弹性力学与有限元法2.ppt
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弹性力学与有限元法2.ppt
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空间问题的数学描述空间问题的数学描述第二章第二章平面问题的基本理论平面问题的基本理论已知的几何参数和载荷(表面力和体积力),一般都与已知的几何参数和载荷(表面力和体积力),一般都与三个坐标参数三个坐标参数xx、yy、zz有关;有关;1515个未知函数个未知函数66个应力分量:
个应力分量:
66个应变分量个应变分量33个位移分量:
个位移分量:
uu、vv、ww,一般都是三个坐标参数一般都是三个坐标参数xx、yy、zz的函数;的函数;基本方程式是三维的,但若某一方向变化规律为已知时,基本方程式是三维的,但若某一方向变化规律为已知时,维数可相应减少。
维数可相应减少。
第二章平面问题的基本理论平面问题的数学描述平面问题的数学描述已知的几何参数和载荷(表面力和体积力)只与两个坐已知的几何参数和载荷(表面力和体积力)只与两个坐标,例如标,例如xx、yy有关,而与有关,而与zz无关;无关;1515个未知函数中只存在有个未知函数中只存在有oxyoxy平面内的分量,且只是平面内的分量,且只是xx、yy的函数,其余分量或不存在,或可以用的函数,其余分量或不存在,或可以用oxyoxy平面内的分量表示;平面内的分量表示;基本方程式是二维的。
基本方程式是二维的。
第二章平面问题的基本理论2-12-1平面应力问题与平面应变问题平面应力问题与平面应变问题如果所考察的弹性体具有某种特殊的形状,并且承受的是如果所考察的弹性体具有某种特殊的形状,并且承受的是某种特殊的外力,就可以把空间问题简化为近似的平面问题。
某种特殊的外力,就可以把空间问题简化为近似的平面问题。
平面应力问题几何形状特征:
几何形状特征:
物体在一个坐标方向(例物体在一个坐标方向(例如如zz)的几何尺寸远远小于其他两个坐标方)的几何尺寸远远小于其他两个坐标方向的几何尺寸,如图所示的薄板。
向的几何尺寸,如图所示的薄板。
载荷特征载荷特征:
在薄板的两个侧表面上无表面:
在薄板的两个侧表面上无表面载荷,作用于边缘的表面力平行于板面,载荷,作用于边缘的表面力平行于板面,且沿厚度不发生变化,或虽沿厚度变化但且沿厚度不发生变化,或虽沿厚度变化但对称于板的中间平面,体积力亦平行于板对称于板的中间平面,体积力亦平行于板面且沿厚度不变。
面且沿厚度不变。
第二章平面问题的基本理论因为板面上不受力,所以因为板面上不受力,所以由于剪应力互等,有由于剪应力互等,有这样,只有平行于这样,只有平行于oxyoxy平面的三个应力分量,即平面的三个应力分量,即在平面应力问题中,独立的未知函数有在平面应力问题中,独立的未知函数有88个,个,只是只是xx和和yy的函数,不随的函数,不随zz而变化。
而变化。
注意:
注意:
由广义虎克定律得到由广义虎克定律得到平面应变问题平面应变问题第二章平面问题的基本理论几何形状特征几何形状特征:
物体沿一个坐标轴(例如:
物体沿一个坐标轴(例如z轴)方向的轴)方向的长度很长,且所有垂直于长度很长,且所有垂直于z轴的横截面都相同,即为一等直轴的横截面都相同,即为一等直柱体;位移约束条件或支承条件沿柱体;位移约束条件或支承条件沿z方向也相同。
方向也相同。
载荷特征载荷特征:
柱体侧表面承受的表面力以及体积力均垂直于:
柱体侧表面承受的表面力以及体积力均垂直于z轴,且分布规律不随轴,且分布规律不随z变化。
变化。
o由于对称(任一横截面都可以看作是对称面),所有各由于对称(任一横截面都可以看作是对称面),所有各点都只会沿点都只会沿x和和y方向移动,而不会有方向移动,而不会有z方向的位移,即方向的位移,即因为所有各点的位移矢量都平行于因为所有各点的位移矢量都平行于oxy面,所以称之为平面,所以称之为平面位移问题,习惯上称为平面应变问题。
面位移问题,习惯上称为平面应变问题。
第二章平面问题的基本理论由对称条件可知,由对称条件可知,根据剪应力互等,根据剪应力互等,由虎克定律,得出由虎克定律,得出第二章平面问题的基本理论在平面应变问题中,独立的未知函数有在平面应变问题中,独立的未知函数有88个,个,只是只是xx和和yy的函数,不随的函数,不随zz而变化。
而变化。
注意:
注意:
由于由于zz方向的伸缩被阻止,所以方向的伸缩被阻止,所以由广义虎克定律得到由广义虎克定律得到在弹性力学里分析问题,要从三个方面来考虑:
在弹性力学里分析问题,要从三个方面来考虑:
静力学方面静力学方面、几何学方面几何学方面和和物理学方面物理学方面。
首先考虑平面问题的静力学方面,根据平衡条件来首先考虑平面问题的静力学方面,根据平衡条件来导出导出应力分量应力分量与与体积力分量体积力分量之间的关系式,也就是平面问之间的关系式,也就是平面问题的平衡微分方程。
题的平衡微分方程。
2-2平衡微分方程第二章平面问题的基本理论第二章平面问题的基本理论u连续性假设连续性假设u小变形假设小变形假设略去二阶以及二阶以上的微量略去二阶以及二阶以上的微量假设假设ADAD面处的正应力为面处的正应力为xx,由于,由于BCBC面相对于面相对于ADAD面面xx坐标坐标有有dxdx的增量,应力也将有相应的增量,的增量,应力也将有相应的增量,BCBC面处的正应力可以面处的正应力可以用泰勒级数表示为用泰勒级数表示为根据微元体处于平衡的条件,可以得到三个平衡微分方程。
根据微元体处于平衡的条件,可以得到三个平衡微分方程。
第二章平面问题的基本理论
(一)作用于体心
(一)作用于体心MM的合力矩为零,即的合力矩为零,即略去微量,整理,得出略去微量,整理,得出证明了剪应力互等定理。
证明了剪应力互等定理。
(二)
(二)xx方向的合力为零,即方向的合力为零,即第二章平面问题的基本理论整理后,得整理后,得(三)(三)yy方向的合力为零,即方向的合力为零,即类似于上式,可得类似于上式,可得平面问题的平衡微分方程平面问题的平衡微分方程xx方向方向PAPA的正应变的正应变第二章平面问题的基本理论2-3几何方程yy方向方向PBPB的正应变的正应变几何方程表明了几何方程表明了应变分量应变分量与与位移分量位移分量之间的关系。
之间的关系。
PAPBPAPA与与PBPB所夹直角的改变,即剪应变所夹直角的改变,即剪应变由两部分组成:
由两部分组成:
xx方向线素方向线素PAPA向向yy方向的转角,记为方向的转角,记为,和,和yy方向线素方向线素PBPB向向xx方向的转角,记为方向的转角,记为,即,即第二章平面问题的基本理论由上图可知,由上图可知,在小变形下,在小变形下,所以,所以同理,同理,所以所以综合以上所列各式,得出平面问题的几何方程式综合以上所列各式,得出平面问题的几何方程式第二章平面问题的基本理论要保证物体的位移是连续的,则应变分量之间必须满足要保证物体的位移是连续的,则应变分量之间必须满足一定的条件,即变形协调方程,或相容方程。
一定的条件,即变形协调方程,或相容方程。
应变分量应变分量与与应力分量应力分量之间的关系,即物理方程,之间的关系,即物理方程,也称为本构方程。
也称为本构方程。
第二章平面问题的基本理论2-4物理方程在完全弹性的各向同性体内,在完全弹性的各向同性体内,应变分量与应力分量之间的关系应变分量与应力分量之间的关系由胡克定律导出由胡克定律导出E是弹性模量,是弹性模量,G是剪切弹性是剪切弹性模量,模量,是侧向收缩系数,又称是侧向收缩系数,又称为泊松比。
为泊松比。
u平面应力问题的物理方程平面应力问题的物理方程第二章平面问题的基本理论在平面应力问题中,在平面应力问题中,由胡克定律,得由胡克定律,得,可以用来求得薄板厚度的改变。
,可以用来求得薄板厚度的改变。
因为在平面应力问题中有因为在平面应力问题中有和和,所以有,所以有和和第二章平面问题的基本理论u平面应变问题的物理方程平面应变问题的物理方程在平面应变问题中,因为物体的所有各点都不沿在平面应变问题中,因为物体的所有各点都不沿z方方向移动,即向移动,即w=0,所以,所以z方向的线段都没有伸缩,即方向的线段都没有伸缩,即由胡克定律,得由胡克定律,得,代入胡克定律,得,代入胡克定律,得平面应变问题的物理方程平面应变问题的物理方程可以看出,在平面应力问题的物理方程中,将可以看出,在平面应力问题的物理方程中,将E换为换为第二章平面问题的基本理论因为在平面应变问题中也有因为在平面应变问题中也有和和,所以有,所以有和和换为换为,就得到平面应变问题的物理方程。
,就得到平面应变问题的物理方程。
同样可以看出,在平面应变问题的物理方程中,将同样可以看出,在平面应变问题的物理方程中,将E换为换为,换为换为,就得到平面应力问题的物理方程。
,就得到平面应力问题的物理方程。
引入记号引入记号第二章平面问题的基本理论2-5平面问题基本方程式的综合与矩阵表示应力分量列阵应力分量列阵应变分量列阵应变分量列阵位移分量列阵位移分量列阵体积力分量列阵体积力分量列阵微分算子矩阵微分算子矩阵第二章平面问题的基本理论用应力、应变、位移分量表示的基本方程用应力、应变、位移分量表示的基本方程平衡微分方程平衡微分方程或或几何方程几何方程或或第二章平面问题的基本理论物理方程物理方程(平面应力)(平面应力)(平面应变)(平面应变)统一写为统一写为用应变表示应力用应变表示应力其中矩阵其中矩阵D称为称为弹性矩阵弹性矩阵或应力应变关系转换矩阵或应力应变关系转换矩阵第二章平面问题的基本理论(平面应力)(平面应力)(平面应变)(平面应变)这样,用应力、应变和位移分量表示的弹性力学平这样,用应力、应变和位移分量表示的弹性力学平面问题基本方程可以表示为面问题基本方程可以表示为第二章平面问题的基本理论方程组的总数是方程组的总数是8个:
个:
2个平衡方程,个平衡方程,3个几何方程和个几何方程和3个物个物理方程。
理方程。
所包含的未知函数也是所包含的未知函数也是8个:
个:
3个应力分量个应力分量;3个个应变分量应变分量;2个位移分量个位移分量。
常从该方程组出发按位移求解。
常从该方程组出发按位移求解。
第二章平面问题的基本理论用应力和应变分量表示的基本方程用应力和应变分量表示的基本方程平衡微分方程平衡微分方程连续性方程连续性方程引入二阶微分算子行阵引入二阶微分算子行阵或或或或第二章平面问题的基本理论物理方程物理方程用应力表示应变用应力表示应变(平面应力)(平面应力)(平面应变)(平面应变)统一写为统一写为第二章平面问题的基本理论其中其中C是弹性矩阵是弹性矩阵D的逆矩阵。
的逆矩阵。
(平面应力)(平面应力)(平面应变)(平面应变)第二章平面问题的基本理论这样,用应力和应变分量表示的弹性力学平面问这样,用应力和应变分量表示的弹性力学平面问题基本方程可以表示为题基本方程可以表示为方程组的总数是方程组的总数是6个:
个:
2个平衡方程,个平衡方程,1个连续性方程和个连续性方程和3个个物理方程。
物理方程。
所包含的未知函数也是所包含的未知函数也是6个:
个:
3个应力分量个应力分量及及3个个应变分量应变分量。
常从该方程组出发按应力求解。
常从该方程组出发按应力求解。
第二章平面问题的基本理论2-6边界条件u位移边界条件位移边界条件u应力边界条件应力边界条件设平面弹性体在设平面弹性体在Su边界上给定位边界上给定位移移和和,它们是边界坐标的已知函,它们是边界坐标的已知函数。
则在数。
则在Su边界上,位移分量必须边界上,位移分量必须等于该点的给定位移,即等于该点的给定位移,即设平面弹性体在设平面弹性体在边界边界上给定表面力分量上给定表面力分量和和,它们,它们是边界坐标的已知函数。
则在边界是边界坐标的已知函数。
则在边界上,应力分量与给定表上,应力分量与给定表面力之间的关系,可由边界上微元体的平衡条件得出。
面力之间的关系,可由边界上微元体的平衡条件得出。
第二章平面问题的基本理论在物体的
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- 弹性 力学 有限元