概率论与数理统计期末复习20题解答.docx
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概率论与数理统计期末复习20题解答
x.
(3)求X的概率密度.
概率论与数理统计期末复习20题及解答
【第一章】随机事件与概率
1、甲袋中有4个白球3个黑球,乙袋中有2个白球3个黑球,先从甲袋中任取一球放入乙袋,再从乙
袋中任取一球返还甲袋.求经此换球过程后甲袋中黑球数增加的概率.
2、某人忘记了电话号码的最后一个数字,因而他随意地拨号,求此人拨号不超过两次而接通所需电话的概率.
3、已知将0,1两字符之一输入信道时输出的也是字符0或1,且输出结果为原字符的概率为
(01).假设该信道传输各字符时是独立工作的•现以等概率从“101”,“010”这两个字符串
中任取一个输入信道•求输出结果恰为“000”的概率.
4、试卷中的一道选择题有4个答案可供选择,其中只有1个答案是正确的•某考生如果会做这道题,则一定能选出正确答案;若该考生不会做这道题,则不妨随机选取一个答案•设该考生会做这道题的概率
为0.85•
(1)求该考生选出此题正确答案的概率;
(2)已知该考生做对了此题,求该考生确实会做这道题
的概率.
【第二章】随机变量及其分布
5、设连续随机变量X的分布函数为
F(x)ABarctanx,
(1)求系数A及B;
(2)求X落在区间(1,1)内的概率;
【第三章】数字特征
10、设随机变量X的概率密度为
(1)求X,Y的数学期望E(X),E(Y),方差D(X),D(Y)•
(2)求X,Y的协方差cov(X,Y)与相关系数R(X,Y)•
【第四章】正态分布
13、假设某大学学生在一次概率论与数理统计统考中的考试成绩X(百分制)近似服从正态分布,已
知满分为100分平均成绩为75分,95分以上的人数占考生总数的2.3%.
(1)试估计本次考试的不及格率
(低于60分为不及格);
(2)试估计本次考试成绩在65分至85分之间的考生人数占考生总数的比例.[已
知
(1)0.8413,(1.5)0.9332,
(2)0.9772]
14、两台机床分别加工生产轴与轴衬.设随机变量X(单位:
mm)表示轴的直径,随机变量Y(单位:
mm)表示轴衬的内径,已知X~N(50,0.32),Y~N(52,0.42),显然X与Y是独立的.如果轴衬的内径与轴的直径之差在1~3mm之间,则轴与轴衬可以配套使用.求任取一轴与一轴衬可以配套使
用的概率.[已知
(2)0.9772]
【第五章】
数理统计基本知识
15、设总体
X~N(0,1),X1,X2,,X5是来自该总体的简单随机样本,求常数k0使
k(X12X2)
T1>~t(3).
v'xIx:
X52
16、设总体X~N(40,52),从该总体中抽取容量为64的样本,求概率P(|X40|1).
【第六章】参数估计
17、设总体X的概率密度为
其中参数
(1)
(2)
0•设X1,X2,,Xn是取自该总体的一组简单随机样本,
x1,X2,
Xn为样本观测值
求参数
求参数
的矩估计量.的最大似然估计量.
18、
设总体
X的概率密度为
f(x;)—xe,x0;
0,x0,
其中参数
0
•设X1,X2,,Xn是取自该总体的一组简单随机样本,
为,X2,
Xn为样本观测值
(1)
求参数
的最大似然估计量.
的无偏估计,请说明理由
你得到的估计量是不是参数
(2)
【第七章】假设检验
.某工艺品厂生产矩形裱
00.618的正态分
布.现从该厂某日生产的一批产品中随机抽取25个样品,测得其宽与长之比的平均值为x0.646,样本标
准差为s0.093.试问在显著性水平0.05水平上能否认为这批产品是合格品?
20、已知某种口服药存在使服用者收缩压(高压)增高的副作用.临床统计表明,在服用此药的人群中
收缩压的增高值服从均值为022(单位:
mmHg,毫米汞柱)的正态分布.现在研制了一种新的替代药
品,并对一批志愿者进行了临床试验.现从该批志愿者中随机抽取16人测量收缩压增高值,计算得到样本
均值x19.5(mmHg),样本标准差s5.2(mmHg).试问这组临床试验的样本数据能否支持“新的替代药品比原药品副作用小”这一结论(取显著性水平0.05).
解答部分
【第一章】随机事件与概率
1、甲袋中有4个白球3个黑球,乙袋中有2个白球3个黑球,先从甲袋中任取一球放入乙袋,再从
乙袋中任取一球返还甲袋.求经此换球过程后甲袋中黑球数增加的概率
,C表示“经此换
【解】设A表示“从甲袋移往乙袋的是白球”,B表示“从乙袋返还甲袋的是黑球”
球过程后甲袋中黑球数增加”,则
CAB,
2、某人忘记了电话号码的最后一个数字,因而他随意地拨号,求此人拨号不超过两次而接通所需电
话的概率.
【解】设Ai表示“此人第i次拨号能拨通所需电话”(i1,2),A表示“此人拨号不超过两次而接通
所需电话”,则
AA1~AA2,
由概率加法定理与乘法定理得所求概率为
P(A)P(AiAA2)P(A)P(AA2)
191
P(A)P(A)P(A2|A)———0.2.
110109
3、已知将0,1两字符之一输入信道时输出的也是字符0或1,且输出结果为原字符的概率为
(01).假设该信道传输各字符时是独立工作的.现以等概率从“101”,“010”这两个字符串
中任取一个输入信道.求输出结果恰为“000”的概率.
【解】设A1:
输入的是“101”,A2:
输入的是“010”,B:
输出的是“000”,贝y
P(AJ1/2,P(A2)1/2,P(B卜J
(1)2,P(BA2)2
(1),
从而由全概率公式得
P(B)P(AJP(BA1)P(A2)P(BA2)
12121
(1)22
(1)
(1).
222
4、试卷中的一道选择题有4个答案可供选择,其中只有1个答案是正确的•某考生如果会做这道题,
则一定能选出正确答案;若该考生不会做这道题,则不妨随机选取一个答案•设该考生会做这道题的概率
为0.85•
(1)求该考生选出此题正确答案的概率;
(2)已知该考生做对了此题,求该考生确实会做这道题
的概率.
【解】设A表示“该考生会解这道题”,B表示“该考生选出正确答案”,则
P(A)0.85,P(A)0.2,P(BA)1,P(B|A)0.25.
(1)由全概率公式得
P(B)P(A)P(BA)P(A)P(B|A)
0.8510.20.250.9.
(2)由贝叶斯公式得
【第二章】随机变量及其分布
5、设连续随机变量X的分布函数为
F(x)
A
Barctanx,
x.
(1)求系数
A及B;
(2)求X落在区间
(1,1)内的概率;
(3)求X的概率密度.
【解】(1
)由分布函数的性质可知
F(
)
limF(x)A
x
B()0,
2
F(
)
limF(x)A
x
B-1,
2
由此解得
A11
A,B-
2
(2)X的分布函数为
11
F(x)arctanx(x),
2
于是所求概率为
P(1X1)
(3)X的概率密度为
1111
F
(1)F
(1)(arctan1)(arctan
(1))
6、设随机变量X的概率密度为
f(x)ax,0x人f(x)0,其它,
求:
(1)常数a;
(2)P(0.5X1.5);(3)X的分布函数F(x).
【解】
(1)由概率密度的性质可知
22
&设二维随机变量(X,Y)的概率密度为
f(x,y)
1,0x1,0y
2x;
0,
其它.
求:
(1)(X,Y)的边缘概率密度fX(x),fY(y);
(2)概率P(X
1
-,Y1);(3)判断X,Y是否相互
2
独立•
【解】
(1)当0x1时,有
2x
fx(x)
f(x,y)dy0dy2x;
当x0或x1时,显然有
fx(x)
0.
于是X的边缘概率密度为
fx(x)
2x,0x
0,其它.
1;
当0y2时,有
fY(y)
f(x,y)dx
1
ydx1
~2
2
当y0或y2时,显然有
fY(y)
0.
于是Y的边缘概率密度为
fY(y)
1上
2
0y2
0,
其它.
111/2
(2)P{(X2,Y1)}-dy
11/2
1
4.
f(x,y)dx
dydx
0y/2
所以X的边缘概率密度
fx(X)0•
(3)容易验证f(x,y)fx(x)fY(y),故X与Y不独立.
9、设X和Y是两个相互独立的随机变量,
X~U[0,0.2],Y的概率密度函数为
(2)求X和Y的联合概率密度f(x,y);
(2)
【解】
(1)由题意知,X的概率密度函数为
因为X和Y相互独立,故X和Y
5e5y
y
0,
0,
y
0.
求概率
P(Y
X).
5,
0x
0.2;
0,
其它.
25e
°5y
0x
0,
其它.
fy(y)
fx(X)
f(x,y)fx(x)fY(y)
0.2,y0;
(2)
P(YX)
y
f(x,y)dxdy(
x
0.2
dx
x
25eydy
0
025x
50(1e)dxe
【第三章】数字特征
10、设随机变量X的概率密度为
(a
b)x
b,0x
1,
f(x)
a(2
x)
1x
2,,
0
J
其它,
1
已知E(X)—,求:
(1)a,b的值;
(2)E(2X3).
2
【解】
(1)由概率密度的性质可知
12
f(x)dx0[(ab)xb]dx1a(2x)dx
又
f(x)dx
Ae
2x・
A
1,
0
dx
2
A
2
-2x
2x
11
t■
1_、
1
x2e
dx
te
dt
r
(2)
0
2
0
2
2
E(2X
3)2E(X)3
2
-3
2
11、设随机变量X的概率密度为
£Ae2x,
x
0,
f(x)「
0,
x
0.
(2)由数学期望的性质,有
求:
(1)常数A;
(2)E(X)和D(X).
【解】
(1)由概率密度的性质可知
4.
由此得
(2)由数学期望公式得
E(X)
由于
故利用方差计算公式得
221121D(X)E(X)[E(X)]-㈡-.
4
12、设(X,Y)的联合概率分布如下:
(1)求X,Y的数学期望E(X),E(Y),方差D(X),D(Y).
(2)求X,Y的协方差cov(X,Y)与相关系数R(X,Y).
P(X0)
1/4
P(X
1)3/4
P(Y0)
1/2
P(Y
1)1/2,
1
由"01"分布的期望与方差公式得
E(X)
3/4,
D(X)
3/4
(11/4)
3/16,
E(Y)
1/2,
D(Y)
1/2
(11/2)
1/4,
由(X,Y)的联合概率分布知
E(XY)0
01/4
01
01C
)1/41
11/4
1/2
从而
cov(X,Y)
E(XY)
E(X)
日丫)
1/23/4
1/2
1/8,
【解】由(X,Y)的联合概率分布知
X,Y服从"01"分布:
R(X,Y)
cov(X,Y)1/8
、D(X)、D(Y)-3/16.1/4
【第四章】正态分布
13、假设某大学学生在一次概率论与数理统计统考中的考试成绩X(百分制)近似服从正态分布,已
知满分为100分平均成绩为75分,95分以上的人数占考生总数的2.3%.
(1)试估计本次考试的不及格率
(低于60分为不及格);
(2)试估计本次考试成绩在65分至85分之间的考生人数占考生总数的比例.[已
知
(1)0.8413,(1.5)0.9332,
(2)0.9772]
2
【解】由题意,可设X近似服从正态分布N(75,).已知P(X95)2.3%,即
957520
P(X95)1P(X95)1()1()2.3%,
由此得(出)0.977,于是
20
2,
10,从而近似有X~N(75,102).
(1)
P(X60)
(6075)
10
(1.5)1(1.5)
10.9332
0.0668,
由此可知,
本次考试的不及格率约为6.68%.
(2)
c、,85
756575、
P(65X
85)(
)()
10
10
(1)
(1)2
(1)12
0.84131
0.6826,
由此可知,成绩在65分至85分之间的考生人数约占考生总数的68.26%.
14、两台机床分别加工生产轴与轴衬.设随机变量X(单位:
mm)表示轴的直径,随机变量Y(单
位:
mm)表示轴衬的内径,已知X~N(50,0.32),Y~N(52,0.42),显然X与Y是独立的•如果轴
衬的内径与轴的直径之差在1~3mm之间,则轴与轴衬可以配套使用.求任取一轴与一轴衬可以配套使
用的概率.[已知
(2)0.9772]
22
50,0.30.4),
Z
即Z~N(2,0.52)•于是所求概率为
【解】设ZYX,由X与Y的独立性及独立正态变量的线性组合的性质可知,X~N(52
【第五章】数理统计基本知识
15、设总体X~N(0,1),X1,X2,,X5是来自该总体的简单随机样本,求常数k0使
k(X12X2)
T12)~t(3).
【解】由X~N(0,1)知X1
v'x!
x:
X52
2X2~N(0,5),于是
~N(0,1),
X12X2
.5
又由2分布的定义知
2(3),
所以
比较可得k
从而
【第六章】参数估计
17、设总体X的概率密度为
其中参数
(1)
(2)
【解】
2)
e(x
0,
x2,
其它,
0•设X1,X2,,Xn是取自该总体的一组简单随机样本,x,,X2,,xn为样本观测值.
求参数的矩估计量.
求参数的最大似然估计量.
f(x;)
(1)E(X)xf(x,)dx
x2t(x2)
xedx
2
1
0(t2)ePt—2,
令XE(X),即X2,
解得参数
的矩估计量为
(2)样本似然函数为
L()
n
f(X,
i1
上式两边取对数得
lnL()
上式两边对求导并令导数为零得
dlnL(
解得
2n
—,从而参数
x2
18、
设总体
X的概率密度为
其中参数
nln
n
(Xi
1
n
Xi2n)
(1
的最大似然估计量为
f(x;)
n
(Xi2n)
ni1
e
2n),
0,
0•设X1,X2,,Xn是取自该总体的一组简单随机样本求参数的最大似然估计量.
你得到的估计量是不是参数的无偏估计,请说明理由.
(1)
(2)
【解】
(1)样本似然函数为
L(
n
f(Xi,
i1
n1空
2xie
1
2n
上式两边取对数得
lnL()
2nln
n
In
i1
Xi
求导数得
」ln
L()
2n
0;
0,
1
~2
i1
,Xi,X2,
Xi
1
Xn为样本观测值•
n
Xi
1
令—lnL()0解得
d
n
Xi
2ni1
于是参数
的极大似然估计量为
(2)E(X)
x2ex/
E(?
)
dx
E(f)
X
是的无偏估计.
2
丄
2ni1
Xi
(32ex/
1
1E(X)
dx
t2etdx
1
严)
【第七章】假设检验
19、矩形的宽与长之比为0.618(黄金分割)时将给人们视觉上的和谐美感.某工艺品厂生产矩形裱
画专用框架.根据该厂制定的技术标准,一批合格产品的宽与长之比必须服从均值为00.618的正态分
布.现从该厂某日生产的一批产品中随机抽取25个样品,测得其宽与长之比的平均值为X0.646,样本标
准差为s0.093.试问在显著性水平0.05水平上能否认为这批产品是合格品?
【解】由题意,待检验的假设为
H0:
|zn+/rrt仃U1、(人、I,曰,、/t
00.618;
H1
0.618.
因为未知,所以检验统计量为
+X0
X0.618
5(X
0.618)
t厂
S/.n
S/.25
~t(24),
S
关于H°的拒绝域为
111t/2(n1)t0.025(24)206-
现在x0.646,s0.093,所以统计量t的观测值为
t5(°.646°.618)1.505.
0.093
因为|t|1.5052.06t0.025(24),即t的观测值不在拒绝域内,从而接受..原假设,即可以认为这批产品是合格品.
20、已知某种口服药存在使服用者收缩压(高压)增高的副作用.临床统计表明,在服用此药的人群中
收缩压的增高值服从均值为022(单位:
mmHg,毫米汞柱)的正态分布.现在研制了一种新的替代药
品,并对一批志愿者进行了临床试验.现从该批志愿者中随机抽取16人测量收缩压增高值,计算得到样本
均值X19.5(mmHg),样本标准差s5.2(mmHg).试问这组临床试验的样本数据能否支持“新的替代药品比原药品副作用小”这一结论(取显著性水平0.05).
【解】由题意,待检验的假设为
H。
:
022;H1:
22.
因为未知,所以取统计量
tJ4^^2)~t(15),
S/.nS
且关于H0的拒绝域为
tt(n1)匕05(15)1.753.
现在X19.5,s5.2,所以统计量t的观测值为
丄4(19.522)
t1.923.
5.2
因为t1.9231.753俎05(15),即t的观测值在拒绝域内,从而拒绝..原假设,即认为这次试验支持“新的替代药品比原药品副作用小”这一结论
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- 概率论 数理统计 期末 复习 20 题解