定积分练习题.docx
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定积分练习题.docx
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定积分练习题
题型
1.定积分与极限的计算
2.计算下列定积分
3.计算下列广义积分
内容
一.定积分的概念与性质
1.定积分的定义
2.定积分的性质
3.变上限函数及其导数
4.牛顿—莱布尼茨公式
5.换元积分公式与分部积分公式
6.广义积分
题型
题型I利用定积分定义求极限
题型II比较定积分的大小
题型III利用积分估值定理解题
题型IV关于积分上限函数以及牛顿—莱布尼茨公式问题
题型V定积分的计算
题型VI积分等式证明题型VII积分不等式证明
题型VHI广义积分的计算
自测题五
1.根据极限计算定积分
2.根据定积分求导
3.求极限
4.求下列定积分
5.证明题
4月21日定积分练习题
基础题:
一•选择题、填空题
A.
1e-e
B.2e
2
C_
e
D.e
1e
1
J
dx,
-J
7.右m
exdx,n
贝Um与n
的大小关系是(
)
0
1x
A.m
nB.
mn
C.m
nD.
无法确定
8•按万有引力定律,两质点间的吸引力Fkmimm2,k为常数,m1,m2为两质点的质量,
r
r为两点间距离,若两质点起始距离为a,质点沿直线移动至离m?
的距离为b处,试求
所作之功(
b>a)
9•由曲线
2
yx
1和x轴围成图形的面积等于S•给出下列结果:
12
①(X2
1、
1)dx;
1
②1(1
2
x)dx;
1202
③2o(x1)dx:
④2,1x)dx
则S等于
()
A.①③
B.'
③④
C.②③
D.②④
x
10.y°(sintcostsint)dt,贝Vy的最大值是()
A.1B.2
C.7
2
D.0
11.若f(x)是一次函数,
1
且0f(x)dx
1
5,Qxf(x)dx
17
—,那么
6
12f?
dx的值是
x
x0处连续,则c()。
(A).c0;
(B).c1;
(C).c不存在;
(D).c1.
x
tf(t)dt
13.F(x)一-一,x0,其中f(x)在x0处连续,且f(0)0若F(x)在
x
c,x0
x0处连续,则c()。
(A).c0;
(B).C1;
(C).c不存在;
(D).C1.
14•设bf(x)dx0且f(x)在[a,b]连续,则(
(A).f(x)0;
(B).必存在x使f(x)0;
(C).存在唯一的一点x使f(x)0;
(D).不一定存在点x使f(x)0。
15•设f(x)
sinx
x
,贝U0f(x)cos2xdx()其余0
(A)3
4
(B)
(C)1
(D)—1
16.=
17.
定积分
等于
18.
定积分
等于(
(A)
0
(C)
19.
定积分
等于(
(A)
0
(C)
)
)
20.定积分等于()
(B)
(D)
(B)
(D)
(B)
(A)
(C)
(D)
21.设
f(x)
x2
ln(1
t)dt,g(x)
arcsin^dt,则当x
02
0时,f(x)是g(x)的()
(A)
同阶无穷小,但不等价
(B)等价无穷小
(C)低价无穷小
(D)高价无穷小
(A)
F(—)为极大值
F(0)为最小值
(B)
F(―)为极大值
但无最小值
(C)
F(―)为极小值
但无极大值
(D)
F(才为最小值
F(0)为最大值
综合题:
22.F(x)etcostdt,则F(x)在[0,]上有()
0
(1)
1x2,
2dx
0x2x2
1
°ln(1x)dx
2
(3)2(x2‘4x2xcos5x)dx
dx
Inx)lnx
2
⑸0
(32xx
2tan2x[sin22xIn(x.1x2)]dx
2
dx
~3
爭
2
⑺0—
02
-4=x2dx
(8)已知函数f(x)在[0,2]上二阶可导,且:
f(x)dx4,求
;x2f''(2x)dx
f
(2)1,
f'
(2)0及
(9)1
arctanx,
2dx
x
dx
(0)1e^V7
0、、1tdt0sintdt)
(12)
1
12\10」
(1x)dx
1'/
(13)求极限lim(
x0
(14)用定积分定义计算极限:
lim(
n
22
2
xx
n-2)
n
(15)设隐函数yy(x)由方程x3
xt2
etdt
0
y3
In4
0所确定,
2xt2
0(e1)dt
(16)设f(x)x2
Ax0
处可导,并求出f'(0).
°,问当A为何值时,
f(x)在x
b
af(x)dx
(17)设f(x)cos4x2:
f(x)dx,其中f(x)为连续函数,试求:
f(x)
x0a
xa
4月22日定积分练习题
基础题:
1.积分中值定理gf(x)dx
f()(ba)
,其中()。
(A)
是[a,b]内任一点;
(B).
是[a,b]内必定存在的某一点;
(C).
是[a,b]内唯一的某一点;
(D).
是[a,b]的中点。
1
2.1。
x).1x2dx(
)
(A)
(B)—
(C)2
(D)—
2
4
3.设f
1
C[0,1],且
0
f(x)dx2,
2
贝y'f(cosx)sin2xdx
(A)2
(B)3
(C)4
(D)1
4.设f(x)在[a,b]上连续,且
0,则(
)。
()
2
(18)设正整数a,且满足关系lim(-—)x1xe4xdx,试求a的值。
2
5.x32x2xdx=()
0
(A)-(2.2)
15
4厂
(B)-(22)
(C)
(C)ln(1lnx)ln(12x)
(D)ln(1lnx)2ln(12x)
(A)连续,但不可导
(B)可导,但导函数不连续
(C)不连续
(D)导函数连续
11
(A)
(B)
(C)
(D)
dx
1
1e
1e
1e
1e
1
填空、选择题
(1)02sin8xdx,02cos7xdx
4月23日定积分练习题
•计算下列定积分的值
(4x
x2)dx;
(2)
2(x1)5dx-
I'7,
(3)02(xsinx)dx;(4)
cos2xdx;
(5)
n
22cos0
(6)
1
0(2x3)dx;
(7)
11
01
(8)
e2dxexlnx;
(9)
1x
1e
02
(10)
■32
3tanxdx
0
(11)
9—
4(X
1
x)dx;
•x
4dx
(12)
(13)
:
丄(Inx)2dxex
2
(14)0
5cos
xsin2xdx;
(15)02
exsinxdx;
(1®
dx
r^;
(17)
cosx
:
~2~sinx
dx;
1dx
(18)0g
二求下列极限:
1x2
⑴lim;0costdt;
⑵lim
X
xt22
°edt)
Jdt
0
三•利用定积分求极限
(1)lim
n
n—
(n
1
(n2)2
1
(nn)2
(2)lim
n
1
n(L
1
(n22)
1
27);
四•证明题
(1设f'(x)在(
)上连续,
证明:
2(
dx
x
a(xt)f'(t)dt)
f(x)
f(a)。
・3
(2)证明:
2sinxdx
0sinxcosx
3
2cosx
0sinxcosx
dx,并求出积分值。
⑶设函数f(x)在[0,]上连续,且of(x)dx0,of(x)cosxdx0试证明在(0,)内至少
存在两个不同的点1,2,使f
(1)f
(2)0
x
(作辅助函数F(x)°f(t)dt,x(0,),再使用积分中值定理和Rolle定理)
1
(4)设f(x)在[0,1]上可导,且满足f
(1)2jxf(x)dx,证明:
必存在点(0,1),
使得f'()丄0(利用积分中值定理和Rolle定理证明)
4月24日定积分练习题
、填空题:
b
1.
如果在区间[a,b]上,f(x)1,则f(x)dx
a
0
(E)
F(―)为极大值
F(0)为最小值
(F)
F(―)为极大值
但无最小值
(G)
F(—)为极小值
但无极大值
(H)
F(?
)为最小值
F(0)为最大值
x
xsintdt
dy
8.设方程组0
确定了y是x的函数,则
鱼(
y0costdt
dx
(A)
cott
(B)tant
(C)
sint
(D)cost
9.设f(x)是区间a,b
x22厂
上的连续函数,且f(t)dtx、3,则f
(2)(
1
)
2设I1=xdx,
1o
I2=%2dx,则[]
1
(A)2
(B)-2
(C)
(D)
1
4
i
4
(A)
1
(B)
(C)
(D)
11.定积分
=(
)
(A)
(B)
(C)
(D)
12.下述结论错误的是
()
(A)0
Jdx
发散
(B)
1x
(C)
0
(D)
13.设函数
,则极限
等于(
)
(A)
(B)
(C)
(D)不存在
10.定积分
()
一dx收敛
1x
%dx发散
1x2
x
14.设f(x)为连续函数,且满足0f(tx)dt
ex1,则f(x)
(A)
(B)xex
(C)xe
(D)xex
15.设正定函数
C[a,b),F(x)
x
af(t)dt
x1
b帀dt,则F(x)0在
(a,b)内根的个数为()
(A)0(B)1
(C)2
(D)3
16.定积分的定义为
(A)随然要求当
af(X)dX
limf(JXj,以下哪些任意性是错误的?
i1
maxXj0时,f(JXj的极限存在且有限,但极限值仍是
ji
任意的。
(B)积分区间[a,b]所分成的分数n是任意的。
(C)对给定的份数n,如何将[a,b]分成n份的分法也是任意的,即除区间端点
ax0,bXn外,各个分点x1x2
Xn1的取法是任意的。
[Xj1,Xj]的取法也是任意的。
.Inx
d
17.
ln(1
dX2x
t)dt
=()
(D)
丄1门(1
X
lnx)
2ln(12x)
(E)
丄ln(1
X
lnx)
ln(1
2x)
(F)
ln(1Inx)
ln(1
2x)
(D)
ln(1Inx)2ln(1
2x)
(D)对指定的一组分点,各个
18.4(ft21tdt)()
dx
(A)x2.1X(B)
(C)X41X2(D)
三.计算题:
1.—X-1t2dt2.
dx0
2xUx2
sinxdx
5.
7.
1dx
4.
Xt22
(0$dt)2
Xte2^dt
0
_1
x2
1
te
2dt
=dx(aa
0)
6.
4dx
1
8.
-x
edx
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