等差数列教学设计.docx
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等差数列教学设计
等差数列教学设计
一.设计意图
数学要跟上时代发展的步伐,满足社会发展的需要,就应该从传统的教学模式转变为以学生为主体,以问题为中心,以探索为主线,以培养学生思维能力和创新意识为核心的素质教育的实践模式。
课堂上采用学生“自主、合作、探索”的教学方式,教师是学生学习的组织者、合作者,以背景问题激发学生的学习兴趣及好奇心。
以探索问题引导学生对数学问题进行自主观察、比较、分析、综合、抽象和概括。
在这个过程中,学生在课堂上的主体地位得到充分发挥,极大的激发了学生的学习兴趣,这正是新课程所倡导的教学理念。
本节课借助多媒体辅助手段,创设问题的情境,探究教学,保障学生的主体地位,唤醒学生的主体意识,发展学生的主体能力,塑造学生的主体人格,让学生在参与中学会学习、学会合作、学会创新,从而体会学习数学的更多的乐趣!
二.教材分析
本节内容是人教A版高中数学必修五第二章第二节——等差数列,两课时内容,本节是第一课时。
研究等差数列的定义、通项公式的推导,借助生活中丰富的典型实例,让学生通过分析、推理、归纳等活动过程,从中了解和体验等差数列的定义和通项公式。
通过本节课的学习要求理解等差数列的概念,掌握等差数列的通项公式,并且了解等差数列与一次函数的关系。
本节是第二章的基础,为以后学习等差数列的求和、等比数列奠定基础,是本章的重点内容。
在高考中也是重点考察内容之一,并且在实际生活中有着广泛的应用,它起着承前启后的作用。
三.学情分析
学生已经对数列的知识有了初步的接触和认识,对数学公式的运用已具备一定的技能,已经熟悉由观察到抽象的数学活动过程,对函数、方程思想体会逐渐深刻。
他们的思维正从属于经验性的逻辑思维向抽象思维发展,但仍需要依赖一定的具体形象的经验材料来理解抽象的逻辑关系,同时思维的缜密性还要加强。
四.教学目标
1.知识目标:
理解等差数列概念,掌握等差数列的通项公式,了解等差数列与一次函数的关系。
2.能力目标:
培养学生观察、归纳能力,应用数学公式的能力及渗透函数、方程的思想。
3.情感目标:
体验从特殊到一般,又到特殊的认知规律,提高数学猜想、归纳的能力。
五.重点、难点
教学重点:
等差数列的概念及通项公式的推导。
教学难点:
对等差数列概念的理解及学会通项公式的推导及应用。
六.教学策略和手段
教学策略:
结合学生的实际情况,及本节内容的特点,我采用的是“问题教学法”,其主导思想是以探究式教学思想为主导,由教师提出一系列精心设计的问题,在教师的启发引导下,让学生自己去分析、探索,在探索过程中领悟得出结论,从而使学生即获得知识又能发展智力的目的。
教学手段:
多媒体和黑板。
多媒体可以使学生有兴趣地学习,注意力也容易集中。
使用黑板则能让学生更好的经历整个教学过程。
七.课前准备
学生预习
八.教学过程
(一)创设情景,引入概念 时间:
10分钟
设计意图:
使学生能通过生活中的实际问题的分析,能建立等差数列模型,体会发现和创造的过程。
师生活动:
情景1:
【师】把班上学生学号从小到大排成一列,这是数列吗?
你能归纳出它的通项公式吗?
【学生】是,
【师】把上面的数列各项依次记为,填空:
------
【学生】填空并归纳出一般规律:
,()
【师】上面这个规律还有其他形式吗?
【学生】或者写成 ,()
【师】你能用普通语言概括上面的规律吗?
【学生】自由发言,选择最恰当的语言。
上面的数列已找出这一特殊规律,下面再观察一些数列并也找出它们的规律。
情景2:
看幻灯片上的实例
(1)2008年北京奥运会,女子举重共设置7个级别,其中较轻的4个级别体重组成数列(单位:
kg):
48,53,58,63
(2)水库的管理员为了保证优质鱼类有良好的生活环境,定期放水清库的办法清理水库中的杂鱼。
如果一个水库的水位18m,自然放水每天水位下降2.5m,最低降至5m。
那么从开始放水算起,到可以进行清理工作的那天,水库每天的水位组成数列(单位:
m)
18,15.5,13,10.5,8,5.5
(3)我国现行储蓄制度规定银行支付存款利息的方式为单利,即不把利息加入本金计算下一期的利息。
按照单利计算本利和的公式是:
本利和=本金(1+利率存期)
时间
年初本金(元)
年末本利和(元)
第1年
10000
10072
第2年
10000
10144
第3年
10000
10216
第4年
10000
10288
第5年
10000
10360
例如,按活期存入10000元,年利率是0.72%, 那么按照单利,5年内各年末本利和分别是:
如下表(假设5年既不加存款也不取款,且不扣利息税)
各年末本利和(单位:
元)
10072,10144,10216,10288,10360
【师】上面的三个数列又分别有什么规律呢?
【学生】
(1),,
(2),,
(3),,
【师】归纳上面数列的共同特征:
(d是常数),,,
【师】-满足这种特征的数列很多,我们有必要为这样的数列取一个名字?
【学生(共同)】等差数列。
写出课题《等差数列》
【师】给出文字叙述的定义(学生叙述,板书定义):
一般的,如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫等差数列,d为公差,a1为数列的首项。
对定义进行分析,强调:
①同一个常数;②从第二项起。
【师】这样的数列在生活中的例子,谁能再举几个?
【学生】某剧场前8排的座位数分别是
52,50,48,46,44,42,40,38.
【学生】全国统一鞋号中成年女鞋的各种尺码分别是
21,21.5,22,22.5,23,23.5,24,24.5,25
抢答:
观察下列数列是否为等差数列
1,2,4,6,8,10,12,……
0,1,2,3,4,5,6,……
3,3,3,3,3,3,3……
2,4,7,11,16,……
-8,-6,-4,0,2,4,……
3,0,-3,-6,-9,……
(注:
常数列也是等差数列,公差是0。
)
(二) 推进概念,发现性质 时间:
5分钟
设计意图:
概括等差中项的概念。
总结等差中项公式,用于发现等差数列的性质。
师生活动:
【师】想一想,一个等差数列最少有几项?
它们之间有什么关系?
学生思考后回答,至少三项,然后老师引导学生概括等差中项的概念。
设三个数成等差数列,则A叫a与b的等差中项。
同时有A-a=b-A,
说明:
(1)上面式子反过来也成立。
(2)等差数列中的任意连续三项都构成等差数列,反之亦成立。
(三)探究通项公式 时间:
10分钟
设计意图:
通过具体数列的通项公式,总结一般等差数列的通项公式,体会特殊到一般的数学思想方法。
师生活动:
【师】对于一个数列,我们最关心的是每一项,而这就要求我们能知道它的通项公式。
下面一起来研究等差数列的通项公式。
先写出上面引例中等差数列的通项公式。
再推导一般等差数列的通项公式。
【师】若一个数列是等差数列,它的公差是d,那么数列的通项公式是什么?
启发学生:
(归纳、猜想)可用首项与公差表示数列中任意一项。
【学生】:
即:
即:
即:
……
由此可得:
【师】从第几项开始归纳的?
【学生】第二项,所以n≥2。
【师】n=1时呢?
【学生】当n=1时,等式也是成立,因而等差数列的通项公式
【师】很好!
(归纳、猜想,培养学生合理的推理能力)还有没有其他的推导方法?
【学生】还可用下面的方法归纳:
当n=1时,等式也是成立,因而等差数列的通项公式
【师】我们把这种方法称为迭代法。
还有其他的推导方法吗?
(学生面露难色)
启发:
看方法一的第一个式子有何规律?
【学生】可以用累加的方法,左边累加后得,右边累加的d+d+d+……+d共n-1个即=d+d+d+…….+d=(n-1)d
【师】这种方法叫累加法
总结通项公式的推导方法:
递推归纳法;迭代归纳法;累加法。
(注:
通项公式中含有四个量,其中为基本量,当确定后,通项公式就确定了。
)
(四)通项公式的应用 时间:
10分钟
设计意图:
通过具体问题,分析等差数列通项公式中的四个量,已知什么?
求什么?
怎么求?
提高学生分析问题,解决问题的能力。
师生活动:
多媒体展示,学生练习
例1:
(1)求等差数列8,5,2…的第20项?
(2)-401是不是等差数列-5,-9,-13…的项?
如果是,是第几项?
分析:
(1)中求第20项,需要知道什么呢?
——首项和公差
(2)中怎样判断-401是不是数列中的项呢?
——先求通项公式,再判断是否存在正整数n,使得-401=成立。
例2、已知数列的通项公式为,其中p,q是常数,且p≠0,那么这种数列是否一定是等差数列?
如果是,其首项与公差是什么?
【师】:
如何分析题意?
【学生】:
由等差数列定义,要判定{an}是不是等差数列,只要看an-an-1(n≥2)是不是一个与n无关的常数就行了。
(学生叙述,多媒体展示)
解:
取数列{an}中的任意相邻两项an-1与an(n≥2)。
∴an-an-1=(pn+q)-[p(n-1)+q]=(pn+q)-(pn-q+q)=p,
它是一个与n无关的常数,所以{an}是等差数列,且公差为p。
在通项公式中,令n=1得a1=p+q,
所以这个等差数列的首项是p+q,公差是p。
【师】数列的通项公式给出的是an与n之间的一种关系,一个n都对应着一个an,这与我们以前学过的什么内容类似?
由本例得到什么结论?
(引发学生联想、归纳,学生很自然会想到一次函数)
【学生】与一次函数内容类似,即an与n之间的关系是一次函数的关系;
由本例的结论可知,如果an是关于n的一次函数,那么数列{an}是等差数列。
【师】本例题的逆命题,是否也成立?
请同学们课下自己完成证明。
由上面例题实际上可以得出证明数列{an}是等差数列的一种方法。
(五)通项公式的图象 时间:
5分钟
设计意图:
加深学生对等差数列与一次函数的联系的理解。
师生活动:
在直角坐标系中作通项公式为an=3n-5的数列的图像,并观察图像有什么特点?
【师】数列的图象是一群孤立的点。
且都落在直线的图象上。
【师】由图归纳出等差数列通项公式的图象的特点。
【学生】公差不为零的等差数列的图象是直线y=px+q上的均匀排开的一群孤立的点。
(注:
当p=0时,an=q,等差数列为常数列,此时数列的图象是平行x轴(或x上)的均匀公布的一群孤立点。
)
(六)课时小结 时间:
5分钟
提出问题:
这节课你学到了什么?
教师鼓励学生积极回答,答不完整的没有关系,其它同学补充。
以此培养学生的口头表达能力,归纳概括能力。
多媒体把学生的归纳用一张表展示出来。
①等差数列定义和通项公式:
(n∈)
②等差中项:
A叫a与b的等差中项
③等差数列的性质:
④等差数列的图象是直线y=px+q上的均匀排开的一群孤立的点。
九、板书设计
等差数列
一.概念
1.等差数列
2.等差中项
二.通项公式与性质
3.
4.
公式推导过程
三.等差数列与一次函数的关系
四.例题
五.小结
十、作业设计
(一)阅读作业:
通读教材,复习巩固,等差数列的通项公式的求法。
(二)书面作业:
课本45页习题2.2组A1,2,3,4题。
(三)弹性作业:
模仿等差数列的定义,思考“等比数列”.请探究它的定义、通项公式和相关的性质。
十一、教后反思
本节课的设计,把提出问题与解决问题、独立思考与合作交流等有机结合起来,从而使教学和谐有序地展开。
在教学过程中,学生的知识结构被建构,数学思想方法被激活,创新意识被唤起,为本节课增添色彩!
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