高考数学专题突破 23.docx

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高考数学专题突破23

章末复习

学习目标

　1.梳理本章知识，构建知识网络.2.掌握命题的等价性与充要条件的判定及其有关的应用.3.会解决有一些逻辑联结词与量词的简单的综合性问题．

1．四种命题及其关系

（1）四种命题

命题

表述形式

原命题

若p，则q

逆命题

若q，则p

否命题

若綈p，则綈q

逆否命题

若綈q，则綈p

（2）四种命题间的逆否关系

（3）四种命题的真假关系

两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．

2．充分条件与必要条件

（1）如果p⇒q，那么称p是q的充分条件，q是p的必要条件．

（2）分类：

①充要条件：

p⇒q且q⇒p，记作p⇔q；

②充分不必要条件：

p⇒q且q⇏p.

③必要不充分条件：

p⇏q且q⇒p.

④既不充分又不必要条件：

p⇏q且q⇏p.

3．全称命题与特称命题

（1）全称命题与特称命题真假的判断方法

①判断全称命题为真命题，需严格的逻辑推理证明，判断全称命题为假命题，只需举出一个反例．

②判断特称命题为真命题，需要举出正例，而判断特称命题为假命题时，要有严格的逻辑证明．

（2）含有一个量词的命题否定的关注点

全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题．否定时既要改写量词，又要否定结论．

4．简易逻辑联结词“且、或、非”的真假判断

可以概括为口诀：

“p与綈p”一真一假，“p或q”一真即真，“p且q”一假就假.

p

q

綈p

p或q

p且q

真

真

假

真

真

真

假

假

真

假

假

真

真

真

假

假

假

真

假

假

1．“所有奇数都是质数”的否定“至少有一个奇数不是质数”是真命题．（　√　）

2．命题“若p，则q”与命题“若綈p，则綈q”的真假性一致．（　×　）

3．已知命题p：

存在x∈R，x－2＞0，命题q：

对于任意x∈R，x2＞x，则命题p或（綈q）是假命题．（　×　）

题型一　命题及其关系

例1　

（1）有下列命题：

①“若x＋y>0，则x>0且y>0”的否命题；

②“矩形的对角线相等”的否命题；

③“若q≤1，则x2＋2x＋q＝0有实根”的逆否命题；

④不等边三角形的三个内角相等．

其中是真命题的是（　　）

A．①②③B．②③④

C．①③④D．①③

考点　四种命题的真假判断

题点　利用四种命题的关系判断真假

答案　D

（2）设a，b，c是非零向量，已知命题p：

若a·b＝0，b·c＝0，则a·c＝0；命题q：

若a∥b，b∥c，则a∥c.则下列命题中真命题是（　　）

A．p或qB．p且q

C．（綈p）且（綈q）D．p或（綈q）

考点　“p或q”形式的命题

题点　判断“p或q”形式命题的真假

答案　A

解析　由向量数量积的几何意义可知，命题p为假命题；命题q中，当b≠0时，a，c一定共线，故命题q是真命题．故p或q为真命题．

反思感悟　1.互为逆否命题的两命题真假性相同．

2．“p与綈p”一真一假，“p或q”一真即真，“p且q”一假就假．

跟踪训练1　命题“若x2>1，则x<－1或x>1”的逆否命题是（　　）

A．若x2>1，则－1≤x≤1

B．若－1≤x≤1，则x2≤1

C．若－11

D．若x<－1或x>1，则x2>1

考点　四种命题

题点　四种命题概念的理解

答案　B

解析　条件与结论交换位置，并且分别否定．

题型二　充分条件与必要条件

命题角度1　充分条件与必要条件的判断

例2　

（1）设x∈R，则“x2－3x>0”是“x>4”的（　　）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分又不必要条件

（2）已知a，b是实数，则“a>0且b>0”是“a＋b>0且ab>0”的（　　）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分又不必要条件

考点　四种条件

题点　识别四种条件

答案　

（1）B　

（2）C

解析　

（1）∵x2－3x>0⇏x>4，

x>4⇒x2－3x>0，

故x2－3x>0是x>4的必要不充分条件．

（2）∵a>0且b>0⇔a＋b>0且ab>0，

∴a>0且b>0是a＋b>0且ab>0的充要条件．

反思感悟　条件的充要关系的常用判断方法

（1）定义法：

直接判断若p则q，若q则p的真假．

（2）等价法：

利用A⇒B与綈B⇒綈A，B⇒A与綈A⇒綈B，A⇔B与綈B⇔綈A的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．

（3）利用集合间的包含关系判断：

若A⊆B，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A＝B，则A是B的充要条件．

跟踪训练2　使a>b>0成立的一个充分不必要条件是（　　）

A．a2>b2>0B．

>

>0

C．lna>lnb>0D．xa>xb且x>0.5

考点　四种条件

题点　识别四种条件

答案　C

解析　设条件p符合条件，则p是a>b>0的充分条件，但不是a>b>0的必然结果，即有“p⇒a>b>0，a>b>0⇏p”．

A选项中，a2>b2>0⇏a>b>0，有可能是a

B选项中，

>

>0⇔0b>0，故B不符合条件；

C选项中，lna>lnb>0⇔a>b>1⇒a>b>0，而a>b>0⇏a>b>1，符合条件；

D选项中，xa>xb且01时a>b，无法得到a，b与0的大小关系，故D不符合条件．

命题角度2　充分条件与必要条件的应用

例3　设命题p：

实数x满足x2－4ax＋3a2<0，其中a>0，命题q：

实数x满足

（1）若a＝1，且p且q为真，求实数x的取值范围；

（2）若綈p是綈q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

考点　充分、必要条件与充要条件的综合应用

题点　由四种条件求参数的范围

解　

（1）由x2－4ax＋3a2<0得（x－3a）（x－a）<0.

又a>0，所以a

即p为真命题时，实数x的取值范围是1

由解得

即2

所以q为真时，实数x的取值范围是2

若p且q为真，则⇔2

所以实数x的取值范围是（2,3）．

（2）方法一　綈p是綈q的充分不必要条件，

即綈p⇒綈q且綈q⇏綈p.

设綈p：

A＝{x|x≤a或x≥3a}，綈q：

B＝{x|x≤2或x>3}，

则AB.

所以03，即1

所以实数a的取值范围是（1,2]．

方法二　因为綈p是綈q的充分不必要条件，

所以q是p的充分不必要条件，

则{x|2

所以解得1

所以实数a的取值范围是（1,2]．

反思感悟　利用条件的充要性求参数的范围

（1）解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式求解．

（2）注意利用转化的方法理解充分必要条件：

若綈p是綈q的充分不必要（必要不充分、充要）条件，则p是q的必要不充分（充分不必要、充要）条件．

跟踪训练3　已知命题：

p：

2x2－9x＋a<0，q：

2

考点　充分、必要条件与充要条件的综合应用

题点　由四种条件求参数的范围

解　∵綈q是綈p的必要条件，

∴q是p的充分条件，

令f（x）＝2x2－9x＋a，

则解得a≤9，

∴实数a的取值范围是（－∞，9]．

题型三　逻辑联结词与量词的综合应用

例4　已知p：

任意x∈，2x

函数f（x）＝4x＋2x＋1＋m－1存在零点，若“p且q”为真命题，则实数m的取值范围是__________．

答案　

解析　由2x，

又x∈时，max＝，

故当p为真时，m>；

函数f（x）＝4x＋2x＋1＋m－1＝（2x＋1）2＋m－2，

令f（x）＝0，得2x＝－1，

若f（x）存在零点，

则－1>0，解得m<1，

故当q为真时，m<1.

若“p且q”为真命题，则实数m的取值范围是.

反思感悟　解决逻辑联结词与量词的综合应用问题首先理解逻辑联结词的含义，掌握简单命题与含有逻辑联结词的命题的真假关系．其次要善于利用等价关系，如：

p真与綈p假等价，p假与綈p真等价，将问题转化，从而谋得最佳解决途径．

跟踪训练4　已知命题p：

“任意x∈[0,1]，a≥ex”，命题q：

“存在x∈R，x2＋4x＋a＝0”，若命题“p且q”是真命题，则实数a的取值范围是________．

考点　逻辑联结词与量词的综合应用

题点　由复合命题的真假求参数范围

答案　[e,4]

解析　p：

a≥e，q：

a≤4，

∵p且q为真命题，∴p与q均为真，

则e≤a≤4.

转化与化归思想的应用

典例　已知函数f（x）＝x2，g（x）＝x－m.

（1）若对任意x1∈[－1,3]，x2∈[0,2]，使得f（x1）≥g（x2）成立，求实数m的取值范围；

（2）若对任意x2∈[0,2]，存在x1∈[－1,3]，使得f（x1）≥g（x2）成立，求实数m的取值范围．

解　

（1）由题设知，f（x1）min≥g（x2）max，

∵f（x）在[－1,0]上是减少的，在（0,3]上是增加的，

∴f（x1）min＝f（0）＝0，

又∵g（x）在[0,2]上是减少的，

∴g（x2）max＝g（0）＝1－m，

∴有0≥1－m，得m≥1，

∴m的取值范围为[1，＋∞）．

（2）由题设知，f（x1）max≥g（x2）max，

∴有f（3）≥g（0），即9≥1－m，

∴m的取值范围是[－8，＋∞）．

[素养评析]　从中我们可以看到面对形同质不同的问题，要善于从已有的问题或概念本身出发去加以辨析和研究，将抽象的问题具体化，如此才能更为准确地把握问题的内涵.

1．若p是真命题，q是假命题，则（　　）

A．p且q是真命题B．p或q是假命题

C．綈p是真命题D．綈q是真命题

答案　D

解析　根据“且”“或”“非”命题的真假判定法则知D正确．

2．已知命题p：

0

函数y＝ax2－ax＋1的值恒为正，则p是q的（　　）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分又不必要条件

考点　充分、必要条件与充要条件的综合应用

题点　识别四种条件

答案　A

解析　∵函数y＝ax2－ax＋1的值恒为正，

∴①当a＝0时y＝1恒成立，

②∴0

综上可得q：

0≤a<4，

故{a|0

3．已知命题p：

对任意x∈R，总有2x＞0；q：

“x＞1”是“x＞2”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是（　　）

A．p且q

B．（綈p）且（綈q）

C．（綈p）且q

D．p且（綈q）

考点　“p且q”形式的命题

题点　判断“p且q”形式命题的真假

答案　D

解析　根据指数函数的性质可知，对任意x∈R，总有2x＞0成立，即p为真命题，“x＞1”是“x＞2”的必要不充分条件，即q为假命题，则p且（綈q）为真命题．

4．对任意x∈[－1,2]，x2－a≥0恒成立，则实数a的取值范围是________．

考点　全称命题

题点　由全称命题的真假求参数的范围

答案　（－∞，0]

解析　由x2－a≥0，得a≤x2，故a≤（x2）min，得a≤0.

5．已知p：

x2＋2x－3>0；q：

>1.若“（綈q）且p”为真命题，求x的取值范围．

考点　“p且q”形式的命题

题点　已知p且q命题的真假求参数范围

解　因为“（綈q）且p”为真，所以q假p真．

而当q为真命题时，有<0，即2

所以当q为假命题时有x≥3或x≤2；

当p为真命题时，由x2＋2x－3>0，

解得x>1或x<－3，

由

解得x<－3或1

所以x的取值范围为（－∞，－3）∪（1,2]∪[3，＋∞）

1．否命题和命题的否定是两个不同的概念

（1）否命题是将原命题的条件否定作为条件，将原命题的结论否定作为结论构造一个新的命题．

（2）命题的否定只是否定命题的结论，常用于反证法．若命题为“若p，则q”，则该命题的否命题是“若綈p，则綈q”；命题的否定为“若p，则綈q”．

2．四种命题的三种关系，互否关系，互逆关系，互为逆否关系，只有互为逆否关系的命题是等价命题．

3．判断p与q之间的关系时，要注意p与q之间关系的方向性，充分条件与必要条件方向正好相反，不要混淆．

4．注意常见逻辑联结词的否定

一些常见逻辑联结词的否定要记住，如：

“都是”的否定“不都是”，“全是”的否定“不全是”，“至少有一个”的否定“一个也没有”，“至多有一个”的否定“至少有两个”．