底数为单项式的同底数幂的乘法计算：

（1）23×24×2；

（2）－a3·（－a）2·（－a）3；（3）mn＋1·mn·m2·m.

解析：

（1）根据同底数幂的乘法法则进行计算即可；

（2）先算乘方，再根据同底数幂的乘法法则进行计算即可；（3）根据同底数幂的乘法法则进行计算即

可．

解：

（1）原式＝23＋4＋1＝28；

（2）原式＝－a3·a2·（－a3）＝a3·a2·a3＝a8；

（3）原式＝mn＋1＋n＋2＋1＝a2n＋4.

方法总结：

同底数幂的乘法法则只有在底数相同时才能使用；单个字母或

数可以看成指数为1的幂，进行运算时，不能忽略了幂指数1.

【类型二】底数为多项式的同底数幂的乘法

计算：

（1）（2a＋b）2n＋1·（2a＋b）3·（2a＋b）n－4；

（2）（x－y）2·（y－x）5.

解析：

将底数看成一个整体进行计算．

解：

（1）原式＝（2a＋b）（2n＋1）＋3＋（n－4）＝（2a＋b）3n；

（2）原式＝－（x－y）2·（x－y）5＝－（x－y）7.

方法总结：

底数互为相反数的幂相乘时，先把底数统一，再进行计算．（a

n

（b－a）n（n为偶数），

n

－b）＝

－（b－a）（n为奇数）.

【类型三】运用同底数幂的乘法求代数式的值若82a＋3·8b－2＝810，求2a＋b的值．

解析：

根据同底数幂的乘法法则，底数不变指数相加，可得a、b的关系，根据a、b的关系求解．

解：

∵82a＋3·8b－2＝82a＋3＋b－2＝810，∴2a＋3＋b－2＝10，解得2a＋b＝9.

方法总结：

将等式两边化为同底数幂的形式，底数相同，那么指数也相同．

【类型四】同底数幂的乘法法则的逆用已知am＝3，an＝21，求am＋n的值．

m＋n m n

解析：

把a 变成a·a，代入求值即可．

m n m＋n m n

解：

∵a＝3，a＝21，∴a ＝a·a＝3×21＝63.

m＋n m n

方法总结：

逆用同底数幂的乘法法则把a

三、板书设计

1．同底数幂的乘法法则：

变成a·a.

同底数幂相乘，底数不变，指数相加．即am·an＝am＋n（m，n都是正整数）．2．同底数幂的乘法法则的运用

在同底数幂乘法公式的探究过程中，学生表现出观察角度的差异：

有的学生只是侧重观察某个单独的式子，把它孤立地看，而不知道将几个式子联系起来；有的学生则既观察入微，又统揽全局，表现出了较强的观察力．教师要善于抓住这个契机，适当对学生进行指导，培养他们“既见树木，又见森林”的优良观察品质．对于公式使用的条件既要把握好“度”，又要把握好“方向”

1.2幂的乘方与积的乘方第1课时 幂的乘方

1.理解幂的乘方的运算性质，进一步体会和巩固幂的意义；（重点）

2.掌握幂的乘方法则的推导过程并能灵活应用．（难点）

一、情境导入

1．填空：

（1）同底数幂相乘， 不变，指数 ；

23 m n

（2）a×a＝ ；10×10＝ ；

（3）（－3）7×（－3）6＝ ；

（4）a·a2·a3＝ ；（5）（23）2＝23·23＝ ；

（x4）5＝x4·x4·x4·x4·x4＝ ．2．计算（22）3；（24）3；（102）3.

问题：

（1）上述几道题目有什么共同特点？

（2）观察计算结果，你能发现什么规律？

（3）你能推导一下（am）n的结果吗？

请试一试．

二、合作探究

探究点一：

幂的乘方

计算：

（1）（a3）4;

（2）（xm－1）2；

（3）[（24）3]3;（4）[（m－n）3]4.

mn mn

解析：

直接运用（a）＝a计算即可．

34 3×4 12

解：

（1）（a）＝a ＝a；

m－12



2（m－1）



2m－2

（2）（x

）＝x

＝x ；

（3）[（24）3]3＝24×3×3＝236；

（4）[（m－n）3]4＝（m－n）12.

方法总结：

运用幂的乘方法则进行计算时，一定不要将幂的乘方与同底数幂的乘法混淆，在幂的乘方中，底数可以是单项式，也可以是多项式．

探究点二：

幂的乘方的逆用

【类型一】逆用幂的乘方比较数的大小

请看下面的解题过程：

比较2100与375的大小．

100



425 75



325 4 3



100 75

解：

∵2

＝

（2），3

＝（3），又∵2＝16，3＝27，16＜27，∴2

＜3.

100 60

请你根据上面的解题过程，比较3 与5的大小，并总结本题的解题方法．

解析：

首先理解题意，然后可得3100＝（35）20，560＝（53）20，再比较35与53的大小，即可求得答案．

解：

∵3100＝（35）20，560＝（53）20，又∵35＝243，53＝125，243＞125，即35＞53，∴3100＞560.

方法总结：

此题考查了幂的乘方的性质的应用．注意理解题意，根据题意得到3100＝（35）20，560＝（53）20是解此题的关键．

x y

【类型二】逆用幂的乘方求代数式的值已知2x＋5y－3＝0，求4·32的值．

x y

解析：

由2x＋5y－3＝0得2x＋5y＝3，再把4·32统一为底数为2的乘方

的形式，最后根据同底数幂的乘法法则即可得到结果．

解：

∵2x＋5y－3＝0，∴2x＋5y＝3，∴4x·32y＝22x·25y＝22x＋5y＝23＝8.方法总结：

本题考查了幂的乘方的逆用及同底数幂的乘法，整体代入求解

也比较关键．

【类型三】逆用幂的乘方结合方程思想求值

已知221＝8y＋1，9y＝3x－9

1 1

x y的值为 ．

，则代数式 ＋

3 2

解析：

由221＝8y＋1，9y＝3x－9得221＝23（y＋1），32y＝3x－9，则21＝3（y＋1），2y

1

＝x－9，解得x＝21，y＝6，故代数式

3

1

x＋y＝7＋3＝10.故答案为10.2

方法总结：

根据幂的乘方的逆运算进行转化得到x和y的方程组，求出x、y，再计算代数式．

三、板书设计

1．幂的乘方法则：

幂的乘方，底数不变，指数相乘．即（am）n＝amn（m，n都是正整数）．2．幂的乘方的运用

幂的乘方公式的探究方式和前节类似，因此在教学中可以利用该优势展开教学，在探究过程中可以进一步发挥学生的主动性，尽可能地让学生在已有知识的基础上，通过自主探究，获得幂的乘方运算的感性认识，进而理解运算法则

第2课时 积的乘方

1.掌握积的乘方的运算法则；（重点）

2.掌握积的乘方的推导过程，并能灵活运用．（难点）

一、情境导入1．教师提问：

同底数幂的乘法公式和幂的乘方公式是什么？

学生积极举手回答：

同底数幂的乘法公式：

同底数幂相乘，底数不变，指数相加．幂的乘方公式：

幂的乘方，底数不变，指数相乘．

2．肯定学生的发言，引入新课：

今天学习幂的运算的第三种形式——积的乘方．

二、合作探究

探究点一：

积的乘方

【类型一】直接运用积的乘方法则进行计算

3; 2 2

计算：

（1）（－5ab）

（2）－（3xy）；

4 23



3;



m3m2

（3）（－

3

abc）

（4）（－xy

）.

解析：

直接运用积的乘方法则计算即可．解：

（1）（－5ab）3＝（－5）3a3b3＝－125a3b3；

（2）－（3x2y）2＝－32x4y2＝－9x4y2；

4 233

43369

64369

（3）（－abc）＝（－）abc＝－

abc；

3 3 27

m3m2

22m6m

2m6m

（4）（－xy

）＝（－1）x

y＝xy.

方法总结：

运用积的乘方法则进行计算时，注意每个因式都要乘方，尤其是字母的系数不要漏乘方．

【类型二】含积的乘方的混合运算

计算：

（1）（－2a2）3·a3＋（－4a）2·a7－（5a3）3；

（2）（－a3b6）2＋（－a2b4）3.

解析：

（1）先进行积的乘方，然后根据同底数幂的乘法法则求解；

（2）先进行积的乘方和幂的乘方，然后合并．

6 3 2 7 9 9 9 9 9

解：

（1）原式＝－8a·a＋16a·a－125a＝－8a＋16a－125a＝－117a；

612 612

（2）原式＝ab－ab

＝0.

方法总结：

先算积的乘方，再算乘法，然后算加减，最后合并同类项．

【类型三】积的乘方的实际应用

太阳可以近似地看作是球体，如果用V、R分别代表球的体积和半径，

4 3 5

那么V＝πR，太阳的半径约为6×10千米，它的体积大约是多少立方千米（π

3

取3）?

5 4 3

解析：

将R＝6×10

千米代入V＝πR，即可求得答案．

3

5 4 3 4



53 17

解：

∵R＝6×10

千米，∴V＝πR≈

×3×（6×10）≈8.64×10

（立方千

3 3

米）．

答：

它的体积大约是8.64×1017立方千米．

方法总结：

读懂题目信息，理解球的体积公式并熟记积的乘方的性质是解题的关键．

探究点二：

积的乘方的逆用

【类型一】逆用积的乘方进行简便运算

22014 32015

计算：

（） ×（） .

3 2

32015 32014 3

解析：

将（） 转化为（） ×，再逆用积的乘方公式进行计算．

2 2 2

22014

32014 3

2 32014 3 3

解：

原式＝（） ×（） ×＝（×） ×＝.

3 2 2 3 2 2 2

n n n

方法总结：

对公式a·b＝（ab）要灵活运用，对于不符合公式的形式，要

通过恒等变形转化为公式的形式，运