地球物理学基础作业05及参考答案.docx
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地球物理学基础作业05及参考答案
2017年地球物理学基础第5次作业
1.
Whenabellisstruckwithahammer,itvibratesfreelyatanumberofnaturalfrequencies.Thecombinationofnaturaloscillationsthatareexcitedgiveseachbellitsparticularsonority.Inananalogousway,thesuddenreleaseofenergyinaverylargeearthquakecansettheentireEarthintovibration,withnaturalfrequenciesofoscillationthataredeterminedbytheelasticpropertiesandstructureoftheEarth’sinterior.Thefreeoscillationsinvolvethree-dimensionaldeformationoftheEarth’ssphericalshapeandcanbequitecomplex.BeforediscussingtheEarth’sfreeoscillationsitisworthreviewingsomeconceptsofvibratingsystemsthatcanbelearnedfromtheone-dimensionalexcitationofavibratingstringthatisfixedatbothends.
Anycomplicatedvibrationofthestringcanberepresentedbythesuperpositionofanumberofsimplervibrations,calledthenormalmodesofvibration.Thesearisewhentravellingwavesreflectedfromtheboundariesattheendsofthestringinterferewitheachothertogiveastandingwave.Eachnormalmodecorrespondstoastandingwavewithfrequencyandwavelengthdeterminedbytheconditionthatthelengthofthestringmustalwaysequalanintegralnumberofhalf-wavelengths(Fig.3.16).Aswellasthefixedends,thereareotherpointsonthestringthathavezerodisplacement;thesearecalledthenodesofthevibration.Thefirstnormal(orfundamental)modeofvibrationhasnonodes.Thesecondnormalmode(sometimescalledthefirstovertone)hasonenode;itswavelengthandperiodarehalfthoseofthefundamentalmode.Thethirdnormalmode(secondovertone)hasthreetimesthefrequencyofthefirstmode,andsoon.Modeswithoneormorenodearecalledhigher-ordermodes.
当用一把锤子敲击一个钟时,钟会以一系列的固有频率自由的颤动。
被激发的固有震动的联合给每个一钟独特的音响。
与此相似,在一个大地震中能量的突然释放可以使整个地球颤动,这种颤动的固有频率决定于弹性性质和地球内部的结构。
自由振荡涉及地球球面形状的三维变形,可能相当复杂。
在讨论地球的自由振荡之前,有必要回顾一下振动系统的一些概念,这些概念可以从两端固定的一维振动的激发中学习。
弦的任何复杂的弦振动都可以用一些简单振动的叠加来表示,称为简正振动。
当从两端的边界反射出的行波相互干涉以产生驻波时,就会产生这种现象。
每一个简正模态对应于一个驻波,它的频率和波长取决于长度必须等于半波长的整数的弦(图3.16)。
在弦上还存在一些除固定端外的具有零位移的其他点,这
些被称为振动的节点。
第一个简正(或基本)模态振动没有节点。
第二个简正模态(有时称为第一谐波)有一个节点,它的波长和周期是基态的一半。
第三个简正模态(第二谐波)的频率是第一模态的三倍,一个或多个节点的模态称为高阶模态。
2.Explanationofnouns(20points)
surfacewave(面波):
沿界面及界面一定深度范围内传播的一类地震波,振幅随深度增加而衰减,能量集中在介质分界面并沿分界面传播,包括瑞利波,勒夫
波和斯通利波。
dispersion(频散):
面波速度随着周期(或频率)而变化而变化,成为面波频
散。
在记录中面波是很多列波的叠加,随着到时的先后,各相位的周期逐渐改变。
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2017年地球物理学基础第5次作业
除均匀半空间的瑞利面波无频散外,所有的地震面波都具有频散特性。
groupvelocity(群速度):
由于频散,各种频率的波以各自速度传播,相互叠加,形成合震动,其振幅不断变化,用其极大值速度表征其传播速度,该速度为群速度,即波群整体移动速度。
波传播时能量与振幅平方成正比,绝大部分能量集中
于振幅极大处,因此,群速度也是能量和信号的传播速度。
phasevelocity(相速度):
单色简谐波传播时,其同相面传播的速度。
3.Assumingahomogeneouselasticplatecoveredonthehomogeneouselasticsemi-infinitespace,thetopinterfaceisz=0andthebottominterfaceisz=h.Solvethedispersionequationoflovewavepropagationanddiscussitsdispersioncharacteristics.(25points)
取x、y坐标轴在自由表面上(z=0),z轴垂直向下,令层中横波速度为β1,密度为ρ1,半空间中横波的速度为β2,密度为ρ2,且有β1<β2,Love波振幅在层中为v1,在半空间为v2,x轴为波的传播方向,振幅垂直与x轴且平行于分界面,即振动沿y轴方向,v1,v2满足方程:
∂2v1
+
∂2v1
=
1∂2v1
⎫
2
2
2
⎪
∂x
∂z
2
∂t
β1
⎪
∂2v2
∂2v2
⎬
(1)
+
=
1∂2v2⎪
⎪
∂x
2
∂z
2
2
∂t
2
β2
⎭
解得,
v1=(Ae
b1z
+Be
-b1z
)e
i(kx-wt)
⎫
0 -b2z i(kx-wt) ⎬ (2) v2=Ce e z >h ⎪ ⎭ 期中, = ω ⎫ b= k2+k 2,k β1 1 β1 β1 ⎪ ⎪ ω ⎬(3) ⎪ b2= k2+kβ22 kβ2 = β2 ⎪ ⎭ k= ω (4) c 因要满足z→∞的收敛条件,在v2中去掉了e-b2z项,k为波数,c为面波速度。 式 (2)因满足自由表面边界条件和层与半空间界面连续条件 当z=0时,εxy =μ1 ∂v1 =0(5) v1=v2, ∂z ⎫ 当z=h时, ∂v ∂v ⎪ μ ⎬(6) 1=μ 2 2 ⎪ 1 ∂z ∂z 式 (2)代入式(5)、(6)化解,得 ⎭ A-B=0 ⎫ Aeb1h+Be-b1h =Ce-b2h ⎪ ⎬(7) bh -bh -bh⎪ μ1b1(Ae1 -Be 1 )=-μ2b2Ce2 ⎭ 消去B得, 第2页共7页 2017年 地球物理学基础 第5次作业 A(e b1h +e -b1h ) -Ce -b2h =0 ⎫ ⎪ Aμ1b1(e b1h -b1h )+Cμ2b2e -b2h ⎬(8) -e ⎪ =0⎭ 式(8)A、C要不全为零,其系数行列式为零,即 eb1h+e-b1h -e-b2h =0(9) μ1b1(eb1h -e-b1h) μ2b2e-b2h 解得, thbh= eb1h-e-b1h =- μ b (10) eb1h+e-b1h 2 2 1 μb 1 1 要使式(10)成立,则有 kβ1 由(11)、(3)得, b1=i kβ21-k2=ib1(12) 由此,式(10)化为 tan h=- μ2b2 (13) b1 μb 1 1 或者 μ 2 1- c2 tankh c2 -1= β2 2 (14) β12 c 2 μ -1 β 1 2 1 上式(14)就是Love波得频散方程,它确定ω、k、c三者中任何二个之间得隐含关系,c 与ω的隐含关系即c是ω的函数,也就是波速c与频率ω有关,对不同的频率的波速不同。 解频散方程(14)得, ⎡ ⎛ ⎫ ⎤ c2 ⎢ ç μ 2 1- ⎪ ⎥ β22 1 ⎢ -1 ç ⎪ ⎥ kh= ⎢tan ç ⎪ +nπ⎥,n=0,,,12(15) c2 c2 -1 ⎢ ç μ -1 ⎪ ⎥ ç ⎪ 2 ⎢ 1 2 ⎥ β1 ⎣ ⎝ β1 ⎭ ⎦ 式(15)给出了c、kh的对应关系,由(11)知,方程(14)要有实根,应有 β1 1 β1β1 c 对任一满足条件(16)的β1的值,(15)知均有无穷多个kh与之对应,每一个kh对应一个Love波,当n=0时,称为基阶振型Love波,当n=n时为n阶振型Love波。 4.在均匀弹性半空间中,推导出Rayleigh波,并讨论Rayleigh波的基本性质(速度特征、频散特征、质点位移特征等).(25points) 将x,y坐标轴取在自由表面上,z轴垂直向下,均匀弹性介质充满z>0的半空间。 设波沿着x轴方向传播,在y轴方向波的相位完全相同,即为平面二维情况。 令位移函数为 第3页共7页 2017年地球物理学基础第5次作业 φ=Φ(z)ei(kx-wt) (1)ϕ=ψ(z)ei(kx-wt) (2) φ,ϕ应满足波动方程 2 1 ∂2φ ∇φ= ∂t2(3) α2 2 1 ∂2ϕ (4) ∇ϕ= ∂t2 β2 而x,z方向的位移分量为 u=∂φ-∂ϕ⎫ ∂x ∂z ⎪ ⎬(5) w= ∂φ + ∂ϕ ⎪ ∂z ∂x ⎪ ⎭ 将 (1)、 (2)分别代入(3)、(4)后得, d2Φ 2 2 ⎫ dz 2 -(k -kα)Φ=0⎪ ⎪ d2ψ ⎬(6) 2 -k 2 ⎪ dz 2 -(k β)ψ=0⎪ ⎭ 其中, kα = ω kβ= ω (7) α β 方程(6)得解为 φ=Ae -az +Ce az ⎫ ⎪ -bz bz ⎬(8) ϕ=Be ⎪ +De ⎭ 其中, a= k2 -kα2 b= k2-kβ2(9) 上面系数为C、D得项因不满足z→∞的收敛条件而被弃去,于是有 φ=Ae -az e i(kx-wt)⎫ ⎪ -bz ⎬(10) ϕ=Be e i(kx-wt)⎪ ⎭ 自由边界条件为 即 σzz z=0=0,σzx z=0=0(11) ⎫ ⎡ 2 2 2 ⎛ ∂2ϕ ∂2φ⎫⎤ ç ⎪ ⎢α ∇φ+2β - =0⎪ ç ∂x 2⎪⎥ ⎣ ⎝∂x∂z ⎭⎦ z=0 ⎪ (12) ⎬ ⎡ ∂2φ ∂2ϕ ∂2ϕ ⎤ ⎪ ⎢2 + 2 - 2 ⎥ =0 ⎪ ∂x∂z ∂x ∂z ⎣ ⎦ z=0 ⎭ 将式(10)代入(12)得,
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