专题106 条件概率二项分布及正态分布届高考数学一轮复习学霸提分秘籍原卷版.docx
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专题106条件概率二项分布及正态分布届高考数学一轮复习学霸提分秘籍原卷版
第十篇计数原理、概率、随机变量及其分布
专题10.06 条件概率、二项分布及正态分布
【考试要求】
1.了解条件概率,能计算简单随机事件的条件概率,了解条件概率与独立性的关系;
2.会利用乘法公式计算概率,会利用全概率公式计算概率;
3.了解伯努利试验,掌握二项分布及其数字特征,并能解决简单的实际问题;
4.了解服从正态分布的随机变量,通过具体实例,借助频率直方图的几何直观,了解正态分布的特征.
【知识梳理】
1.条件概率
条件概率的定义
条件概率的性质
设A,B为两个事件,且P(A)>0,称P(B|A)=
为在事件A发生的条件下,事件B发生的条件概率
(1)0≤P(B|A)≤1;
(2)如果B和C是两个互斥事件,则P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A)
2.事件的相互独立性
(1)定义:
设A,B为两个事件,如果P(AB)=P(A)P(B),则称事件A与事件B相互独立.
(2)性质:
若事件A与B相互独立,则A与
,
与B,
与
也都相互独立,P(B|A)=P(B),P(A|B)=P(A).
3.全概率公式
(1)完备事件组:
设Ω是试验E的样本空间,事件A1,A2,…,An是样本空间的一个划分,满足:
①A1∪A2∪…∪An=Ω.
②A1,A2,…,An两两互不相容,则称事件A1,A2,…,An组成样本空间Ω的一个完备事件组.
(2)全概率公式
设S为随机试验的样本空间,A1,A2,…,An是两两互斥的事件,且有P(Ai)>0,i=1,2,…,n,
Ai=S,则对任一事件B,有P(B)=
P(Ai)P(B|Ai)称满足上述条件的A1,A2,…,An为完备事件组.
4.独立重复试验与二项分布
(1)独立重复试验
在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验,其中Ai(i=1,2,…,n)是第i次试验结果,则
P(A1A2A3…An)=P(A1)P(A2)P(A3)…P(An).
(2)二项分布
在n次独立重复试验中,用X表示事件A发生的次数,设每次试验中事件A发生的概率为p,则P(X=k)=C
pk(1-p)n-k(k=0,1,2,…,n),此时称随机变量X服从二项分布,记作X~B(n,p),并称p为成功概率.
5.正态分布
(1)正态分布的定义
如果对于任何实数a,b(a<b),随机变量X满足P(a<X≤b)=
φμ,σ(x)dx,则称随机变量X服从正态分布,记为X~N(μ,σ2).其中φμ,σ(x)=
e
(σ>0).
(2)正态曲线的性质
①曲线位于x轴上方,与x轴不相交,与x轴之间的面积为1;
②曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称;
③曲线在x=μ处达到峰值
;
④当μ一定时,曲线的形状由σ确定,σ越小,曲线越“瘦高”,表示总体的分布越集中;σ越大,曲线越“矮胖”,表示总体的分布越分散.
(3)正态总体在三个特殊区间内取值的概率值
①P(μ-σ ②P(μ-2σ ③P(μ-3σ 【微点提醒】 1.相互独立事件与互斥事件的区别 相互独立事件是指两个事件发生的概率互不影响,计算式为P(AB)=P(A)P(B),互斥事件是指在同一试验中,两个事件不会同时发生,计算公式为P(A∪B)=P(A)+P(B). 2.若X服从正态分布,即X~N(μ,σ2),要充分利用正态曲线的关于直线X=μ对称和曲线与x轴之间的面积为1. 【疑误辨析】 1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)相互独立事件就是互斥事件.( ) (2)对于任意两个事件,公式P(AB)=P(A)P(B)都成立.( ) (3)二项分布是一个概率分布列,是一个用公式P(X=k)=C pk(1-p)n-k,k=0,1,2,…,n表示的概率分布列,它表示了n次独立重复试验中事件A发生的次数的概率分布.( ) (4)从装有3个红球,3个白球的盒中有放回地任取一球,连取3次,则取到红球的个数X服从超几何分布.( ) 【教材衍化】 2.(选修2-3P54练习2改编)已知盒中装有3个红球、2个白球、5个黑球,它们大小形状完全相同.甲每次从中任取一个不放回,则在他第一次拿到白球的条件下,第二次拿到红球的概率为( ) A. B. C. D. 3.(选修2-3P75B2改编)已知随机变量X服从正态分布N(3,1),且P(X>2c-1)=P(X 【真题体验】 4.(2018·全国Ⅲ卷)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p,各成员的支付方式相互独立.设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数,D(X)=2.4,P(X=4) A.0.7B.0.6C.0.4D.0.3 5.(2019·汕头模拟)甲、乙两人参加“社会主义价值观”知识竞赛,甲、乙两人能荣获一等奖的概率分别为 和 ,甲、乙两人是否获得一等奖相互独立,则这两个人中恰有一人获得一等奖的概率为( ) A. B. C. D. 6.(2019·青岛联考)已知随机变量X~N(1,σ2),若P(X>0)=0.8,则P(X≥2)=________. 【考点聚焦】 考点一 条件概率与事件独立性 【例1】 (1)(一题多解)从1,2,3,4,5中任取2个不同的数,事件A=“取到的2个数之和为偶数”,事件B=“取到的2个数均为偶数”,则P(B|A)=( ) A. B. C. D. (2)(2019·天津和平区质检)某企业有甲、乙两个研发小组,他们研发新产品成功的概率分别为 和 .现安排甲组研发新产品A,乙组研发新产品B.设甲、乙两组的研发相互独立. ①求至少有一种新产品研发成功的概率; ②若新产品A研发成功,预计企业可获利润120万元;若新产品B研发成功,预计企业可获利润100万元.求该企业可获利润的分布列. 【规律方法】 1.求条件概率的两种方法 (1)利用定义,分别求P(A)和P(AB),得P(B|A)= ,这是求条件概率的通法. (2)借助古典概型概率公式,先求事件A包含的基本事件数n(A),再求事件A与事件B的交事件中包含的基本事件数n(AB),得P(B|A)= . 2.求相互独立事件同时发生的概率的主要方法 (1)利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解. (2)正面计算较繁(如求用“至少”表述的事件的概率)或难以入手时,可从其对立事件入手计算. 【训练1】 (1)(2019·珠海一模)夏秋两季,生活在长江口外浅海域的中华鱼回游到长江,历经三千多公里的溯流博击,回到金沙江一带产卵繁殖,产后待幼鱼长大到15厘米左右,又携带它们旅居外海.一个环保组织曾在金沙江中放生一批中华鱼鱼苗,该批鱼苗中的雌性个体能长成熟的概率为0.15,雌性个体长成熟又能成功溯流产卵繁殖的概率为0.05,若该批鱼苗中的一个雌性个体在长江口外浅海域已长成熟,则其能成功溯流产卵繁殖的概率为( ) A.0.05B.0.0075C. D. (2)(2018·濮阳二模)如图,已知电路中4个开关闭合的概率都是 ,且是相互独立的,则灯亮的概率为( ) A. B. C. D. 考点二 全概率公式 【例2】有一批同一型号的产品,已知其中由一厂生产的占30%,二厂生产的占50%,三厂生产的占20%,已知这三个厂的产品次品率分别为2%,1%,1%,问从这批产品中任取一件是次品的概率是多少? 【规律方法】全概率公式是计算概率的一个很有用的公式,通常把B1,B2,…,Bn看成导致A发生的一组原因.如若A是“次品”,必是n个车间生产了次品;若A是“某种疾病”,必是几种病因导致A发生;若A表示“被击中”,必有几种方式或几个人打中. (1)何时用全概率公式: 多种原因导致事件的发生. (2)如何用全概率公式: 将事件分解成两两不相容的完备事件组. (3)从本质上讲,全概率公式是加法公式与乘法公式的结合. 【训练2】一个盒子中有6只白球、4只黑球,从中不放回地每次任取1只,连取2次,求第二次取到白球的概率. 考点三 独立重复试验与二项分布 【例3】某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况,随机抽取该流水线上的40件产品作为样本称出它们的质量(单位: 克),质量的分组区间为(490,495],(495,500],…,(510,515].由此得到样本的频率分布直方图(如下图). (1)根据频率分布直方图,求质量超过505克的产品数量; (2)在上述抽取的40件产品中任取2件,设X为质量超过505克的产品数量,求X的分布列; (3)从该流水线上任取2件产品,设Y为质量超过505克的产品数量,求Y的分布列. 【规律方法】 利用独立重复试验概率公式可以简化求概率的过程,但需要注意检查该概率模型是否满足公式P(X=k)=C pk(1-p)n-k的三个条件: (1)在一次试验中某事件A发生的概率是一个常数p; (2)n次试验不仅是在完全相同的情况下进行的重复试验,而且各次试验的结果是相互独立的;(3)该公式表示n次试验中事件A恰好发生了k次的概率. 【训练3】为研究家用轿车在高速公路上的车速情况,交通部门随机选取100名家用轿车驾驶员进行调查,得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为: 在55名男性驾驶员中,平均车速超过100km/h的有40人,不超过100km/h的有15人;在45名女性驾驶员中,平均车速超过100km/h的有20人,不超过100km/h的有25人. (1)在被调查的驾驶员中,从平均车速不超过100km/h的人中随机抽取2人,求这2人恰好有1名男性驾驶员和1名女性驾驶员的概率; (2)以上述样本数据估计总体,从高速公路上行驶的家用轿车中随机抽取3辆,记这3辆车平均车速超过100km/h且为男性驾驶员的车辆为X,求X的分布列. 【例4】 (1)(2019·郑州模拟)已知随机变量ξ服从正态分布N(2,σ2),且P(ξ<4)=0.8,则P(0<ξ<4)=( ) A.0.6B.0.4C.0.3D.0.2 (2)(2019·茂名一模)设X~N(1,1),其正态分布密度曲线如图所示,那么向正方形ABCD中随机投掷10000个点,则落入阴影部分的点的个数的估计值是( ) (注: 若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ A.7539B.6038C.7028D.6587 【规律方法】 (1)利用3σ原则求概率问题时,要注意把给出的区间或范围与正态变量的μ,σ进行对比联系,确定它们属于(μ-σ,μ+σ),(μ-2σ,μ+2σ),(μ-3σ,μ+3σ)中的哪一个. (2)利用正态分布密度曲线的对称性研究相关概率问题,涉及的知识主要是正态曲线关于直线x=μ对称,及曲线与x轴之间的面积为1.注意下面两个结论的活用: ①P(X<a)=1-P(X≥a);②P(X<μ-σ)=P(X≥μ+σ). 【训练4】(2019·淄博一模)设每天从甲地去乙地的旅客人数为随机变量X,且X~N(800,502).则一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为( ) (参考数据: 若X~N(μ,σ2),有P(μ-σ A.0.9772B.0.6826C.0.9974D.0.9544 【反思与感悟】 1.古典概型中,A发生的条件下B发生的条件概率公式为P(B|A)= = ,其中,在实际应用中P(B|A)= 是一种重要的求条件概率的方法. 2.全概率公式的理论和实用意义在于: 在较复杂情况下直接计算P(B)不易,但B总是伴随着某个Ai出现,适当地去构造这一组Ai往往可以简化计算. 3.二项分布是概率论中最重要的几种分布之一,在实际应用和理论分析中都有重要的地位. (1)判断一个随机变量是否服从二项分布,关键有二: 其一是独立性,即一次试验中,事件发生与不发生二者必居其一;其二是重复性,即试验是独立重复地进行了n次. (2)对于二项分布,如果在一次试验中某事件发生的概率是p,那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是P(X=k)=C pkqn-k.其中k=0,1,…,n,q=1-p. 【易错防范】 1.运用公式P(AB)=P(A)P(B)时一定要注意公式成立的条件,只有当事件A,B相互独立时,公式才成立. 2.注意二项分布与超几何分布的联系与区别.有放回抽取问题对应二项分布,不放回抽取问题对应超几何分布,当总体数量很大时,超几何分布可近似为二项分布来处理. 【核心素养提升】 【数据分析】——三局两胜制的概率问题 1.数据分析是指针对研究对象获取数据,运用数学方法对数据进行整理、分析和推断,形成关于研究对象知识的素养.数据分析过程主要包括: 收集数据,整理数据,提取信息,构建模型,进行推断,获得结论. 2.教材和考题中涉及到“三局两胜制”的概率计算问题,对于“三局两胜”的比赛赛制其实是有两种: 一种是比赛完3局,胜两局的一方获胜;另一种是比赛的一方先获胜两局则比赛结束,两种不同的赛制对于同一问题的概率计算结果是否一样呢? 我们可通过教材的习题对此问题进行认识. 【例题】(选修2-3P59习题2.2B组1)甲、乙两选手比赛,假设每局比赛甲胜的概率为0.6,乙胜的概率为0.4,那么采用3局2胜制还是采用5局3胜制对甲更有利? 你对局制长短的设置有何认识? 【拓展延伸】 先后参赛对比赛公平性的影响 【拓展1】(两方参赛)匣中有3红5黑2白共10个球.现甲、乙二人轮流从匣中取球,甲先取而乙后取;每人每次取一球且取后不放回.按规定先取到红球者获胜,而出现白球时为平局.分别求甲获胜、乙获胜和平局的概率. 【拓展2】(三方参赛)甲、乙、丙三人进行比赛,规定每局两个人比赛,胜者与第三人比赛,依次循环,直至有一人连胜两局为止,此人即为冠军.已知每次比赛双方取胜的概率都是0.5,现假定甲、乙两人先比,试求各人得冠军的概率. 【分层训练】 【基础巩固题组】(建议用时: 40分钟) 一、选择题 1.打靶时,甲每打10次可中靶8次,乙每打10次可中靶7次,若两人同时射击一个目标,则他们同时中靶的概率是( ) A. B. C. D. 2.(2019·衡水模拟)先后抛掷硬币三次,则至少一次正面朝上的概率是( ) A. B. C. D. 3.某地区空气质量监测资料表明,一天的空气质量为优良的概率是0.75,连续两天为优良的概率是0.6,已知某天的空气质量为优良,则随后一天的空气质量为优良的概率是( ) A.0.8B.0.75C.0.6D.0.45 4.已知某批零件的长度误差(单位: 毫米)服从正态分布N(0,32),从中随机取一件,其长度误差落在区间(3,6)内的概率为 (附: 若随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-σ<ξ<μ+σ)=68.26%,P(μ-2σ<ξ<μ+2σ)=95.44%.)( ) A.4.56%B.13.59% C.27.18%D.31.74% 5.(2019·厦门二模)袋中装有2个红球,3个黄球,有放回地抽取3次,每次抽取1球,则3次中恰有2次抽到黄球的概率是( ) A. B. C. D. 二、填空题 6.已知随机变量X服从正态分布N(0,82),若P(X>2)=0.023,则P(-2≤X≤2)=________. 7.某次知识竞赛规则如下: 在主办方预设的5个问题中,选手若能连续正确回答出两个问题,即停止答题,晋级下一轮.假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8,且每个问题的回答结果相互独立.则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于________. 8.某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18,19,20层停靠.若该电梯在底层有5个乘客,且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为 ,用X表示这5位乘客在第20层下电梯的人数,则P(X=4)=________. 三、解答题 9.在某中学篮球体育测试要求学生完成“立定投篮”和“三步上篮”两项测试,“立定投篮”与“三步上篮”各有2次投篮机会,先进行“立定投篮”测试,如果合格才有机会进行“三步上篮”测试,为了节约时间,每项只需且必须投中一次即为合格.小明同学“立定投篮”的命中率为 ,“三步上篮”的命中率为 ,假设小明不放弃任何一次投篮机会且每次投篮是否命中互不影响. (1)求小明同学一次测试合格的概率; (2)设测试过程中小明投篮的次数为ξ,求ξ的分布列. 10.空气质量指数(AirQualityIndex,简称AQI)是定量描述空气质量状况的指数,空气质量按照AQI大小分为六级: 0~50为优;51~100为良;101~150为轻度污染;151~200为中度污染;201~300为重度污染;300以上为严重污染. 一环保人士记录去年某地六月10天的AQI的数据分别为: 45,50,75,74,93,90,117,118,199,215. (1)利用该样本估计该地六月空气质量为优良(AQI≤100)的天数; (2)将频率视为概率,从六月中随机抽取3天,记三天中空气质量为优良的天数为ξ,求ξ的分布列. 【能力提升题组】(建议用时: 20分钟) 11.箱子里有5个黑球,4个白球,每次随机取出一个球,若取出黑球,则放回箱中,重新取球;若取出白球,则停止取球,那么在第4次取球之后停止的概率为( ) A. B. × C. × D.C × × 12.(2019·南昌月考)已知1号箱中有2个白球和4个红球、2号箱中有5个白球和3个红球,现随机从1号箱中取出一球放入2号箱,然后从2号箱中随机取出一球,则两次都取到红球的概率是( ) A. B. C. D. 13.某一部件由三个电子元件按如图所示方式连接而成,元件1或元件2正常工作,且元件3正常工作,则部件正常工作.设三个电子元件的使用寿命(单位: 小时)均服从正态分布N(1000,502),且各个元件能否正常工作相互独立,那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为________. 14.甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击,三人击中的概率分别为0.4,0.5,0.7.飞机被一人击中而击落的概率为0.2,被两人击中而击落的概率为0.6,若三人都击中,飞机必定被击落,求飞机被击落的概率.
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