中考总复习讲义三角形的基本性质特殊三角形.docx

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中考总复习讲义三角形的基本性质特殊三角形

刘美玲教师：

科目：

数学学生：

特殊三角形中考总复习:

三角形基本性质、题课

教学内容

.

三角形的定义：

由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形⒈相邻两边所组成的;三角形有三条边，三个内角，三个顶点.组成三角形的线段叫做三角形的边，三ABC用符号表示为△ABC相邻两边的公共端点是三角形的顶点，角叫做三角形的内角;三角形.acABC角形的边AB可用边AB所对的角C的小写字母表示，AC可用b表示，BC可用表示注意：

（1）三条线段要不在同一直线上，且首尾顺次相接；）三角形是一个封闭的图形；（2ABC的符号标记，单独的△没有意义．是三角形（3）△ABCA_底边和腰不相等的等腰三角形等腰三角形三角形的分类：

⒉

（1）按边分类：

等边三角形三角形

C_B_不等边三角形

直角三象形按角分类：

（2）三角形锐角三角形斜三角形⒊三角形的主要线段的定义：

钝角三角形

（1）三角形的中线A三角形中，连结一个顶点和它对边中点的线段．.

表示法：

1.ADABC是△的BC上的中线1BC.2.BD=DC=2CBD注意：

①三角形的中线是线段；②三角形三条中线全在三角形的内部；③三角形三条中线交于三角形内部一点；A④中线把三角形分成两个面积相等的三角形．122）三角形的角平分线（三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角顶点与交点之间的线段CBD.BACABC1.AD表示法：

是△的∠的平分线1BAC.∠∠∠2.1=2=2注意：

①三角形的角平分线是线段；②三角形三条角平分线全在三角形的内部；③三角形三条角平分线交于三角形内部一点；④用量角器画三角形的角平分线．10

/101/1

）三角形的高（3A从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段．.

的BC上的高线表示法：

1.AD是△ABCD.

BC于2.AD⊥CBD.°ADB=∠∠ADC=903.注意：

①三角形的高是线段；②锐角三角形三条高全在三角形的内部，直角三角形有两条高是边，钝角三角形有两条高在形外；③三角形三条高所在直线交于一点．

4.在画三角形的三条角平分线，三条中线，三条高时应注意：

.3，三角形三条角平分线交于一点，交点都在三角形内部

（1）如图.

，三角形的三条中线交点一点，交点都在三角形内部

（2）如图4

4图3

图

，三角形的三条高交于一点，锐角三角形的三条高的交点在三角形内部，钝角三角形的如图5,6,7.

三条高的交点在三角形的外部，直角三角形的三条高的交点在直角三角形直角顶上

5图6

图7

图

三角形的三边关系5..三角形的任意两边之和大于第三边;任意两边之差小于第三边）三边关系的依据是：

两点之间线段是短；1注意：

（2（）围成三角形的条件是任意两边之和大于第三边．

三角形的角与角之间的关系：

6.

;

（1）180三角形三个内角的和等于?

10

/102/2

三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；

（2）.三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角（3）.直角三角形的两个锐角互余（4）三角形的内角和定理°．定理：

三角形的内角和等于180推论：

直角三角形的两个锐角互余。

三角形的外角的定义.三角形一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.注意：

每个顶点处都有两个外角，但这两个外角是对顶角所以说一个三角形有六个外角，但我们每个顶点处

.只选一个外角，这样三角形的外角就只有三个了三角形外角的性质

°（三个外角的和）。

（1）三角形的外角和等于3602）三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角之和．（3）三角形的一个角大于与它不相邻的任何一个内角．（

7．三角形的稳定性：

三角形的三边长确定，则三角形的形状就唯一确定，这叫做三角形的稳定性．1）三角形具有稳定性；注意：

（.）四边形没有稳定性2（8

图

适当添加辅助线，寻找基本图形C?

B,A,D成一条直线，则?

DAC=2?

B=2，如图

（1）基本图形一，8，在?

ABC中，AB=AC1DAC.或?

B=?

?

C=29图D,E，∥OB交OA,OC于AOB

（2）基本图形二，如图9，如果CO是?

的角平分线，DE

当几何问题的条件和结论中，或在推理过程中出?

DOE是等腰三角形，DO=DE.那么现有角平分线，平行线，等腰三角形三个条件中的两个时，就应找出这个基本图形，..即：

角平分线+平行线→等腰三角形并立即推证出第三个作为结论

BP,BC且与上一点，ABMN?

BD，的角平分线，BD如图基本图形三，10，如果是?

ABCM是垂线→等腰MP=NP，即：

角平分线+?

P,N.相交于那么BM=BN，即BMN是等腰三角形，且.三角形

当几何证题中出现角平分线和向角平分线所作垂线时，就应找出这个基本图形，如等腰三角形不完12.整就应将基本图形补完整，如图11，图

10

/103/3

11

图

:

8.三角形知识扩充1．直角三角形中各元素间的关系：

＝a。

，c，AC＝bBC°，如图，在△ABC中，C＝90AB＝222。

＋b（勾股定理）＝c

（1）三边之间的关系：

a°；＋2）锐角之间的关系：

AB＝90（）边角之间的关系：

（3（锐角三角函数定义）aab＝＝。

cosBB＝，tan，AcossinA＝sinA＝bcc2．斜三角形中各元素间的关系：

的对边。

A、B、C分别表示如图6-29，在△ABC中，A、B、C为其内角，a、b、cπB＋C。

＝

（1）三角形内角和：

A＋）正弦定理：

在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等（2

cbaR2?

?

?

。

CsinsinBsinA为外接圆半径）（R三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积）余弦定理：

3（的两倍

222222222bC－2aab－2cacosB；c。

a＝＝ba＋ccos－2bccosA；b＝c＋＋9．三角形的面积公式：

S111）1、（c上的高）；＝ch（h、h、h分别表示a、b△＝bhah＝cbbcaa222S111B；sinbcsinA＝

（2）ac△＝absinC＝222S1?

?

）（海伦公式）?

s（a?

b?

c））（?

a）（s?

bs?

c（ss?

?

；△＝）（3；2?

?

222SBAcCsinAsinasinsinBCbsinsin＝；（4）△＝＝）Bsin（A?

AC）2sin（C?

）2B2sin（?

学生可以自己”推出,和公式“Sin（B+C）=SinA2公式（4）可由公式（）通过正玄定理推导。

）建议掌握。

3）学生必须掌握，公式（）和（41公式（）和（2

10.特殊三角形的性质和判定：

等腰三角形一、有两条边相等的三角形叫做等腰三角形；三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角1.

形是特殊的等腰三角形。

10

/104/4

等腰三角形的性质：

2.

（1）等腰三角形的两个底角相等；

（2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。

3.等腰三角形的判定：

如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。

4.等边三角形的性质：

60°。

等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于

等边三角形的判定：

5.

）三个角都相等的三角形是等边三角形；（1

）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。

（2含30°角的直角三角形的性质：

6.

30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

在直角三角形中，如果一个锐角等于

二、直角三角形1.认识直角三角形。

学会用符号和字母表示直角三角形。

按照角的度数对三角形进行分类：

如果三角形中有一个角是直角，那么这个三角形叫直角三角

，其中直角所对的边称为直角三角形的斜边，构成直角△”表示“直角三角形”形。

通常用符号“Rt、、的两边称为直角边。

如果△ABC是直角三角形，习惯于把以C为顶点的角当成直角。

用三角AB对应的小写字母a、b、c分别表示三个角的对边。

C°，显然这个三角形既是等腰三角形，又是直角三角形，我们称之为等＝90AC且∠AAB如果＝腰直角三角形。

掌握“直角三角形两个锐角互余”的性质。

会运用这一性质进行直角三角形中的角度计算以及2.

简单说理。

3.会用“两个锐角互余的三角形是直角三角形”这个判定方法判定直角三角形。

掌握“直角三角形斜边上中线等于斜边的一半”性质。

能通过操作探索出这一性质并能灵活应4.

用。

°，则它所对的直角边等于斜边的一半”。

5在直角三角形中如果一个锐角是30

难点：

通常有两种辅助线：

斜边上的高线和斜边上的中线。

在直角三角形中如何正确添加辅助线

【例题精讲】

等腰三角形

双基训练

**1.已知等腰三角形ABC的底边BC=8，|AC-BC|=3，则腰AC的长为。

**二.若等腰三角形的周长为12，腰长为x，则腰长x的取值范围是。

10

/105/5

两部分，则腰长与底边的长分别和已知等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分为156**三.为。

.若等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则这条高与底边的夹角为。

**四0**五.在ΔABC中，AB=AC，AB的中垂线与AC所在直线相交所得的锐角为50，则底角B的大小为。

**六.已知两根木棒的长分别是8cm、10cm，要选择第三根木棒将它们钉成一个三角形，那么第三根木棒长x的范围是；如果以5cm为等腰三角形的一边，另一边为10cm，则它的周长应为。

0**7.图14-32是由两个全等的有一个角为30的直角三角形拼成的，其中，两条长直角边在同一直线上，则图中等腰三角形的个数自变量（）。

（A）4个（B）3个（C）2个（D）1个

0**八.若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30，腰长为a，则其底边上的高是。

纵向应用

**1.如图14-33，在ΔABC中，D、E分别是AC、AB边上的点，BD与CE交于点O，给出下列四个条件：

①∠EBO=∠DCO；②∠BEO=∠CDO；③∠BE=∠CD；④∠OB=∠OC。

（1）上述四个条件中，哪两个条件可判定ΔABC是等腰三角形（用序号写出所有情形）？

（2）选择第

（1）小题中的一种情形，证明：

ΔABC是等腰三角形。

1（∠ACB-∠M，求证：

∠BME=B）.P2，EF⊥AD于点，交BC延长线于点1=***二.如图14-34，已知∠∠2

10∠ABE，∠CBE=。

求证：

ED=2ABΔABC中，∠C=90，AD∥BC***三.如图14-35，在Rt2***四.如图14-36，在ΔABC中，AB=AC，CM是边AB上的中线，BD=AB，求证：

CD=2CM

***五.如图14-37，在ΔABC中，AD是∠A的平分线，CD⊥AD，垂足为D，G为BC的中点，求证：

∠DGC=∠B。

***6.如图14-38，已知等边ΔABC的周长为6，BD是AC边上的高，E是BC延长线上一点，CD=CE，求ΔBDE的周长。

***7.如图14-39，已知AB=AC，BD、CE分别是∠B、∠C的平分线，AM⊥BD于点M，AN⊥CE于点N，求证：

ΔAMN是等腰三角形。

横向拓展

10

/106/6

22的两根的一元二次方程ax-bx+c=0a=c***一.已知等腰三角形三边的长为a、b、c且，若关于x2，则等腰三角形的一个底角是（）之差为。

000060D）（C）45（）（A15（B）3022的两个实数根，第-（2k+3）x+k+3k+2=0AB、AC的长是关于x的一元二次方程x***2.已知ABC的两边5。

三边BC的长为为斜边的直角三角形？

ABC1）k为何值时，Δ是以BC（的周长。

）k为何值时，ΔABC是等腰三角形？

并求出ΔABC（2，求证：

AD=BE，BC延长线上有一点E，且***三.如图14-40，已知等边ΔABC边BA延长线上有一点DDC=DE。

100BDC，求证：

AB-BD=DC。

D为ABC外一点∠ABD=60，∠ADB=90-在Δ***四.如图14-41，ABC中，AB=AC，2

100∠BDC，求证：

Δ14-42***5.如图，∠ABD=∠ACD=60，∠ADB=90-ABC是等2腰三角形。

***六.如图14-43，已知线段b、c和ma，求作ΔABC，使AB=c，AC=b,BC边上的中线AD=ma.

****七.如图14-44，在等腰三角形ABC的一腰AB上取一点D，在另一腰AC的

延长线上取CE=BD，连DE，则DE>BC.

等边三角形

双基训练

**三.如图14-47，在等边ΔABC中，AE=CD，BG⊥AD，求证：

BP=2PG。

纵向应用

**1.如图14-48，已知等边ΔABC的ABC、ACB的平分线交于O点，若BC上的点E、F分别在OB、OC垂直平分线上，试说明EF与AB的关系，并加以证明。

10

/107/7

AEAB同旁，、E在AB上的一点，ΔACD和ΔBCE是两个等边三角形，点D***二.如图14-49，C是线段。

GH∥AB交，BDCE于点H，求证：

交CD于点G是等边三角CDE选择一点D使得Δ是等边三角形，E是AC延长线上一点，已知***三.如图14-50，ABC是等边三角形。

的中点，求证：

ΔCMN的中点，是线段ADN是线段BE形，如果M

0，AOB=60O，∠AC、BD交于点ABCD14-55，在等腰梯形中，AB∥CD，AB>CD,AD=BC,对角线***八.如图p.117

EFM是等边三角形。

M是BC的中点，求证：

ΔE、F分别是OD、OA的中点，且

Y是等边三角形。

BCF都是等边三角形，求证：

Δ14-56，在DEFABCD中，ΔABE和Δ***9.如图，求平分∠PCBCP=CA点在ΔABC外，且，CDABC***十.如图14-57，已知D为等边Δ内一点，DA=DC，PP。

∠

横向拓展为边长的三角形PC、PB、PA，14-58已知P是等边三角形ABC内一点，APB:

CPA=5:

6:

7,求以***1.如图的三内角之比。

0的等腰三角形，120BDC的等边三角形，ΔBDC是顶角∠为114-60****三.如图，已知ΔABC是边长为0，形成一个三角形。

MNNM于点，交AC于点，连结AB60D以点为顶点作一个角的两边分别交2。

的周长等于求证：

AMN10

/108/8

0的中点，CF⊥AB，垂足为F，点D是BC14-61****四.如图，在ΔABC中，∠A=60，BE⊥AC，垂足为E，BE、CF交于点M。

（1是等边三角形；，求证：

ΔDEF）如果AB=AC是等边三角形，请加以证明；如DEFDEF是不是等边三角形？

如果ΔAB≠AC，试猜想Δ

（2）如果DEF不是等边三角形，请说明理由；果ΔBE的长度。

CM=4cm，FM=5cm，求（3）如果

直角三角形

双基训练0′C落在点14-65，AD是ΔABC的中线，∠ADC=45，把ΔADC沿AD对折，点C二**.如图′之间的数量关系是的位置，则BC与BC。

如果三角形中两条边的垂直一部分线的交点在第三条边上，那么这个三角形是**三.）。

（D）等边三角形（C）直角三角形（）锐角三角形（A（B）钝角三角形

52，斜边上的高为。

，则斜边的长为.**五若直角三角形两直角边的和为35，EC在垂线的异侧）交另一腰AC于点中，过腰在等腰ΔABCAB的中点D作它的垂线（且点A、**六.连结BE，若AD+AC=24，BD+BC=20，则ΔEBC的周长为。

纵向应用

0**一.如图14-70，在ΔABC中，高AD、BE交于点H，M、N分别是BH、AC的中点，∠ABC=45，求证：

DM=DN。

00是等边三角ABE和ΔBAC=30，ΔADCΔ14-72，在RtABC中，∠ACB=90，∠如图**三.的中点。

是DEF交AB于点，求证：

FDE形，的中点，直、EF分别是，HM、NBC相交于点、中，高，在Δ如图四**.14-73ABCBECFEF与线段之间具有怎样的关系？

证明你的结论。

MN线10

/109/9

10，、F使ABCE=CF=、ACB=90ABC中，，M是AB的中点，如果分别延长ACBC到点ERt如图***十一.14-80，在Δ2那么∠EMF的度数等于几？

是否是常数？

00。

DAE=45C不重合）且∠、BCD，在Δ.***二如图14-92，ABC中，AB=AC∠BAC=90，、E是上两动点（与B中哪条线段最长？

ECBD问：

（1）、DE、BD三条线段能否构成直角三角形？

若能，请加以证明。

、、DEEC）（2

10

/1010/10