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导数的集体备课
第一章导数及其应用
§1.1.1变化率问题
教学目标:
1.理解平均变化率的概念;
2•了解平均变化率的几何意义;
3.会求函数在某点处附近的平均变化率
教学重点:
平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率;
教学难点:
平均变化率的概念.
教学过程:
一•创设情景
为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象,在数学中引入了函数,随着对函数的研究,产生了微积分,微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关:
一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等
二、求曲线的切线;
三、求已知函数的最大值与最小值;
四、求长度、面积、体积和重心等。
导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大(小)值等问题最一般、最有效的工具。
导数研究的问题即变化率问题:
研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度.
二•新课讲授
(一)问题提出
问题1气球膨胀率
我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的
半径增加越来越慢•从数学角度,如何描述这种现象呢?
气球的体积V(单位:
L)与半径r(单位:
dm)之间的函数关系是V(r)=4^r3
3
如果将半径r表示为体积V的函数,那么r(V)=3團
V4兀
⑴当V从0增加到1时,气球半径增加了r
(1)一r(0)上0.62(dm)
气球的平均膨胀率为「⑴~r(0)止0.62(dm/L)
1-0
⑵当V从1增加到2时,气球半径增加了r
(2)-r
(1)止0.16(dm)
气球的平均膨胀率为U2)-「
(1)止0.16(dm/L)
2-1
可以看出,随着气球体积逐渐增大,它的平均膨胀率逐渐变小了.
思考当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少?
问题2高台跳水
在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位:
m)与起跳后的时间t(单位:
S)
v度粗略地描述
存在函数关系h(t)=-4.9t2+6.5t+10.如何用运动员在某些时间段内的平均速其运动状态?
思考计算:
0 在0 0.5-0 在1 (2)―讯1)=』.2(m/s) 2-1 65 探究: 计算运动员在0 49 ⑴运动员在这段时间内使静止的吗? ⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗? 65 探究过程: 如图是函数h(t)="+6旳0的图像,结合图形可知,h(-Hh(0), 65 ^65)-h(0)所以7==0(s/m), 65C ——-0 49 65 虽然运动员在0 49 动,并非静止,可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态. (二)平均变化率概念: 1.上述问题中的变化率可用式子 f(X2)f(X1)表示,称为函数f(X)从X1到X2的平均 X2-X1 变化率 2.若设Ax=X2-X1,心f=f(X2)-f(X1)(这里心x看作是对于X1的一个增量”可用 xi+心X代替X2,同样if=Ay=f(X2)-f(Xi)) 平均变化率— 三.典例分析例1•已知函数f(x)=-x2+x的图象上的一点A(—1,—2)及临近一点B(-1+Ax,-2+Ay), 2 解: -2+卫y=—(—1+Ax)2+(―1+Ax), △x Ay__(_1+Axf+L1+4)-2_3^x 222 Ax -x。 +2XoAx+Ax-x。 =2xo+迄X 2 所以 y=X在X=Xo附近的平均变化率为2xo+也X四•课堂练习1.质点运动规律为S=t2+3,则在时间(3,3+3)中相应的平均速度为 2.物体按照s(t)=3t2+t+4的规律作直线运动,求在4s附近的平均变化率.25+3At 3.过曲线y=f(x)=x3上两点P(1,1)和Q(1+△x,1+△y)作曲线的割线,求出当△x=0.1时割线的斜率. 五•回顾总结 1•平均变化率的概念 2•函数在某点处附近的平均变化率 六.布置作业 §1.1.2导数的概念 教学目标: 1.了解瞬时速度、瞬时变化率的概念; 2.理解导数的概念,知道瞬时变化率就是导数,体会导数的思想及其内涵; 3.会求函数在某点的导数 教学重点: 瞬时速度、瞬时变化率的概念、导数的概念;教学难点: 导数的概念. 教学过程: 1.创设情景 (一)平均变化率 65 (二)探究: 计算运动员在0 49 ⑴运动员在这段时间内使静止的吗? ⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗? 65 探究过程: 如图是函数h(t)=-4.9t2+6.5t+10的图像,结合图形可知,h(——)=h(0), 49 65 -hA® 所以v==0(s/m), 0-0 49 65 虽然运动员在0 49 情况是运动员仍然运动,并非静止,可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态. 2.新课讲授 1.瞬时速度 山弋。 时,在[2+山,2]这段时间內- 山aQ时,在[2,2+血]S段时间内「 -⑵一城2+应)49AF+131加 V== 2-(2+Az)-A;* =-4.9Az-13.1 -方(2+Af)-机2)-49AF-131加 (2+Af)—2Af =-49Az-13.1 当AZ=-001时,AZ=-13.05b• 当A/=0.01时,A£=-1305b* 当扛2-0.001时,Ai=-13.095b+ 当山=0.001时,AZ=-13.0951;3 当Az=-0001时,Az=-130995b 当AZ=0.001时,Az=-13.09951;p 当山二-0.0001时,=-13.099951;+ 当山=00001时,Ai=-13.099951;Q 当Af=-000001时,AZ=-13.099951,* 当Az=000001时.Ai=-13.09995b+ ……Q 门 思考: 当 △t趋近于0时,平均速度v有什么样的变化趋势? 我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度。 运动员的平均速度不能反映他在某一 时刻的瞬时速度,那么,如何求运动员的瞬时速度呢? 比如,t=2时的瞬时速度是多 少? 考察t=2附近的情况: 结论: 当 △t趋近于0时,即无论t从小于2的一边,还是从大于2的一边趋近于2时, 从物理的角度看,时间 it间隔无限变小时,平均速度v就无限趋近于史的瞬时速度, At 因此,运动员在t=2时的瞬时速度是-13.1m/s为了表述方便,我们用limh(2+加)一h⑵=_13.1 表示“当t=2,筑趋近于0时,平均速度v趋近于定值-13.1”2导数的概念 从函数y=f(x)在x=X0处的瞬时变化率是: f(X0+也X)-f(X0)Af lim=lim— ^^■50AxAt纵 我们称它为函数y=f(X)在X=x0出的导数,记作f(Xo)或ylx之,即 …、,■f(X0+ix)—f(X0) ZX 说明: (1)导数即为函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率 (2)Ax=x-X0,当St0时,XTX0,所以f'(x。 )=甌f(x)-£(沧) X—x。 3.典例分析例1. (1)求函数y=3x2在x=1处的导数. 2分析: 先求△f=△y=f(1+△x)-f (1)=6Ax+(Ax) 再求竺=6+Ax再求lim竺=6Ax 解: 法一(略) 法二: y'|x4=lim1 2222 3X-31=lim32x^=lim3(x+1)=6x-17x-1J (2)求函数f(x)=—X2 +x在X=-1附近的平均变化率,并求出在该点处的导数. 解1(Wl—x f(忙四加十x): x”x)—2=啊(3亠)=3 △x 例2.(课本例1)将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品,需要对原油进行冷却和 加热,如果第xh时,原油的温度(单位: : C)为f(x)=x2-7x+15(0 2h时和第6h时,原油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义. 解: 在第2h时和第6h时,原油温度的瞬时变化率就是f' (2)和f'(6) 根据导数定义,齐g") 22 _(2+Ax)2-7(2+Ax)+15-(22-7x2+15)弧_3 所以f (2)=Qm丁=㈣Ax-3)=-3 同理可得: f(6)=5 在第2h时和第6h时,原油温度的瞬时变化率分别为-3和5,说明在2h附近,原油温度大 约以3^C/h的速率下降,在第6h附近,原油温度大约以5'c/h的速率上升. 注: 一般地,f(X0)反映了原油温度在时刻x0附近的变化情况. 四.课堂练习 2 1.质点运动规律为s=t+3,求质点在t=3的瞬时速度为. 2.求曲线y=f(x)=x3在X=1时的导数. 3.例2中,计算第3h时和第5h时,原油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义. 五.回顾总结 1.瞬时速度、瞬时变化率的概念 2.导数的概念 六.布置作业 §1.1.3导数的几何意义 教学目标: 1.了解平均变化率与割线斜率之间的关系; 2•理解曲线的切线的概念; 3•通过函数的图像直观地理解导数的几何意义,并会用导数的几何意义解题; 教学重点: 曲线的切线的概念、切线的斜率、导数的几何意义; 教学难点: 导数的几何意义. 教学过程: 1.创设情景 (1)平均变化率、割线的斜率 (2) y=f(x)在x=x0附近 沿着曲线f(X) 瞬时速度、导数 我们知道,导数表示函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率,反映了函数的变化情况,导数f(X0)的几何意义是什么呢? 2.新课讲授 (一)曲线的切线及切线的斜率: 如图3.1-2,当Pn(xn,f(xn))(n1234) 趋近于点P(X0,f(X0))时,割线PPn的变化趋势是什么? 我们发现,当点Pn沿着曲线无限接近点P即^XT0时,割线PPn趋近于确定的位置,这个确 定位置的直线PT称为曲线在点P处的切线. 问题: ⑴害熾PPn的斜率kn与切线PT的斜率k有什么关系? ⑵切线PT的斜率k为多少? 容易知道,割线PPn的斜率是kn=f(Xn)-f(X0),当点Pn沿着曲线无限接近点P时,心无 Xn-X0 限趋近于切线PT的斜率k,即k-limf迸fUfg 说明: (1)设切线的倾斜角为a那么当△XT0时,割线PQ的斜率,称为曲线在点P处的切线的斜率. 这个概念: ①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法; ②切线斜率的本质一函数在X=X0处的导数. (2)曲线在某点处的切线: 1)与该点的位置有关;2)要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如有极限,则在此点有切线,且切线是唯一的;如不存在,则在此点处无切线;3)曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多个. (二)导数的几何意义: 函数y=f(x)在x=x0处的导数等于在该点(x0,f(X)))处的切线的斜率, 即f'(x0)羽S? X「f(X°)=k 说明: 求曲线在某点处的切线方程的基本步骤 ①求出P点的坐标; ②求出函数在点X0处的变化率f(X0)=蚂f(/+也X)—f(X0)=k,得到曲线在点 (X0,f(X0))的切线的斜率; ③利用点斜式求切线方程 (二)导函数: 由函数f(X)在X=X0处求导数的过程可以看到,当时,厂(x0)是一个确定的数,那么,当X 变化时便是X的一个函数,我们叫它为f(x)的导函数.记作: f'(X)或y, 即: f'(x)=y%f(XU「f(X) 导函数也简称导数. 注: 在不致发生混淆时, (三)函数f(X)在点 X0处的导数f'(X0)、导函数f'(x)、导数之间的区别与联系。 1)函数在一点处的导数 f'(X0),就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限, 它是一个常数,不是变数。 2)函数的导数,是指某一区间内任意点X而言的,就是函数f(x)的导函数3)函数f(x)在点Xo处的导数f(Xo)就是导函数f'(X)在X=X0处的函数值,这也是求函数在点Xo处的导数的方法之一。 3.典例分析例1: (1)求曲线y=f(x)=x2+i在点P(1,2)处的切线方程. (2)求函数y=3X2在点(1,3)处的导数. 所以,所求切线的斜率为6,因此,所求的切线方程为y-3=6(x-1)即6x-y-3=0 (2)求函数f(x)=-X2+X在x=-1附近的平均变化率,并求出在该点处的导数. 解: 纽=土』^丄注=34 2 f(-1)=¥=-(-1+Ax)[(一1十Ax)-2=Lim(3-Ax)=3 例2.(课本例2)如图3.1-3,它表示跳水运动中高度随时间变化的函数 (1) 当t=t0时,曲线h(t)在to处的切线1。 平行于x轴,所以,在t=t0附近曲线比较平 坦,几乎没有升降. 当t=ti时,曲线h(t)在ti处的切线li的斜率h'(ti)<: 0,所以,在t=ti附近曲线下 2 降,即函数h(x)=—4.9X+6.5X+10在t=1,附近单调递减. 当t=t2时,曲线h(t)在t2处的切线12的斜率h'(t2)<: 0,所以,在t=t2附近曲线下 2 降,即函数h(x)=—4.9X+6.5X+10在^t2附近单调递减. 在t2附近下降的缓慢. 4.课堂练习1.求曲线y=f(x)=X3在点(1,1)处的切线; 2.求曲线y=JX在点(4,2)处的切线. 5.回顾总结 1.曲线的切线及切线的斜率; 2•导数的几何意义 6.布置作业 §1.2.1几个常用函数的导数 y=c、y=x、y=x2 教学目标: 1.使学生应用由定义求导数的三个步骤推导四种常见函数的导数公式; 2.掌握并能运用这四个公式正确求函数的导数. 1 教学重点: 四种常见函数y=c、y=x、y=x2、y=-的导数公式及应用 x 1 教学难点: 四种常见函数y=c、y=x、y=x2、y=-的导数公式 x 教学过程: 一•创设情景 物理意义是运动物体在某一 我们知道,导数的几何意义是曲线在某一点处的切线斜率, 时刻的瞬时速度.那么,对于函数y=f(X),如何求它的导数呢? 由导数定义本身,给出了求导数的最基本的方法,但由于导数是用极限来定义的,所以 求导数总是归结到求极限这在运算上很麻烦,有时甚至很困难,为了能够较快地求出某些函 数的导数,这一单元我们将研究比较简捷的求导数的方法,下面我们求几个常用的函数的导 数. 2.新课讲授 1.函数y=f(x)=c的导数 所以八惧总=斜0=0 函数 导数 y=c V=0 /=0表示函数y=c图像(图3.2-1)上每一点处的切线的斜率都为0.若y=c表示路程 关于时间的函数,则y'=0可以解释为某物体的瞬时速度始终为0,即物体一直处于静止状 态. 2.函数y=f(x)=x的导数 因为0=f(x+^x)-f(x)=x+Ax-X=[也XZ 导数 因为 y=x y'=l表示函数y=x图像(图3.2-2)上每一点处的切线的斜率都为1.若y=x表示路程 关于时间的函数,则y'=1可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动 2 3.函数y=f(X)=x的导数 22 f(X+色X)-f(X)(x+虫X)-X -—Z 函数 导数 2 y=X /=2x 2 /=2x表示函数 y=x图像(图3.2-3)上点(X,y)处的切线的斜率都为2x,说明随着x的 变化,切线的斜率也在变化.另一方面,从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看,表明: 当XVO时,随着x的增加,函数y=x2减少得越来越慢;当XaO时,随着x的增加,函 数y=x2增加得越来越快.若y=X2表示路程关于时间的函数,则y=2x可以解释为某物 体做变速运动,它在时刻X的瞬时速度为2x. 1 4.函数y=f(x)=-的导数 X X-(x+也X) x(x+Ax)也X 函数 导数 1 -1 y=- y X X 三.课堂练习 1.课本Pl3探究 2.课本Pl3探究 四.回顾总结 五.布置作业 函数 导数 y=c y=0 y=x y'=1 2y=X y=2x 1 1 y=- y=--2 X X n* y=f(X)=XZQ) y,=nXn^ §122基本初等函数的导数公式及导数的运算法则 教学目标: 1.熟练掌握基本初等函数的导数公式; 2.掌握导数的四则运算法则; 3.能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数. 教学重点: 基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则 教学难点: 基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则的应用 教学过程: 一.创设情景 21 四种常见函数y=c、y=x、y=x、y=—的导数公式及应用x 函数 导数 y=c y,=0 y=x y'=1 2 y=x 1 y=2x 1 1 y一 y x x y=f(X)=xn(n亡Q*) 'n」 y=nx 二.新课讲授 (一)基本初等函数的导数公式表 函数 导数 y=c y=0 y=f(X)=xn(n迂Q*) 'n4 y=nx y=sinX 1 y=cosx y=cosx 1 y=-sinX y=f(X)=aX 'X y=aTna(a>0) y=f(X)=ex 'X y=e f(X)=logaX 1 f(X)=logaXf(X)=(a^O且a xlna f(X)=lnx f'W」 X (二)导数的运算法则 导数运算法则 〔f(x)±g(x)]=f'(x)±g'(x) 〔f(x),g(x)]=f'(x)g(x)±f(x)g'(x) [型I-f'(x)g(x)-f(x)g'(x)(g(x0)! g(x)rb(x)f(g(x"0) (2)推论: Cf(x)i=cf'(x) (常数与函数的积的导数,等于常数乘函数的导数) 3.典例分析例1.假设某国家在20年期间的年均通货膨胀率为5%,物价P(单位: 元)与时间t(单 4. 位: 年)有如下函数关系P(t)=卩0(1+5%)七,其中P0为t=0时的物价•假定某种商品的 解: 根据基本初等函数导数公式表,有P(t)=1.05t|n1.05 所以P(10)=1.05101n1.05止0.08(元/年) 因此,在第10个年头,这种商品的价格约为0.08元/年的速度上涨. 例2.根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则,求下列函数的导数. =xsinxInx; x 4^; 1-lnx 1+lnX (6) (2X2—5X+1)ex (7) _sinX-xcosxcosx+xsinX 随着水纯净度的提高,所需净化费用不断增加.已 例3日常生活中的饮水通常是经过净化的.知将1吨水净化到纯净度为X%时所需费用(单位: 元)为 ..5284 c(x)=(80 100-X 求净化到下列纯净度时,所需净化费用的瞬时变化率: (1)90% (2)98%解: 净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数. ■/5284\'5284'x(100—x)—5284x(100—X)' (100-X)2 c(x2(E二 因为c(90)= 一=5284,所以,纯净度为90%时,费用的瞬时变 (100—90) 化率是52.84元/吨. 因为c(98)=52842=1321,所以,纯净度为98%时,费用的瞬时变 (100—90)2 化率是1321元/吨. 函数f(x)在某点处导数的大小表示函数在此点附近变化的快慢.由上述计算可知, C(98)=25c(90)•它表示纯净度为98%左右时净化费用的瞬时变化率,大约是纯净度为 90%左右时净化费用的瞬时变化率的25倍.这说明,水的纯净度越高,需要的净化费用就 越多,而且净化费用增加的速度也越快. 四.课堂练习 1.课本P92练习 2.已知曲线C: y=3x4—2x3—9x2+4,求曲线C上横坐标为1的点的切线方程; (y=—12x+8) 五.回顾总结 (1)基本初等函数的导数公式表 (2)导数的运算法则六.布置作业 §1.2.2复合函数的求导法则 教学目标理解并掌握复合函数的求导法则. 教学重点复合函数的求导方法: 复合函数对自变量的导数,等于已知函数对中间变量的 导数乘以中间变量对自变量的导数之积. 教学难点正确分解复合函数的复合过程,做到不漏,不重,熟练,正确. 一.创设情景 (一)基本初等函数的导数公式表 函数 导数 y=c y,=0 y=f(x)=x(^Q) 'n_J y=nx y=sinx 1 y=cosx y=cosx 1 y=-sinx X y=f(x)=a 'x y=aIna(a>0) y=f(x)=ex 'x y=e f(x)=logx 1 f(x)=logxfx(=)a4且0a=1) xlna f(X)=lnx 1f(x)二一 x (二)导数的运算法则 导数运算法则 f(x)±g(x)]=f'(x)±g'(x) f(x)■g(x)]=f'(x)g(x)±f(x)g'(x) (2)推论: Cf(x)l=cf'(x)(常数与函数的积的导数,等于常数乘函数的导数)
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